Cinemática Escalar. 1. O movimento de um carro, que se move com velocidade constante, é descrito pela seguinte tabela t (h) S (km)

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1 Cinemática Escalar

2 1. O movimento de um carro, que se move com velocidade constante, é descrito pela seguinte tabela t (h)124791112 S (km) 100200450600400200100 a partir dos dados da tabela determine: a)A velocidade média do carro entre os instantes 1 h e 2 h; b)A velocidade média do carro entre os instantes 4 h e 7 h; c)A velocidade média do carro entre os instantes 9 h e 12 h; d)Classifique os tipos de movimento dos itens (b) e (c); e)A velocidade média do carro entre os instantes 1 e 12 h.

3 Esquema do problema: Adotamos um referencial orientado para a direita. Solução a) Usando a expressão para a velocidade média

4 b) Usando a expressão para a velocidade média c) Usando a expressão para a velocidade média

5 d)No item (b) a velocidade é positiva, isto indica que a velocidade tem o mesmo sentido da trajetória, portanto o movimento é progressivo. No item (c) a velocidade é negativa, isto indica que a velocidade tem sentido contrário da trajetória, portanto o movimento é retrógrado ou regressivo. e)Usando a expressão para a velocidade média observação: a velocidade média nula não quer dizer que o carro permaneceu parado. Se a velocidade média é zero o móvel pode ter permanecido em repouso na mesma posição durante todo o tempo ou pode ter se deslocado e retornado à mesma posição (como aconteceu aqui). A velocidade média dá uma “ideia geral” do comportamento da velocidade, mas não indica as variações pontuais que ocorreram durante o movimento.

6 2. O movimento de um corpo é descrito pela função horária S = − 104 t onde a posição está medida em quilômetros e o tempo em horas. Determinar: a)O espaço inicial; b)A velocidade; c)O instante em o corpo passa pela origem; d)A posição do corpo no instante 4 h.

7 Solução A função horária descreve um Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) fazendo as seguintes associações, temos a) Espaço inicial do corpo S 0 = − 10 km b) Velocidade do corpo v = 4 km/h c) Quando o corpo passa pela origem dos espaços temos S 0 = 0, substituindo este valor na função dada, obtemos 0 = − 10 + 4 t 4t = 10 t = 2,5 h d) Para t = 4 h, a posição será S = − 10 + 4. 4 S = − 10 + 16 S = 6 km

8 3. Um motociclista está em movimento retrógrado, sua velocidade, em módulo, vale 40 m/s e no instante inicial sua posição é de ‒ 150 m. Determinar: a)A função horária que rege o movimento deste motociclista; b)O instante em que ele passa pela origem.  módulo da velocidade do motociclista:  posição no instante inicial ( t = 0 ): ∣ v ∣= 40 m/s ; S 0 = 150 m. Adota-se uma trajetória com sentido positivo orientado para a direita. Dados do problema Esquema do problema

9 Solução a) Queremos encontrar uma função do tipo S = S 0 + v t o espaço inicial já e dado no problema, S 0 = 150 m, como o motociclista está em movimento retrógrado seu movimento se dá contra a orientação da trajetória sendo sua velocidade negativa ( v < 0 ), assim temos que v = − 40 m/s. S = − 150 − 40t b) Quando o motociclista passa pela origem temos S = 0, substituindo este valor na expressão encontrada no item (a), temos: t = − 3,75 s t = − 150 40 0 = − 150 − 40 t 40 t = − 150 Como não existe tempo negativo isto significa que o motociclista não passa pela origem da trajetória (ele começa o movimento a esquerda da origem e se movimenta para a esquerda se afastando cada vez mais da origem).

10 4. As velocidades de um ponto material estão descritas pela tabela abaixo, ele se move num referencial orientado preestabelecido a partir dos dados da tabela determine: a) A velocidade inicial do movimento; b) O instante em o movimento muda de sentido; c) A aceleração média do ponto material entre os instantes 1 s e 2 s; d) A aceleração média do ponto material entre os instantes 5 s e 6 s; e) Classifique os tipos de movimento dos itens (c) e (d); f) A aceleração média do ponto material entre os instantes 0 e 6 s. t (s) 0123456 v (m) 9630−3−6−9

11 Solução a) Da tabela temos que para t = 0 a velocidade inicial vale v 0 = 9 m/s b)No instante t = 2 s a velocidade é positiva ( v > 0 ), no instante t = 4 s a velocidade é negativa ( v < 0 ), o ponto material muda de sentido quando a velocidade é igual a zero em t = 3 s. c)Usando a expressão para a aceleração média substituindo os valores da tabela, temos

12 d) Usando a expressão para a aceleração média e) No item (c) a velocidade é positiva ( v > 0 ) isto significa que a velocidade está no mesmo sentido da orientação da trajetória, o movimento é progressivo (figura 1), a aceleração é negativa ( a < 0 ) isto significa que a aceleração está no sentido contrário da velocidade, o movimento é retardado (o ponto material está desacelerando). Portanto o neste intervalo de tempo o movimento é progressivo retardado. figura 1 figura 2

13 No item (d) a velocidade é negativa ( v < 0 ) isto significa que a velocidade está no sentido contrário da orientação da trajetória, o movimento é regressivo ou retrógrado (figura 2). A aceleração é negativa ( a < 0 ) isto significa que a aceleração está no mesmo sentido da velocidade, o movimento é acelerado. Portanto neste intervalo de tempo o movimento é regressivo acelerado. f) Usando a expressão para a aceleração média

14 5. O movimento de um móvel é descrito pelo gráfico da velocidade em função do tempo mostrado ao lado. Pede-se: a) A aceleração do móvel; b) Escrever a equação horária da velocidade; c) Qual o espaço percorrido entre 3 s e 7 s.

15 Solução a) Tomando-se dois pontos do gráfico, ( x 1, y 1 ) = ( 6, 2 ) e ( x 2, y 2 ) = ( 0,14 ) a aceleração do móvel, num gráfico da velocidade em função do tempo ( v × t ), será dada pela tangente da reta (figura 1) b) A reta representa o gráfico de uma Equação de 1.º Grau do tipo y = a x + b, comparando com a equação horária do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.) podemos fazer as seguintes associações O coeficiente a foi obtido no item anterior e corresponde a aceleração a = − 2 m/s 2, e o valor de b corresponde a velocidade inicial do móvel que é lida no gráfico onde a reta corta o eixo das ordenadas como sendo v 0 = 14 m, assim a equação horária da velocidade fica: v = 14 − 2t

16 c)Em primeiro lugar devemos determinar as velocidade do móvel nos instantes 3 e 7 segundos usando a expressão para a velocidade obtida no item anterior  para t = 3 s : v ( 3 ) = 14 − 2. 3 v ( 3 ) = 14 − 6 v ( 3 ) = 8 m/s  para t = 7 s : v ( 7 ) = 14 − 2. 7 v ( 7 ) = 14 − 14 v ( 7 ) = 0 Num gráfico da velocidade em função do tempo ( v × t ), o espaço percorrido é numericamente igual a área sob a curva (figura 2), a área de um triângulo é dada por: então o espaço percorrido será de:

17 6. Uma pedra é jogada, com velocidade inicial de 15 m/s, do alto de um penhasco de 20 m de altura, simultaneamente uma outra pedra é lançada verticalmente de baixo para cima também com velocidade de 15 m/s, adotando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s 2, pergunta-se: a)Depois de quanto tempo e a que altura as pedras se cruzam? b) A pedra lançada de baixo atinge o alto do penhasco? Esquema do problema Adotamos um sistema de referência orientado de baixo para cima com origem na parte mais baixa de onde é lançada a pedra para cima. A aceleração da gravidade e a velocidade da pedra jogada de cima do penhasco estão orientadas no sentido contrário da trajetória e são, portanto, negativas (v 01 0), como ela esta na origem sua posição inicial será S 02 = 0 (figura 1). figura 1

18 Solução a) A equação horária da primeira pedra será (I)(I) Para a equação horária da segunda pedra temos (II) Quando as pedras se encontram temos a condição de que suas posições são iguais, igualando as expressões (I) e (II), obtemos: S 1  S 2 20  15 t  5 t 2  15 t  5 t 2 20  15 t  5 t 2  15 t  5 t 2 (III)

19 Para encontrarmos o ponto de encontro das pedras vamos substituir o intervalo de tempo encontrado, na forma da expressão (III), em (II) O Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 1 e 9 é 9 Observação: se substituíssemos o intervalo de tempo na expressão (I) obteríamos o mesmo resultado, já que é o ponto da trajetória onde as pedras se cruzam.

20 b) Quando a pedra lançada de baixo atinge sua altura máxima (h m/ax ) ela para por um instante e sua velocidade se anula (v 2 = 0) antes de começar a cair (figura 2). Usando a Equação de Torricelli, temos: A pedra lançada de baixo não atinge o alto do penhasco. figura 2

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