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PROFESSOR(A) DAVID MACHADO TRIÂNGULO RETÂNGULO RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS.
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“Um mar calmo nunca fez um bom marinheiro.” (autor desconhecido)
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RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Em um triângulo retângulo as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente são assim definidas:
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: 555 ÂNGULO RETO
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C A T E O H I P O T E N U S A C A T E T O
TRIÂNGULO RETÂNGULO: 555 C A T E O H I P O T E N U S A X C A T E T O
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O P S T C A T E O H I P O T E N U S A C A T E T O A D J A C E N T E
TRIÂNGULO RETÂNGULO: 555 O P S T C A T E O H I P O T E N U S A ‘ X C A T E T O A D J A C E N T E
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A D J C E N T C A T E O H I P O T E N U S A C A T E T O O P O S T O
TRIÂNGULO RETÂNGULO: A D J C E N T 555 C A T E O Y H I P O T E N U S A ‘ C A T E T O O P O S T O
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: 555 X Y
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: X Y 555 Y X 90o 180o + + =
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: X Y 555 90o 90o 180o + + X Y =
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: X Y 555 (Ângulos Complementares) 90o + = X Y
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: a c b
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: a c b
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: a c b
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: a c b
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: OBSERVE AGORA
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30o 45o 60o Sen(x) Cos(x) Tg(x) Valores Importantes 1 1 2 3 2 2 2 3 2
TRIÂNGULO RETÂNGULO: Valores Importantes 30o 45o 60o Sen(x) Cos(x) Tg(x) 1 1 2 3 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 1 3 3
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TRIÂNGULO RETÂNGULO: Exemplo Rápido: 12 12 15 9 1 15 9 15 12 9
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começa sempre com o oposto ao ângulo dado
TRIÂNGULO QUALQUER: c a b Lei dos senos: 1 começa sempre com o oposto ao ângulo dado Frente
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começa sempre com o oposto ao ângulo dado
TRIÂNGULO QUALQUER : c a b Lei dos senos: 1 começa sempre com o oposto ao ângulo dado
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começa sempre com o oposto ao ângulo dado
TRIÂNGULO QUALQUER : c a b Lei dos senos: 1 começa sempre com o oposto ao ângulo dado
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CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO R :
b TRIÂNGULO QUALQUER INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO R : 1 Lei dos senos:
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começa sempre com o oposto ao ângulo dado
TRIÂNGULO QUALQUER : Lei dos senos: começa sempre com o oposto ao ângulo dado x 12
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TRIÂNGULO QUALQUER :
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começa sempre com o oposto ao ângulo dado
TRIÂNGULO QUALQUER : Lei dos Cossenos: c a b 1 começa sempre com o oposto ao ângulo dado
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começa sempre com o oposto ao ângulo dado
TRIÂNGULO QUALQUER : Lei dos Cossenos: c a b começa sempre com o oposto ao ângulo dado
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começa sempre com o oposto ao ângulo dado
TRIÂNGULO QUALQUER : Lei dos Cossenos: c a b começa sempre com o oposto ao ângulo dado
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começa sempre com o oposto ao ângulo dado
TRIÂNGULO QUALQUER : Lei dos Cossenos: x 6 10 começa sempre com o oposto ao ângulo dado
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TRIÂNGULO QUALQUER :
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ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER :
b c h a
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ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER :
Substituindo h:
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ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER :
b c h a
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ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER :
b c h a
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Qual a área do triângulo abaixo:
40m 30º 90m
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RESOLUÇÃO DAS ATIVIDADES
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Questão 01 A inclinação das vias públicas é um problema para o transporte. Na cidade de Dunedin, na Nova Zelândia, está localizada a rua Baldwin que, em seu trecho inferior, tem uma rampa de inclinação moderada e, em seu trecho superior, tem uma rampa extremamente íngreme.
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Questão 01 O trecho com maior inclinação apresenta uma taxa de o que significa que, para cada metros percorridos horizontalmente, é necessário vencer metro na vertical. < Acesso em: Adaptado.
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Questão 01 Considere que:
# o ângulo de inclinação de uma rampa é medido entre a horizontal e a rampa; # a inclinação de uma rampa é expressa pela tangente do seu ângulo de inclinação; e # o triângulo retângulo, da figura, representa parte do trecho com maior inclinação da rua Baldwin.
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Questão 01 Considere que:
# o ângulo de inclinação de uma rampa é medido entre a horizontal e a rampa; # a inclinação de uma rampa é expressa pela tangente do seu ângulo de inclinação; e # o triângulo retângulo, da figura, representa parte do trecho com maior inclinação da rua Baldwin.
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Questão 01 Nessas condições, o ângulo de inclinação desse trecho da rua Baldwin é, aproximadamente (A) 12º (B) 15º (C) 19º (D) 21º (E) 24º
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Resolução Q01 Chamaremos de a medida do ângulo de inclinação da rampa, dai podemos escrever: Ou seja, aproximadamente 0,344. Nessas condições, o ângulo de inclinação desse trecho da rua é mais próximo de 19º .
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Questão 02 Um terreno inclinado traz dificuldades para a construção civil, para a agricultura e para um caminhante aventureiro. Seja a medida do angulo que a superfície do terreno faz com o plano horizontal, conforme a figura.
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Questão 02
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Questão 02 A taxa de declividade, ou apenas declividade, de um terreno é a tangente desse angulo A declividade de um terreno é, normalmente, expressa em porcentagem, por exemplo, se tg = 0,23, então, a taxa de declividade é 23%.
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Questão 02 Uma rampa foi construída com declividade de 50%, de modo a atingir um andar superior de um hospital a uma altura de 20 metros. Nessas condições, o comprimento da rampa é (considere ).
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Questão 02 Uma rampa foi construída com declividade de 50%, de modo a atingir um andar superior de um hospital a uma altura de 20 metros. Nessas condições, o comprimento da rampa é (considere ). (A) 22,5 m (D) 45,0 m (B) 30,0 m (E) 52,5 m (C) 37,5 m
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50% e com desnível de 20m, temos:
Resolução Q02 Pensando em um terreno com declividade de 50% e com desnível de 20m, temos: x 20m y
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Considerando x a distância percorrida até o andar superior, temos:
Resolução Q02 Considerando x a distância percorrida até o andar superior, temos:
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Resolução Q02 x 20m y = 40m
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Aplicando o teorema de Pitágoras:
Resolução Q02 Aplicando o teorema de Pitágoras:
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Questão 03 Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria. Sabendo que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 20 cm e que a base do plano inclinado mede cm
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Questão 03 conforme mostra a figura, então a escada deverá ter:
(A) 10 degraus. (B) 28 degraus. (C) 54 degraus. (D) 14 degraus. (E) 16 degraus
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Resolução Q03 Como a altura do degrau é 20cm, temos:
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Resolução Q03
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Questão 04 Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas em 8 andares, conforme indica fielmente a figura. O edifício foi feito em um terreno cuja inclinação em relação à horizontal mede graus. A altura de cada sala é 3 m a extensão 10 m e a altura da pilastra de sustentação, que mantém o edifício na horizontal, é 6 m
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Questão 04
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Questão 04
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Questão 04 Usando os dados da tabela, a melhor aproximação inteira para é (A) 4º (B) 5º (C) 6º (D) 7º (E) 8º
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Questão 04 Considerando os ângulos formados por duas Retas paralelas e uma transversal, e sabendo que ângulos alternos internos são congruentes, temos:
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Resolução Q04 6m
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60m 10 10 10 10 10 6m
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60m 10 10 10 10 10 6m
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Resolução Q04 60m 6m
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Questão 05 localizando-se em B ele fez a medição do ângulo FBC obtendo 60º. Observe a figura a seguir que ilustra esta situação
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Questão 05 De acordo com as informações, as distâncias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F obtidas pelo comandante foram, respectivamente,
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Questão 05 O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma rota retilínea AC orientado por um farol F localizado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o comandante obteve a medida FAC = 30º e, após percorrer milhas marítimas,
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Resolução Q05
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Resolução Q05
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Resolução Q05
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Questão 06 Admita que, para se deslocar da cidade A para a cidade B, é preciso passar pela cidade C. Sabe-se que o ângulo ACB mede 120o, a distância AC é de 60 km e a distância BC é de 70km. Caso seja construída uma estrada, aproximadamente reta, ligando as cidades A e B, então o percurso entra as duas cidades será diminuído em. (Dado: use a aproximação
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Resolução Q06 C 120º 70km 60km A B X
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Resolução Q06
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Questão 07 No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. (O Estado de S.Paulo, Adaptado.)
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Questão 07 Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que ,onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que , a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: (A) (D) 250. (B) (E) 600. (C) 100.
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Resolução Q07
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Resolução Q07
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Resolução Q07 X T S E 320km 360km
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Resolução Q07
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Questão 08 Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CAB = 45º e ACB = 60º. Depois, com o uso de uma fita métrica, mede-se a distância BC = 30 m.
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Questão 08 Foi usada a aproximação . A distância AB, em metros, é 28
30 32 34
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x 30km
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Questão 09 Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e BCD valem 30°, e o ACB vale 105°, como mostra a figura:
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Questão 09
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Questão 09 No triangulo ABC, ABC = 45º , aplicando a lei
dos Senos, temos:
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Questão 09 No triangulo BDC, temos:
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Questão 10 Após um acidente aéreo em alto mar três navios foram destacados para as buscas na região. A figura abaixo representa a posição dos navios.
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Questão 10
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Questão 10 O triângulo imaginário que possui os três navios como vértices foi a área de buscas, com base nas informações da figura determine em km2 esta área. (Use ). 420 km2 1680 km2 1260 km2 840 km2 3360 km2
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Resolução 10
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