© 2013 EFMN GEOMETRIA ANALÍTICA MATEMÁTI CA III Prof. Eloy Machado.

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1 © 2013 EFMN GEOMETRIA ANALÍTICA MATEMÁTI CA III Prof. Eloy Machado

2 POLIEDROS do grego hédra 'superfície, base, faces' do grego polús,pollê, 'numeroso' não convexos convexos cavidade (côn cavo )

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4  ângulo triédrico DIEDROS E TRIEDROS diedrotriedro

5 Dodecaedro Icosaedro Tetraedro Hexaedro Octaedro POLIEDROS REGULARES

6 Vértice (V) Aresta (A) Face (F) Ângulo poliédrico diagonal ELEMENTOS DE UM POLIEDRO

7 Triangulares:6

8 Triangulares:6 Quadrangulares:3

9 Triangulares:6 Quadrangulares:3 Hexagonais: 1 3 6  3  4 =  6  3 = 1  1  6 = 2A = 18 + 12 + 6 2A = 36 A = 18 Contagem face a face: Contagem real: 36 arestas 18 arestas 12 arestas 6 arestas

10 Ângulos tri édricos: (3 arestas cada) Ângulos tetra édricos: Vértices: F, G, J, I Vértices: A, B, C, D, E, H 4 6  4  3 =  6  4 = 2A = 12 + 24 2A = 36 A = 18 Contagem vértice a vértice: Contagem real: 36 arestas 18 arestas 12 arestas 24 arestas (4 arestas cada)

11 Conclusão: A contagem de arestas face a face, ou vértice a vértice, fornece sempre o dobro do valor correto: 2A = contagem de arestas face por face 2A = contagem de arestas vértice por vértice ou CONTAGEM DE ARESTAS

12 V A F Para todo poliedro convexo, vale a relação: V + A + F = 2 RELAÇÃO DE EULER vértices faces arestas Também conhecida como V – A + F = 2

13 Elementa doctrinae solidorum (E230) - 1750 RELAÇÃO DE EULER

14 6 8  6  8 = 48 arestas  8  3 = 24 arestas 2A = 24 + 48 2A = 72 A = 36 F = 8 + 6 F = 14 V + F = A + 2 V + 14 = 36 + 2 V = 24 Possui 24 vértices.

15 2A = 24 + 24 2A = 48 A = 24 F = 8 + 6 F = 14 V + F = A + 2 V + 14 = 24 + 2 V = 12 Possui 12 vértices. 6 8  6  4 = 24 arestas  8  3 = 24 arestas

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17 Bases (duas) aresta lateral face lateral aresta da base diagonal altura As duas bases são paralelas e congruentes As faces laterais são paralelogramos ELEMENTOS DE UM PRISMA

18 Prisma Antiprisma

19 Se alguma face do prisma não tem 4 lados, essa face é a base. DICA base base altura altura A altura é sempre a distância entre as bases.

20 NOMENCLATURA Prisma triangular

21 NOMENCLATURA Prisma quadrangular Prisma hexagonal Prisma pentagonal Prisma octogonal

22 NOMENCLATURA

23 Área da base (S B ) Área lateral (S L ) Área da face (S F ) MÉTRICA DOS PRISMAS H Volume = S B  H

24 PARALELEPÍPEDOS São os prismas quadrangulares cujas bases são paralelogramos As 6 faces são retângulos As 6 faces são quadrados (bloco retangular) (hexaedro regular) Paralelepípedo retorretângulo Cubo

25 a a 2a) D 2 = a 2 + 2a 2 = 3a 2 D =D =D =D = a 3 D 2 = a 2 + (a 2 ) 2 2 ) 2

26 b) 6 quadrados de área a 2 : ST =ST =ST =ST = 6a26a26a26a2 a) D 2 = a 2 + 2a 2 = 3a 2 D =D =D =D = a 3 D 2 = a 2 + (a 2 ) 2 2 ) 2

27 c) a altura: área da base: V = a 3 Volume = S B  H H = a S B = a 2 b) 6 quadrados de área a 2 : ST =ST =ST =ST = 6a26a26a26a2 a) D 2 = a 2 + 2a 2 = 3a 2 D =D =D =D = a 3 D 2 = a 2 + (a 2 ) 2 2 ) 2

28 b a d D 2 = a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 D = a 2 + b 2 + c 2 c d a) d2 =d2 =d2 =d2 = a2 +a2 +a2 +a2 + b2b2b2b2 D2 =D2 =D2 =D2 = c2 +c2 +c2 +c2 + d2d2d2d2

29 b) 2 áreas “a  c” D 2 = a 2 + b 2 + c 2 D = a 2 + b 2 + c 2 a) d2 =d2 =d2 =d2 = a2 +a2 +a2 +a2 + b2b2b2b2 D2 =D2 =D2 =D2 = c2 +c2 +c2 +c2 + d2d2d2d2

30 2 áreas “a  c” 2 áreas “b  c” b) D 2 = a 2 + b 2 + c 2 D = a 2 + b 2 + c 2 a) d2 =d2 =d2 =d2 = a2 +a2 +a2 +a2 + b2b2b2b2 D2 =D2 =D2 =D2 = c2 +c2 +c2 +c2 + d2d2d2d2

31 2 áreas “a  c” 2 áreas “b  c” 2 áreas “a  b” ST =ST =ST =ST = S T = 2  (ab + ac + bc) 2  ab + 2  ac + 2  bc b) D 2 = a 2 + b 2 + c 2 D = a 2 + b 2 + c 2 a) d2 =d2 =d2 =d2 = a2 +a2 +a2 +a2 + b2b2b2b2 D2 =D2 =D2 =D2 = c2 +c2 +c2 +c2 + d2d2d2d2

32 c) c altura: área da base: V = a  b  c Volume = S B  H H = c S B = a  b ST =ST =ST =ST = S T = 2  (ab + ac + bc) 2  ab + 2  ac + 2  bc b) D 2 = a 2 + b 2 + c 2 D = a 2 + b 2 + c 2 a) d2 =d2 =d2 =d2 = a2 +a2 +a2 +a2 + b2b2b2b2 D2 =D2 =D2 =D2 = c2 +c2 +c2 +c2 + d2d2d2d2

33 PRISMA RETO faces laterais = retângulos altura = aresta lateral altura  Prisma oblíquo Prisma reto Prisma reto

34 quadrado pentágono regular Suas bases são polígonos regulares triânguloequilátero PRISMA REGULAR Todo prisma regular é reto.

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38 Base: 12 1 1,4 SB =SB =SB =SB = (B + b)  h 2 SB =SB =SB =SB = (1,4 + 1)  12 2 S B = 14,4 m 2 Altura V = 14,4  5 Volume = S B  H = 72 m 3  V = 72 000 L

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40 HEXÁGONO REGULAR Triângulo equilátero O hexágono regular equivale a 6 triângulos equiláteros l l ll Triângulo equilátero Hexágono regular SB =SB =SB =SB = SB =SB =SB =SB =

41 = 2a SB =SB =SB =SB = 6a26a26a26a2 43 H = 2a V = 6a26a26a26a24 3  2a = 12  a 3 43 V = 3  a 3 3 = 192 3 3a 3 = 192 a 3 = 64  a = 4 cm H = 2a  H = 8 cm

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43 MINI DESAFIOS Qual é cada prisma misterioso abaixo? 1) O prisma tem 10 faces: 10 faces: 2 bases 8 faces laterais  Base de 8 lados  Prisma octogonal

44 Qual é cada prisma misterioso abaixo? 2) O prisma tem 10 vértices: 10 vértices:  Cada base tem 5 vértices  Prisma pentagonal  Cada base tem 5 lados MINI DESAFIOS

45 Qual é cada prisma misterioso abaixo? 3) O prisma tem 18 arestas: 18 arestas:  Prisma hexagonal  Cada base tem 6 lados x na base de cima x na base de baixo x conectando as bases 3x = 18  x = 6 MINI DESAFIOS

46 Para todo poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é: S = (V – 2)  360 o SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES Soma dos ângulos das faces número de vértices

47 Elementa doctrinae solidorum (E230) - 1750 SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES

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49 PARALELEPÍPEDOS São os prismas quadrangulares cujas bases são paralelogramos 6 faces são retângulos: Paralelepípedo retorretângulo Cubo 6 faces são quadrados: (bloco retangular) (hexaedro regular) Oblíquos