MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

Apresentação em tema: "MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA"— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Anicio Bechara Arero FAX:(91) 1

2 OBJETIVO DA DISCIPLINA
Oferecer ao educando conhecimentos básicos sobre as mais variadas operações comerciais e financeiras, proporcionando a compreensão da lógica do sistema econômico conhecido por economia de mercado. 2

3 UNIDADES DA DISCIPLINA
Unidade I – Aritimética Racional; Unidade II – Juro Simples; Unidade II – Desconto Simples; * CONTEÚDO DA 1a NI Unidade IV – Juro Composto; Unidade V – Desconto Composto; Undade VI – Capitalização e Amortização Composta; Undade VII – Empréstimo; Unidade VIII– Depreciação. * CONTEÚDO DA 2a NI 3

4 UNIDADE I – ARITIMÉTICA RACIONAL
Conteúdos: - Razão; - Proporção; - Grandezas Proporcionais; - Regra de Sociedade; - Regra de Três; - Porcentagem; e, - Operações Sobre Mercadorias. Objetivo da Unidade: Desenvolver habilidades para resolver problemas que envolvam os conteúdos acima citados. 4

5 a/b ou a : b (lê-se “a está para b”)
1- Razões 1.1- Razão de dois número. 1.2- Razão de duas grandezas. 1.1- Razão de dois números: a razão entre dois números a e b  0, nessa ordem, é o quociente de a por b. a/b ou a : b (lê-se “a está para b”) a e b: elementos da razão a → antecedente b → conseqüente 5

6 (representações de uma razão)
Exemplo: 1- Calcule a razão entre o primeiro e o segundo número: a) 6 e b) 2I3 e 4I5 Solução: (representações de uma razão)

7 1.2- Razão entre duas grandezas: é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Exemplos: a- Calcule a razão entre 600 metros e 3 quilômetros. (grandezas de mesma espécie)‏ B- Determinado município tem uma área de 543 km2 e uma população em torno de habitantes. Encontre a razão entre o número de habitantes e a área desse município (densidade demográfica) e interprete o resultado. (grandezas de espécies diferentes)‏ Para cada km2, temos 120 habiantes.

8 Proporção: é uma igualdade entre duas razões.
Lê-se: a está para b, assim como c está para d. Termos da proporção: a, b, c, d Antecedentes: a e c Conseqüentes: b e d Extremos da proporção: a (1o termo), d (4o termo) Meios da proporção: b (2o termo), c (3o termo) Propriedade Fundamental das Proporções : em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos (vice- versa) 8

9 Exemplos: a) Encontre o valor de x na proporção 2 : 5 :: (3x-2) : 10. b) A maquete de um prédio foi feita na escala de 1 : Encontre a altura do prédio, sabendo que a maqueta tem 60 cm de altura.

10 Proporção Múltipla ou Série de Razões Iguais.
Propriedade Fundamental: em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para seu respectivo conseqüente.

11 Exemplo: 1) Calcule x, y e z na série de razões iguais x / 4 = y / 6 = z / 8, de modo que x + y + z = 459.

12 Grandezas proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são diretamente proporcionais quando variam sempre na mesma proporção. Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são inversamente proporcionais quando variam sempre na razão inversa da outra. Considere uma distância de 1200 km. Grandeza-I 100 200 300 500 Grandeza-II 270 540 810 1350 ‏Grandeza-I 100 200 300 400 Grandeza-II‏ 12 6 4 3 12

13 Exemplos: 1) Divida o número em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 8 .

14 2) Três rapazes cobraram $ 600,00 para limpar um terreno
2) Três rapazes cobraram $ 600,00 para limpar um terreno. Como devem repartir essa quantia, se o primeiro trabalhou 6 horas, o segundo 8 horas e o terceiro 10 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço?

15 3) Divida o número 1.400 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3/2 e 6.
a) Invertemos a seqüência 2, 3/2 e 6: 1/2, 2/3 e 1/6. b) Reduzimos ao mesmo denominador: 3/6, 4/6 e 1/6. c) Eliminamos o denominador: 3, 4 e 1

16 REGRA DE SOCIEDADE I) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. C (iguais) e T (iguais) II) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. C (desiguais) e T (iguais) III) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. C (iguais) e T (desiguais) IV) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais. C (desiguais) e T (desiguais) 16

17 Exemplo: - Após 1 ano de sociedade, três sócios obtiveram um lucro $60.000,00. Sabendo que o 1o entrou para a sociedade com o capital de $8.000,00, o 2o, com $10.000,00 e o 3o, com $ 7.000,00. Qual o lucro de cada sócio? 17

18 REGRA DE TRÊS TIPOS DE REGRA DE TRÊS
- Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas. TIPOS DE REGRA DE TRÊS 1) Regra de três simples: apresenta apenas duas grandezas, onde uma é direta ou inversamente proporcional a outra. 2) Regra de três composta: apresenta três ou mais grandezas entre si. 18

19 Exemplos: 1) Um profissional, trabalhando 30 dias, recebe $1.800,00. Quanto receberá se trabalhar 38 dias?

20 completam 2) Se 9 voluntários completam um trabalho em 10 dias, em quantos dias 18 voluntários completariam o mesmo trabalho?

21 3) Para pavimentar uma estrada de 5
3) Para pavimentar uma estrada de metros de comprimento, 30 trabalhadores gastam 15 dias de 8 horas. Quantos dias de 9 horas gastarão 25 trabalhadores para pavimentar metros da mesma estrada?

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23 PERCENTAGEM Razão centesimal: toda razão que apresenta conseqüente 100. Taxa percentual: quando o conseqüente 100 é substituído pelo símbolo % (por cento). 23

24 Elementos do cálculo percentual:
a) Taxa centesimal (i)‏:é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. b) Percentagem (pe): é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. c) Principal (Pr)‏: é o valor do qual se determina a percentagem. Exemplo: 20% de 500,00 é igual a 100,00. 20% é a taxa, 500,00 é o principal e 100,00 a percentagem Fórmula: Podemos resolver por regra de três simples direta: 24

25 EXEMPLO: 1) Um revendedor de automóvel recebe $ 2.800,00 pela venda de um carro tipo A, tendo sido de 3,5% a taxa de comissão. Encontre o valor de venda do produto. 25

26 Taxa Unitária (i): utilza-se como valor referencial a unidade.
2) A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Então, quantas pessoas serão reprovadas em um concurso público que registra a inscrição de candidatos?  Taxa Unitária (i): utilza-se como valor referencial a unidade. Exemplo: 1) encontre a taxa unitária correspondente a 35%. 26

27 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS: São problemas de percentagens relacionados às operações de compra e venda de mercadorias. Vendas com lucro: 1- Lucro sobre o Preço de Custo: Exemplo: - Um empresário comprou um produto por $25.800,00. Desejando ganhar 15% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda? - 27

28 2-Lucro sobre o Preço de Venda:
Exemplo: 1) Um comerciante comprou um produto por $1.250,00. Desejando ganhar 16,5% sobre o preço de venda. Qual deve ser este preço?

29 1- prejuízo sobre o preço de custo:
VENDAS COM PREJUÍZO 1- prejuízo sobre o preço de custo: Exemplo: 1) Ao adquirir um produto por $12.600,00, um empresário só conseguiu negociá-lo com um prejuízo de 5% sobre o preço de custo. Por quanto vendeu o produto? 29

30 2- prejuízo sobre o preço de venda:
Exemplo: 1- Um produto que custou $8.400,00 foi vendido com um prejuízo de 9% sobre o preço de venda. Qual o valor conseguido na venda? 30

31 ABATIMENTOS SUCESSIVOS
Valor líquido( VL): Exemplo: - Sabe-se que uma fatura de $14.500,00 sofre abatimentos sucessivos de 8%, 6% e 4%, então, qual o valor líquido?

32 i AUMENTOS SUCESSIVOS(M) Exemplo:
Sobre um produto de $25.800,00 incide os seguintes impostos: 10% federal, 6% estadual e 5% municipal. Qual o preço final desse produto?

33 UNIDADE II – JURO SIMPLES
OBJETIVO: Conhecer e distinguir o regime de capitalização a juro simples, bem como, aplicar corretamente as suas fórmulas. CONTEÚDO: - Juro, capital, taxa de juro, período de capitalização e montante. - Regimes de capitalização - Taxas proporcionais e equivalentes - Juro comercial e juro exato 33

34 Juros Simples: é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.
Evolução de R$ 100,00 à taxa de 10%ao mês. Período(mês)‏ Juro Montante ---- R$ 1 000,00 1 R$ 100,00 R$ 1 100,00 2 R$ 1 200,00 3 R$ 1 300,00 34

35 - Fórmula para o cálculo do juro simples:
- Fórmula para o cálculo do montante (m): Nota: a fórmula j = C.i.n, bem como nas que virão, taxa e o prazo de aplicação devem estar expressos na mesma unidade de tempo. 35

36 Exemplos: 1) Um capital de $ 1600,00 foi aplicado, em regime de juros simples, a uma taxa de 12% ao ano, durante 7 meses. Determine: a) o juro simples b) o montante Solução: a) j = C.i.n =1600x0,01x7=114,00 b) M = C + j = = 1714,00

37 02- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro simples de R$ 7 830,00. Calcule o valor do capital que foi inicialmente emprestado.  37

38 3) Em quanto tempo um capital triplica de valor, em regime de juro simples, à taxa de 20% ao ano?
4) Aplicou-se, durante dois anos, um capital de $ ,00, a uma determinada taxa. Encontre essa taxa, sabendo que no final da aplicação obteve-se $ ,00 de juro mais capital. 38

39 UNIDADE III – DESCONTO SIMPLES
OBJETIVO: Saber realizar as operações de desconto, saber fazer a equivalência de capitais diferidos e calcular o valor atual de um título de crédito. CONTEÚDO: - Títulos de Crédito; - Desconto Comercial; - Desconto Racional; - Taxa de Juro Efetiva; e, - Equivalência de Capitais Diferidos. 39

40 d = N.i.n Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora:
. D → o valor do desconto comercial; . N → o valor nominal do título; . i → a taxa unitária de desconto; . n → o tempo. Cálculo do Valor Atual comercial ou valor descontado (A): A = N – d ou A = N(1- i.t)‏ 40

41 Exemplos: 1) Um título de $ ,00 vai ser descontado à taxa de 3,6% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor do desconto comercial e o valor atual comercial.

42 2- Uma letra de câmbio de valor nominal igual a $ 8
2- Uma letra de câmbio de valor nominal igual a $ 8.400,00 foi resgatada antes de seu vencimento por $ 7.200,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 2% ao mês.

43 Equivalência de Capitais Diferidos - Denominamos capitais diferidos quando são exigíveis em datas diferentes. Para que dois ou mais capitais diferidos sejam equivalentes, em certa época, é preciso que seus valores atuais (presentes), nessa época, sejam iguais. Exemplo: 1) Um título de valor nominal equivalente a $ 2.500,00, vencível em 3 meses, vai ser substituído por outro, com vencimento para 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados à taxa de 2,5% ao mês, qual o valor nominal do novo título?

44 Valor Atual Racional (Ar):
Desconto racional ou “por dentro”: Equivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do título. Valor Atual Racional (Ar): 44

45 Operações básicas: 1,038  1,03⋀8 ou 1,03yx8  1,267
 1,462 inv ou shift ou 2end ⋀5 ou yx5  1,079 1,035 Log = 0,015 ou Log 1,035 = 0,015 45

46 UNIDADE IV – JURO COMPOSTO
OBJETIVO: Conhecer e distinguir o regime de capitalização a juros compostos, bem como, aplicar corretamente a fórmula fundamental do juro composto no cálculo do montante, do capital inicial, do período financeiro e da taxa de juro. CONTEÚDOS: - Montante - Fator de Capitalização - Taxas Equivalentes - Taxas Nominal, Efetiva, Real e Aparente 46

47 Juro Composto: é aquele que em cada período financeiro, a partir do
Segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior. Evolução de R$ 500,00 a juro composto de 10% ao mês: Cálculo do Montante: M = C.(1 + i)n C  capital i  taxa unitária n  período (1 + i)n  fator de capitalização ou fator de acumulação de capital PERÍODO JURO MONTANTE ---- R$ 500,00 1 R$ 50,00 R$ 550,00 2 R$ 55,00 R$ 605,00 3 R$ 60,50 R$ 665,50 4 R$ 66,55 R$ 732,05 47

48 Exemplos: 1) Um comerciante fez uma aplicação de $ , à taxa de 2,25% ao mês, pelo prazo de 8 meses, em regime de juro composto. Determine: a) o fator de capitalização; b) o montante.

49 2) Calcule o capital que gerou um montante de R$ 28
2) Calcule o capital que gerou um montante de R$ ,00, à taxa composta de 1,5% ao mês, pelo prazo de 1 ano e 3 meses, com capitalização trimestral. 49

50 3) Um empresário resolveu aplicar, em regime de juro composto, 30
3) Um empresário resolveu aplicar, em regime de juro composto, ,00 numa instituição financeira. Após o décimo mês, verificou que o seu saldo era de $ ,00. Qual a taxa que a instituição aplicou? 50

51 4) Um investidor aplicou $ 240
4) Um investidor aplicou $ ,00 em uma instituição financeira que paga 24% ao ano em regime de juro composto. Ao final de determinado período, recebe o montante de $ ,00. Durante quantos meses esse capital foi aplicado? 51

52 Taxas Equivalentes: São aquelas que, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante num mesmo tempo. Elas não proporcionais. Encontre as taxas trimestral, mensal e diária equivalentes à taxa de 30%a.a. 52

53 Taxa Nominal: é aquela cujo período de capitalização, não coincide com o período a que ela se refere. Exemplos de taxas nominais: 1- 48% ao ano capitalizados semestralmente. 2- 36% ao ano capitalizados mensalmente. Taxa de Juro Efetiva: é a taxa anual equivalente a taxa semestral, trimestral, mensal etc. Exemplo: Uma instituição financeira cobra a taxa 36%a.a. com capitalzaçao trimestral. Encontre a taxa efetiva. 53

54 Taxa Real, Taxa de Inflação e Taxa Aparente:
Taxa aparente: é aquela que vigora nas operações correntes.  Quando não há inflação,a taxa aparente é igual à taxa real.  Quando há inflação, a taxa aparente é formada por 2 componentes: um correspondente a inflação e outro correspondente ao juro real. Exemplo: Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%a.a. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período, foi de 15%a.a.. 54

55 UNIDADE V – DESCONTO COMPOSTO
Objetivo: Saber realizar as operações de desconto, resolver problemas que envolvam equivalência de capitais diferidos e calcular o valor atual de um título de crédito em regime de capitalização composta. Conteúdos: - Desconto composto racional - Valor atual de um título - Equivalência de capitais diferidos. 55

56 Desconto Composto Racional: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes da data de seu vencimento, isto é, a diferença entre o valor nominal (valor do compromisso) e o valor atual (valor descontado) de um título. d = N - A Cálculo do valor atual: 56

57 Exemplos:: 1) Um título de $ 5.600,00, foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 1,5% ao mês Determine: a) o valor atual b) o desconto racional 57

58 2) Um título de $ 4. 800,00 foi resgatado por $ 4
2) Um título de $ 4.800,00 foi resgatado por $ 4.240,00 com uma taxa composta de 2,5% ao mês. Qual o tempo de antecipação?

59 Equivalência de Capitais Diferidos
Exemplo: - Dois títulos, um de $ 6.000,00 vencível em 3 meses, e outro de $ 8.200,00, vencível em 5 meses, deverão ser resgatados por um só pagamento, dentre de 4 meses. Qual o valor desse resgate, no regime de juros composto, à taxa de 3% ao mês?

60 CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO COMPOSTA
Objetivo: Conceituar e classificar Rendas. Calcular os juros, as parcelas, os montantes e os valores atuais envolvidos nas operações de capitalização e amortização composta. Conteúdo: - Rendas - Capitalização Composta - Amortização Composta 60

61 RENDAS: é uma sucessão de depósitos ou de prestações realizadas, em épocas diferentes, objetivando formar um capital ou resgatar uma dívida. TIPOS DE RENDAS: I. Rendas certas ou anuidades: ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivo valores podem ser prefixados.(compra de bens a prazo) II. Rendas aleatórias: ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser previamente determinado.(pagamento de um seguro de vida) 61

62 Em relação ao vencimento do 1o termo, uma Renda Certa pode ser Imediata (Postecipada), Antecipada ou Diferida. 1a) Renda Imediata: ocorre quando vencimento do 1o termo se dá no fim do 1o período a contar da data zero. 2a) Renda Antecipada: ocorre quando vencimento do 1o termo se dá na data zero. 3a) Renda Diferida: ocorre quando vencimento do 1o termo se dá no fim de um determinado número de períodos, a contar da data zero. 62

63 1) Montante de uma Renda imediata (SI):
Capitalização Composta: ocorre quando realizamos Investimentos com o objetivo de constituir um capital. 1) Montante de uma Renda imediata (SI): 63

64 Exemplo: - Um trabalhador deposita $ 220,00 no final de cada mês, objetivando a compra de um bem. Sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?

65 Montante de uma Renda Antecipada (Sa):.
Exemplo: - Um trabalhador deposita $ 220,00 no início de cada mês, objetivando a compra de um bem. sabendo que seu ganho é de 1,5% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?

66 Amortização Composta: ocorre quando resgatamos uma dívida, pagando certa quantia, em épocas distintas. 1) Valor Atual de uma Renda Imediata (AI): 66

67 Exemplo: - Uma loja vende um produto em 6 prestações mensais de $ 480,00 cada, sendo a primeira um mês após a compra. Sabendo que a loja usa a taxa de 48% ao ano, capitalizada mensalmente, encontre o valor à vista do produto.

68 2) Valor Atual de uma Renda Antecipada (Aa):
Exemplo: - Uma loja vende um produto em 6 prestações mensais de$ 480,00 cada, pagas mensalmente, sendo a primeira dada como entrada. Sabendo que a loja usa a taxa de 48% ao ano, capitalizada mensalmente, encontre o valor à vista do produto.

69 Valor Atual de uma Renda Diferida(Ad):
Exemplo: - Um cliente comprou um aparelho de som em uma loja, em 6 prestações mensais de $840,00 cada uma, a primeira 4 meses após a compra. Para vendas a prazo, a loja usa taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente. Qual o valor à vista do aparelho?

70 Exercício de fixação: - Uma loja tem os seguintes planos de venda a prazo: a) pagamento em 5 prestações mensais iguais, a primeira 1 mês após a compra; b) pagamento em 5 prestações mensais iguais, a primeira paga no ato da assinatura do contrato, e c) pagamento em 5 prestações mensais iguais, a primeira 3 meses após a compra. Calcular o valor da prestação de cada plano de um objeto que custa à vista $ 2.000,00, se a loja usa a taxa de 36% ao ano capitalizada mensalmente.

71 UNIDADE VII – EMPRÉSTIMO
OBJETIVO: Conceituar e diferenciar os tipos de empréstimos, e estudar de forma detalhada os mais usuais sistemas de amortização. CONTEÚDO: - Sistema Francês de Amortização (SFA); - Sistema de Amortização Constante (SAC); - Sistema de Amortização Misto (SAM); 71

72 Sistema Francês de Amortização(SFA) : o mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com prestações constantes, periódicas e imediatas. Valor do empréstimo (D): corresponde ao valor de uma renda imediata.

73 Exemplo: Um empresário assume uma dívida de $ ,00 para ser paga pelo Sistema Francês de Amortização (SFA) em 4 prestações anuais, à taxa de 24% ao ano. a) Encontre o valor da prestação. b) Monte a planilha de amortização.

74 Período(n) Prestação(Tn) Juro(Jn) Amortizaça(An) Saldo Devedr(Dn) - 1 83.195 48.000 35.195 2 39.793 43.402 3 29.137 54.058 67.345 4 83.508* 16.163 Total *Feito acerto para zerar o saldo devedor (T=J + A). Jn = ixDn An = Tn – Jn Dn = Dn-1 - An

75 UNIDADE VIII – DEPRECIAÇÃO
OBJETIVO: Conceituar e estudar os diferentes métodos de depreciação. CONTEÚDO: Depreciação Teórica TIPOS DE DEPRECIAÇÃO: 1- Depreciação Física: ocorre pela ação do tempo ou pelo uso. 2- Depreciação Tecnológica: ocorre em função do avanço tecnológico. MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO: 1- Método Linear. 2- Método da percentagem constante. 3- Método de Cole. 3- Método da unidade de Trabalho. 4- Método da unidade de Produção. 75

76 Método Linear: dividi-se em cotas iguais, durante a vida útil do bem, o Valor a ser depreciado.
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77 Exemplos: 1) Determinado empresário investiu, em sua empresa, $ ,00 na compra de um bem, cuja vida útil é de 5 anos e valor residual nulo. Calcular a cota anual de depreciação, pelo método linear. 77

78 2) Depreciar em 4 anos, um bem que foi adquirido por $ 2
2) Depreciar em 4 anos, um bem que foi adquirido por $ 2.600,00, nos seguintes casos: a) Pelo método linear, sem valor residual. b) Pelo método linear, com $ 200,00 de valor residual.

79 A Matemática Comercial e Financeira, desenvolveu-se simultaneamente com o sistema econômico conhecido por “Economia de Mercado”. Dominá-la, por conseguinte, tornou-se como que impositivo, quer pelas implicações do trabalho assalariado, quer pelas operações de compra e venda, quer pelos investimentos de capital, daí a sua importância. Sucesso a todos e um feliz aprendizado. Anicio Bechara Aero. 79