Resistência dos Materiais II

Apresentação em tema: "Resistência dos Materiais II"— Transcrição da apresentação:

1 Resistência dos Materiais II
Aula 1 Professor Iran Aragão

2 Apresentação do docente:
- Iran Aragão - Engenheiro Mecânico (IME-RJ) - Mestrado em Engenharia Mecânica (IME-RJ) - Atuação na área de ensino – desde 1990; - Docência no Ensino Superior da Univ. Estácio de Sá – desde 2000;

3 Objetivos da Aula: Ao final desta aula, você será capaz de: Compreender o processo de determinação do Momento Estático de uma área plana; Compreender o processo de determinação do posicionamento do Centroide de uma área plana; Compreender o processo de determinação do Momento de Inércia de uma área plana.

4 INTRODUÇÃO Para que se decida tanto a forma quanto as dimensões adequadas a uma barra, torna-se necessário conhecer a influência das propriedades geométricas da seção no seu comportamento. Por isso esta aula se concentra na determinação das seguintes propriedades de uma área plana: Momento estático Centro Geométrico (centroide) Momento de Inércia

5 Momento Estático Definimos o momento estático de uma área como o produto entre o valor da área e a distância do centroide da área considerada até o eixo de referência que escolhemos para determinar o momento estático.

6 Momento Estático O momento estático da área infinitesimal dA em relação aos eixos x e y são obtidos através do produto entre a área dA e a distância medida entre o centroide da referida área e o eixo de referência. Assim, os momentos estáticos podem ser obtidos da seguinte forma: dMsx = y . dA dMsy = x . dA

7 Momento Estático 𝑀 𝑠𝑥 = 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 𝑀 𝑠𝑦 = 𝐴 𝑥 𝑑𝐴

8 Momento Estático 𝑀 𝑠𝑥 = 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 𝑀 𝑠𝑦 = 𝐴 𝑥 𝑑𝐴
𝑀 𝑠𝑥 = 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 𝑀 𝑠𝑦 = 𝐴 𝑥 𝑑𝐴 Seja um retângulo genérico de base b e altura h. Os momentos estáticos do retângulo em relação ao eixo x e em relação ao eixo y.

9 Momento Estático cálculo de Msx: 𝑑𝐴= 𝑏 . 𝑑𝑦 𝑑 𝑀 𝑠𝑥 =𝑦 𝑑𝐴= 𝑦 . 𝑏 . 𝑑𝑦
𝑀 𝑠𝑥 = 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 = 0 ℎ 𝑦 𝑏 𝑑𝑦= 𝑏 𝑦 ℎ 0 𝑴 𝒔𝒙 = 𝒃 𝒉 𝟐 𝟐

10 Momento Estático cálculo de Msy: 𝑑𝐴=ℎ . 𝑑𝑥 𝑑 𝑀 𝑠𝑦 =𝑥 𝑑𝐴= 𝑥 . ℎ . 𝑑𝑥
𝑀 𝑠𝑦 = 𝐴 𝑥 𝑑𝐴 = 0 𝑏 𝑥ℎ 𝑑𝑥= ℎ 𝑥 𝑏 0 𝑴 𝒔𝒚 = 𝒉 𝒃 𝟐 𝟐

11 Momento Estático Uma seção em forma de I composta por 3 retângulos:
O momento da figura será a soma dos momentos das figuras conhecidas, que são os 3 retângulos.

12 Momento Estático 𝑴 𝒔𝒙 = 𝒃 𝟏 𝒉 𝟏 𝒉 𝟏 + 𝒉 𝟐 + 𝒉 𝟏 𝟐 + 𝒃 𝟐 𝒉 𝟐 𝒉 𝟏 + 𝒉 𝟐 𝟐 + 𝒃 𝟏 𝒉 𝟏 𝒉 𝟏 𝟐

13 Momento Estático A posição do eixo de referência influencia no cálculo do momento estático.

14 Centro Geométrico (Centroide)
O momento estático de uma figura geométrica em relação a um eixo referencial é igual ao produto da área total da figura pela distância de seu centro geométrico até o eixo referencial. 𝑀 𝑠𝑥 = 𝐴 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑦 . 𝐴= 𝑦 𝐴 𝑑𝐴 𝑀 𝑠𝑦 = 𝐴 𝑥 𝑑𝐴 = 𝑥 . 𝐴= 𝑥 𝐴 𝑑𝐴

15 Centro Geométrico (Centroide)
localização do centro geométrico de uma figura genérica, pode-se dizer que: 𝑥 = 𝐴 𝑥 𝑑𝐴 𝐴 𝑑𝐴 𝑦 = 𝐴 𝑦𝑑𝐴 𝐴 𝑑𝐴

16 Momento de Inércia O momento de inércia representa a inércia (resistência) associada à tentativa de giro de uma área em torno de um eixo e pode ser representado numericamente através do produto da área pelo quadrado da distância entre a área e o eixo de referência.

17 Momento de Inércia Portanto, a diferença entre o momento estático e o momento de inércia é que no momento de inércia, a área é multiplicada pelo quadrado distância e não simplesmente pela distância como já vimos.

18 Momento de Inércia Dessa forma, podemos escrever diretamente as equações para o momento de inércia:

19 Teorema de Steiner ou eixos paralelos
O teorema dos Eixos Paralelos determina que o momento de inércia I de uma área relativamente a um eixo arbitrário AA’ é igual ao momento de inércia I segundo o eixo que passa no centróide da área (BB’) mais o produto da área pelo quadrado da distância entre eixos.

20 Propriedades das Áreas Planas

21 Propriedades das Áreas Planas

22 Resistência dos Materiais II
Aula 1 Professor Iran Aragão

23 EXEMPLO Determinando a altura do centroide já que a figura é simétrica se considerarmos um eixo vertical no centro da peça. 𝑦 = 3 𝑥 8 𝑥 10+1,5 +2 𝑥 10 𝑥 5 3 𝑥 8+2 𝑥 10 = =8,55 𝑐𝑚

24 EXEMPLO Determinando o momento de inércia. 𝐼 𝑥 = 8 𝑥 x (11,5−8,55) 𝑥 x (8,55 − 5) 2 = 645 cm4

25 Bom Estudo! Até a próxima aula!