Entropia Estatística e o Ensino da 2ª Lei da Termodinâmica

Apresentação em tema: "Entropia Estatística e o Ensino da 2ª Lei da Termodinâmica"— Transcrição da apresentação:

1 Entropia Estatística e o Ensino da 2ª Lei da Termodinâmica
Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ VII EEEFis – UFRGS Porto Alegre, agosto de 2017

2 Baseado na dissertação de mestrado de Marcos Moura
“Entropia Estatística e o Ensino da 2ª Lei da Termodinâmica” Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ, 2016

3 Sumário Ensino e aprendizagem da segunda lei da termodinâmica
Entropia e a segunda lei da termodinâmica: uma sequência didática A seta do tempo Entropia, energia e temperatura Entropia, volume e pressão Equação de estado de sistemas ideais A distribuição de Boltzmann Comentários finais

4 Ensino e Aprendizagem da Segunda Lei da Termodinâmica

5 “Agora, na segunda lei da termodinâmica...”
Os Fatos da Vida

6 Nenhuma outra lei científica contribuiu mais para a liberação do espírito humano que a segunda lei da termodinâmica. Ela é a base para a compreensão do motivo de qualquer mudança ocorrer. P. Atkins, Four Laws that Drive the Universe

7 Entropia e a 2ª Lei da Termodinâmica
Temas fundamentais para a compreensão de boa parte da física, química e biologia. “Não conhecer a 2ª lei da termodinâmica equivale a nunca ter lido um trabalho de Shakespeare” (C. P. Snow, The Two Cultures) “Na verdade eu tenho sérias dúvidas sobre se Snow entendia a 2ª lei, mas concordo com seus sentimentos” (P. Atkins, Four Laws that Drive the Universe) Temas importantes e difíceis. Snow foi um químico e ensaísta inglês (não conhecer Shakespeare é um insulto entre os ingleses). Atkins também é químico e inglês.

8 Entropia e a 2ª Lei da Termodinâmica
“Termodinâmica é algo que alguma outra pessoa certamente entende.” (opinião de muitos estudantes de Física, segundo E. Lieb e J. Yngvason) “Ninguém sabe o que é entropia, de modo que você sempre terá a vantagem em um debate.” (conselho de J. von Neumann a C. Shannon) Elliott Lieb, Jakob Yngvason, The Physics and Mathematics of the Second Law of Thermodynamics, Phys. Rept. 310 (1999) 1-96

9 Entropia e a 2ª Lei da Termodinâmica
“A termodinâmica é uma ciência com fundamentos seguros e definições claras.” (J. C. Maxwell) “Todo matemático sabe que é impossível entender um curso elementar de termodinâmica.” (V. I. Arnold) Em geral, tópicos difíceis são estão associados a um tratamento matemático rigoroso do tema. Não parece ser o caso. J. Uffink, “Bluff your way in the second law of thermodynamics,” Stud. Hist. Philos. Mod. Phys., vol. 32, no. 3, pp. 305–394, 2001.

10 As leis da termodinâmica no ensino superior
Equilíbrio. Lei Zero. Temperatura e termômetros. Trabalho adiabático. Energia interna: ∆U = ‒W(adiab.) Calor e a 1ª lei da termodinâmica: ∆U = Q ‒ W Processos termodinâmicos. Máquinas térmicas. Eficiência. 2ª lei da termodinâmica: formulações de Kelvin e Clausius. Irreversibilidade. Teorema de Carnot. Definição termodinâmica de temperatura. Teorema de Clausius. Entropia. Formulação entrópica da 2ª lei: ∆S ≥ 0 num sistema isolado. Por exemplo: Nussenzweig, Física Básica; Zemansky & Dittman, Heat and Thermodynamics Ensino superior. Definição “termodinâmica” de calor.

11 As leis da termodinâmica no ensino médio
Temperatura e termômetros. Calor: transferência de energia por diferença de temperatura. Trabalho e a 1ª lei da termodinâmica: ∆U = Q ‒ W Processos termodinâmicos. Máquinas térmicas. Eficiência. 2ª lei da termodinâmica: formulações de Kelvin e Clausius. Irreversibilidade e noções sobre entropia. Por exemplo: Máximo & Alvarenga, Curso de Física; Hewitt, Conceptual Physics Definição “calorimétrica” de calor. Entropia como ‘desordem’, dS=Q/T sem discutir o porquê de ser uma função de estado. A 2ª lei normalmente é deixada para o final de um período letivo ou simplesmente omitida.

12 Aprendizagem da 2ª lei da termodinâmica
Dificuldades comuns entre os estudantes: Não tratar a entropia como função de estado; por exemplo, tomar S ≠ 0 em um ciclo. Considerar que a entropia é uma grandeza conservada. Confundir sistema e universo e supor que entropia do sistema nunca diminui. Não utilizar a 2ª lei para determinar se um dado processo pode ocorrer; usar apenas a 1ª lei. No ensino superior. Há muitas outras

13 Referências T. Smith et al, Identifying Student Difficulties with Entropy, Heat Engines, and the Carnot Cycle, Phys. Rev. PER 11, art (2015). W. Christensen et al, Student ideas regarding entropy and the second law of thermodynamics in an introductory physics course, Am. J. Phys. 77, p. 907 (2009). M. Cochran, P. Heron, Development and assessment of research based tutorials on heat engines and the second law of thermodynamics, Am. J. Phys. 74, p. 734 (2006). K. Bain et al., A review of research on the teaching and learning of thermodynamics at the university level, Chem. Educ. Res. Pract. 15, p (2014). B. Brown, Developing and assessing research-based tools for teaching quantum mechanics and thermodynamics, PhD thesis, University of Pittsburgh, 2015. B. Bucy, Investigations of student understanding of entropy and of mixed second-order partial derivatives in upper-level thermodynamics, PhD thesis, University of Maine, 2007. Ensino superior.

14 Aprendizagem da 2ª lei da termodinâmica
Survey of Thermodynamic Processes and First and Second Laws (Brown & Singh) Teste conceitual com 33 questões, 17 sobre entropia e segunda lei. Pós teste (menos para PG). N(intr)=505, N(av.)=147, N(pg)=45 Dados: B. Brown, PhD thesis, University of Pittsburgh, 2015

15 Problemas da abordagem tradicional
Pouco atraente; boa parte dos alunos não demonstra interesse por máquinas térmicas. Entropia, o conceito central, só aparece após um longo e tortuoso processo. Ao final desse processo temos uma definição de entropia, mas não uma interpretação intuitiva do conceito e da origem da irreversibilidade. Uma opinião pessoal.

16 Problemas da abordagem tradicional
É um eufemismo dizer que os estudantes têm dificuldades com a abordagem tradicional [da definição de entropia]. Os argumentos que levam a ela são sutis e sofisticados e o resultado final, dS = dQrev / T, não tem um significado físico evidente. Mais ainda, como a entropia pode mudar em processos irreversíveis mesmo quando dQ = 0, essa definição gera uma confusão considerável. Harvey Leff, Am. J. Phys. 64, 1261 (1996) Mais um que pensa assim. A mudança de entropia num processo irreversível adiabático é calculada imaginando um processo reversível não-adiabático, algo muito diferente da situação original.

17 É possível fazer melhor?
Abordagem diferente da tradicional (Carnot- Kelvin-Clausius), mas ainda macroscópica. Por exemplo, o enfoque axiomático de H. Callen em Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics (Wiley, 1985), talvez o livro de termodinâmica mais citado na literatura em física. Abordagem microscópica (estatística). Entropia definida pelo número de estados microscópicos compatíveis com o estado termodinâmico. Explicação estatística da irreversibilidade. Callen -- Vantagem: a entropia é introduzida logo no início. Desvantagem: muito abstrato, sem uma interpretação intuitiva. Estatística – Vantagens: aparece no início, interpretação intuitiva, explica irreversibilidade.

18 Abordagem microscópica: “Física Térmica”
F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw-Hill, 1965). C. Kittel, H. Kroemer, Thermal Physics (Freeman, 1997). R. Bairlein, Thermal Physics (Cambridge U. P., 1999). D. V. Schroeder, An Introduction to Thermal Physics (Addison-Wesley, 2000). Cursos avançados. Há mais opções.

19 Física Térmica nos cursos básicos
Reif praticamente não é usado hoje, embora existam relatos de experiências positivas com ele (Paulo Murillo C Oliveira, UFF). M&I é interessante mas limitado; sequer aborda máquinas térmicas ou a desigualdade de Clausius. F. Reif, Statistical Physics, Berkeley Physics Course v. 5 (Mcgraw-Hill, 1967) R. Chabay, B. Sherwood, Matter & Interactions (Wiley, 2015)

20 Referências F. Reif, Thermal physics in the introductory physics course: Why and how to teach it from a unified atomic perspective, Am. J. Phys., p (1999). R. Baierlein, Entropy and the second law: A pedagogical alternative, Am. J. Phys. 62, p. 15 (1994). T. A. Moore, D. V. Schroeder, A different approach to introducing statistical mechanics, Am. J. Phys. 65, p. 26 (1997). R. W. Chabay, B. A. Sherwood, Bringing atoms into first- year physics, Am. J. Phys. 67, p (1999). Autores dos livros já citados.

21 Física Térmica no ensino médio
Mesmo os textos mais recentes mencionam a definição estatística da entropia apenas ao final da apresentação da 2ª lei (quando o fazem).

22 Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica _______ Uma Sequência Didática

23 “A culpa é da entropia.”

24 Características da sequência didática
O ponto de partida é a seta do tempo, um tema mais atraente que máquinas térmicas. O conceito de entropia é introduzido logo ao início da sequência. A definição estatística fornece diretamente uma interpretação intuitiva da entropia (contagem). A irreversibilidade tem uma explicação simples. A entropia é reconhecida facilmente como função de estado.

25 Características da sequência didática
Os principais resultados associados à 2ª lei são obtidos com facilidade: Formulações de Clausius e Kelvin. Teorema de Carnot. Desigualdade de Clausius. Definição clássica (não-estatística) de entropia. Pode-se ir além da termodinâmica clássica: Equação de estado de sistemas simples. Distribuição de Boltzmann

26 Pré-requisitos: Conceitos de equilíbrio, temperatura e calor. Trabalho, energia e a 1ª lei da termodinâmica. Variáveis de estado e de processo Gases ideais Um pouco de análise combinatória Podem ser reduzidos à conservação da energia numa versão simplificada da sequência. Continuação de uma abordagem tradicional da 1ª lei da termodinâmica.

27 A Seta do Tempo Salvador Dali, A Persistência da Memória, 1931

28 O tempo acaba o ano, o mês e a hora,
a força, a arte, a manha, a fortaleza; o tempo acaba a fama e a riqueza, o tempo o mesmo tempo de si chora. Luís de Camões Soneto de Camões.

29

30 Irreversibilidade Atrito, difusão

31 Irreversibilidade Reações químicas.

32 Irreversibilidade Troca de calor. Difusão da energia.

33 Irreversibilidade Os processos cotidianos são irreversíveis; eles não ocorrem espontaneamente na ordem temporal reversa. Uma observação óbvia que deveria ter uma explicação simples.

34 Pergunta: Qual lei dinâmica (microscópica) da física determina um sentido para a passagem do tempo? Resposta: Nenhuma. As leis físicas fundamentais não distinguem passado de futuro. Se a irreversibilidade é tão presente no nosso cotidiano, ela deve estar associada a alguma lei básica da natureza. Algo como: alhos levam a bugalhos, mas bugalhos nunca levam a alhos. A interação fraca não tem relação com a irreversibilidade cotidiana. Se a irreversibilidade macroscópica tivesse origem dinâmica, ela seria uma violação de CPT, não T. Há uma exceção: a interação fraca viola a simetria de inversão temporal.

35 As leis da física são reversíveis
Por exemplo:

36 As leis fundamentais da física não distinguem passado de futuro.
mas... As transformações à nossa volta são irreversíveis.

37 Ludwig Boltzmann

38 Irreversível

39 Reversível

40 Simulação da expansão livre

41 Simulação da expansão livre
10 partículas

42 Simulação da expansão livre
100 partículas T10 = 1min -> T100 = 2000 anos T100  109 T10 ...

43 A seta do tempo (irreversibilidade) surge quando o número de partículas é grande!
Por quê?

44 Estados Macroscópicos e Microscópicos
Microestado Esquerda: verde, azul, vermelha Direita: amarela, laranja Macroestado Esquerda: 3 partículas Direita: 2 partículas

45 A um macroestado podem corresponder vários microestados
1 macroestado esquerda = 3 direita = 1

46 A multiplicidade de um macroestado é
o número de microestados que correspondem a esse macroestado. Ver slide anterior. multiplicidade = 4

47 Diferentes macroestados podem ter diferentes multiplicidades.
2 partículas  = multiplicidade  = 2  = 1 microestados macroestados

48  = 1  = 4  = 6 4 partículas

49 Cálculo da Multiplicidade
N‒n n ... N partículas (n,N) = multiplicidade do macroestado com n partículas à esquerda e N‒n à direita Coeficiente binomial

50 Triângulo de Pascal N n

51 Multiplicidade máxima
Para N   (aproximação de Stirling): Stirling: n! = raiz(2 pi n) (n/e)^n Quase todos os 2N microestados correspondem a n  N / 2.

52 partículas do lado direito
400 200 partículas do lado direito   10118  = 1

53 partículas do lado direito
1022   = 1 A largura do pico central é dn~10^11. Para vê-lo com uma espessura de ~1mm o eixo deveria medir 10^11 mm, aproximadamente a distância Terra-Lua. partículas do lado direito

54 Sistemas macroscópicos típicos têm N~1023 partículas.
Para um sistema de muitas partículas, a diferença de multiplicidades entre macroestados distintos pode ser enorme! Sistemas macroscópicos típicos têm N~1023 partículas. Sistemas de muitas partículas (graus de liberdade): (1) irreversibilidade; (2) diferenças enormes de multiplicidade.

55 Equiprobabilidade Microscópica
Todos os microestados de um sistema isolado são igualmente prováveis. O sistema divide seu tempo igualmente por todos os microestados acessíveis. Obedecidas as leis de conservação. Course-graining se os estados forem contínuos.

56 Probabilidade Macroscópica
Os macroestados de um sistema isolado não são igualmente prováveis. A probabilidade do sistema ser encontrado em um dado macroestado é proporcional à multiplicidade do macroestado. Democracia microscópica leva a ditadura macroscópica.

57 A origem da irreversibilidade
Para um sistema isolado de muitas partículas: Muitíssimo provável (sempre) baixa multiplicidade  alta multiplicidade Pouquíssimo provável (nunca) alta multiplicidade  baixa multiplicidade

58 A 2ª Lei da Termodinâmica
Um sistema isolado nunca passa espontaneamente de um estado de alta multiplicidade para um de baixa multiplicidade.

59 Uma analogia (cruel) oásis bêbado deserto
R. Baierlein, Am. J. Phys. 46, 1042 (1978)

60 constante de Boltzmann: k = 1,410‒23 J/K
Entropia  S 1 constante de Boltzmann: k = 1,410‒23 J/K = R / NAvog. 1+2 = 1  2 S1+2 = S1 + S2 1 2

61 A 2ª Lei da Termodinâmica
A entropia de um sistema isolado nunca diminui. Em qualquer transformação do sistema:

62 Processos Reversíveis
Reversível: Irreversível: Impossível: Espontaneamente significa sem intervenção externa, por isso o sistema deve ser isolado. Se há um agente externo que diminui a entropia do sistema, o agente mais o sistema formam um universo isolado cuja entropia deve aumentar S é a entropia total do sistema (isolado).

63 Sistema, ambiente e ‘universo’
(isolado) A entropia do sistema pode diminuir, desde que a do ambiente e do universo aumentem.

64 O epitáfio de Boltzmann

65 Entropia, Energia e Temperatura

66 A entropia é uma função de estado
macroestado  estado termodinâmico  U, V, N, T, P ... independentes equações de estado

67 Temperatura energia entropia ΔU ΔS V e N fixos

68 é a definição termodinâmica de temperatura.
Dado S (U, V, N), é a definição termodinâmica de temperatura.

69 O conceito de temperatura
V, N fixos Para uma mesma variação da energia: temperatura alta  pequena variação da entropia temperatura baixa  grande variação da entropia

70 O conceito (usual) de temperatura
Aquilo que se mede com um termômetro. A coisa que se torna igual após dois objetos ficarem em contato por muito tempo. Calor flui espontaneamente do corpo de maior temperatura para o de menor temperatura. Grau de agitação das moléculas de um corpo. 1) Como se define um termômetro? 2) Iguais a quanto? 3) Quantas vezes maior? 4) O que é grau de agitação? A energia cinética média depende da temperatura e do material (gás ou sólido, por ex.). E se não existirem moléculas (radiação, por ex.)?

71 Reservatório Térmico T Q U = Q T constante V, N constantes
Sistema particularmente simples e útil. Tão grande que sua temperatura nunca muda. Paredes rígidas e impermeáveis (V, N constantes): Callen, p. 104 (def. fonte de calor reversível) e 106 (def. reservatório térmico).

72 Troca de Calor quente Q frio a entropia do corpo quente diminui pouco
a entropia do corpo frio aumenta muito Aspecto 3 do conceito usual de temperatura. Para demonstrar o 2 suponhamos que dois corpos, A e B, têm temperaturas Ta e Tb. Se Ta > Tb, calor passa de A para B. Se Tb > Ta, calor passa de B para A. Se Ta = Tb, não haverá troca de calor. calor flui espontaneamente do corpo quente para o frio entropia total aumenta

73 O refrigerador ‘perfeito’
quente frio Q A entropia total vai diminuir! Esse refrigerador não pode ser construído. Um condicionador de ar que funciona sem estar ligado à tomada. A energia é conservada.

74 A 2ª Lei da Termodinâmica (Clausius)
É impossível realizar um processo cujo único efeito seja transferir calor de um corpo frio para um corpo mais quente. R. Clausius ( )

75 O motor ‘perfeito’ Q T A entropia total vai diminuir!
não muda T Q Um motor que congela a água do mar e com a energia obtida mova um navio. A entropia total vai diminuir! Esse motor não pode ser construído.

76 A 2ª Lei da Termodinâmica (Kelvin)
É impossível realizar um processo cujo único efeito seja remover calor de um corpo e produzir uma quantidade equivalente de energia mecânica. W. Thomson Lord Kelvin ( )

77 entropia aumenta muito
O motor possível entropia diminui pouco quente T1 frio T2 Q W = Q ‒ q q entropia aumenta muito Um ciclo.

78 O motor possível reservatório quente: reservatório frio:
motor (1 ciclo): objeto erguido: Condição para funcionamento do motor.

79 O motor possível Há sempre um ‘desperdício’ q/Q.
q/Q = taxa de desperdício de energia. Desperdício mínimo é T2/T1. Processo reversível. Há sempre um ‘desperdício’ q/Q. O menor desperdício possível é q/Q = T2/T1

80 Eficiência Eficiência do motor:
Mais comum falar em eficiência que em taxa de desperdício. Eficiência máxima em processo reversível.

81 O refrigerador possível
quente T1 frio T2 Q + W W Q Um ciclo.

82 O refrigerador possível
K = (calor removido)/(energia paga) coeficiente de performance

83 máquina reversível operando entre T1 e T2
A Máquina de Carnot máquina de Carnot máquina reversível operando entre T1 e T2 Sadi Carnot ( )

84 O Teorema de Carnot As máquinas reversíveis são as máquinas mais eficientes operando entre T1 e T2. A eficiência das máquinas reversíveis depende apenas de T1 e T2 Todas as máquinas de Carnot são equivalentes.

85 Desigualdade de Clausius
reservatório sistema TR Q A  B

86 Desigualdade de Clausius
TR1 Q1 A  B TR2 TRN Q2 QN

87 Desigualdade de Clausius
Infinitos reservatórios com diferenças infinitesimais de temperatura: Processo cíclico  A = B  S = 0 A última fórmula é a desigualdade de Clausius propriamente dita.

88 A definição macroscópica de entropia
reservatório sistema TR dQrev T Processo reversível: Variação da entropia dS vai a zero mais rapidamente que dQ: dQ = C dT; dS = C (dT)^2 / T temperatura do sistema

89 A definição macroscópica de entropia
B S é uma função de estado qualquer caminho de integração pode ser usado para calcular S Definição clássica de entropia. A integral de dQrev/T num caminho fechado é zero. Permite calcular a entropia macroscopicamente, sem fazer modelos e contar os microestados.

90 A definição macroscópica de entropia:
Clausius,1865 Ao final, o ponto de partida. R. Clausius: ‘‘Über verschiedene für die Anwendungen bequeme Formen der Hauptgleichungen der mechanischen Wärmetheorie”. Poggendorff’s Annalen der Physik 125 (1865). (On different forms of the fundamental equations of the mechanical theory of heat and their convenience for application)

91 Irreversibilidade e probabilidade
movimento repouso temperatura T atrito

92 Irreversibilidade e probabilidade
Ecin = 1 J Ecin = 0 T = 300 K atrito probabilidade (rep.  mov.)  0, 1020 zeros

93 Fusão do gelo calor latente de fusão da água: Lfusão = 334 J/g
temperatura de fusão da água: Tfusão = 273 K

94 Fusão do gelo m = 10 g probabilidade (liq. gelo)  0,00000.....0001
1023 zeros

95 gás ideal (leis empíricas de Boyle, Gay-Lussac, Charles, Avogadro)
Entropia do gás ideal gás ideal (leis empíricas de Boyle, Gay-Lussac, Charles, Avogadro) gás monoatômico 1ª lei

96 Entropia do gás ideal T/T0 = U/U0; nR = Nk

97 Entropia, Volume e Pressão
O experimento de von Guericke, os hemisférios de Magdeburg.

98 A definição termodinâmica de pressão
volume entropia ΔV ΔS U e N fixos A tendência a aumentar a entropia cria uma pressão.

99 A definição termodinâmica de pressão
Dado S (U, V, N), é a definição termodinâmica de pressão. A temperatura pode ser justificada por argumentos dimensionais. Uma justificativa melhor será dada mais tarde.

100 O conceito termodinâmico de pressão
V, N fixos Para T fixo e uma mesma variação de volume: pressão alta  grande variação da entropia pressão baixa  pequena variação da entropia

101 O conceito mecânico de pressão
Definição: Na ausência de outras forças (gravitacional, etc.) a pressão em um fluido em equilíbrio mecânico é uniforme. Um corpo imerso num fluido será empurrado no sentido da maior para a menor pressão. A F Não há ambiguidade na definição mecânica de pressão . Força normal à superfície.

102 O conceito termodinâmico de pressão
2 1 V1+V V2‒V V1 V2 P1 > P2 entropia aumenta muito entropia diminui pouco Aspecto 2 do conceito mecânico de pressão. Se P1 > P2. o pistão é empurrado de 1 para 2; se P1 < P2. o pistão é empurrado de 2 para 1. Se P1 = P2, ã força sobre o pistão é zero e ele está em equilíbrio. o pistão é empurrado no sentido da menor pressão entropia total aumenta

103 Formalmente: A 2ª lei implica em dV > 0 se P1 > P2. O lado com maior pressão tem seu volume aumentado.

104 A identidade termodinâmica
Além de ser um resultado importante (também chamada de ‘relação fundamental’ da termodinâmica), ela justifica a definição dada para a pressão.

105 A identidade termodinâmica
1ª lei da termodinâmica: Identid. termodinâmica: Processo reversível: Em geral, dQ é diferente de TdS e dW de PdV. Se o fator T não estivesse na definição termodinâmica de pressão teríamos dWrev = P T dV A definição termodinâmica da pressão é consistente com a expressão usual para o trabalho reversível.

106 Equação de Estado de Sistemas Simples

107 Gás Ideal

108 Pressão do gás ideal N moléculas

109 Pressão do gás ideal depende de U e N
Estamos supondo que, para uma dada microconfiguração espacial, a multiplicidade de uma energia U não depende de V. Se a constante depende apenas de U e N, 1/T=dS/dU implica em U=U(T,N). depende de U e N

110 Pressão do gás ideal R = k N(Avogadro) = constante dos gases; n = N / N(Avogadro) = número de mols.

111 Energia do gás ideal A energia do gás ideal não depende do volume.
Numa expansão livre adiabática, dU = 0 e portanto T é constante. Resultado do experimento de expansão de Joule. O ar não é um gás ideal e Joule deveria ter observado uma pequena queda de temperatura (~3 graus). A energia do gás ideal não depende do volume.

112 Pressão como força entrópica
força de “interação” força “entrópica” Como U = U(T,N), a força de interação é nula e a pressão do gás ideal é um efeito puramente entrópico. O gás tenta expandir-se porque isso aumenta sua entropia.

113 Temperatura do gás ideal
rmax r posição: vmax v velocidade: S(V) -> P; S(U) -> T. Como U depende de T?

114 Temperatura do gás ideal
depende de V e N

115 Temperatura do gás ideal
energia cinética média:

116 A equação de estado do gás ideal (monoatômico)
Gás de van der Waals: S = N k ln(V-Nb) + 3/2 N k ln(U+aN^2/V) + C(N)

117 Borracha ideal

118 Modelo de uma fita elástica
‘monômero’  barra rígida de comprimento a N monômeros: N1 para a direita, N2 para a esquerda Modelo não é realista. Busca apenas descrever alguns aspectos qualitativos do comportamento da fita. Omega (Lmax) =1 comprimento: comprimento máximo:

119 Modelo de uma fita elástica
multiplicidade: O modelo não é realista. Busca apenas descrever alguns aspectos qualitativos do comportamento da fita. D^2/N = <L^2>

120 Entropia da fita elástica
depende de N e U Se a constante depende apenas de U e N, 1/T = dS/dU implica em U=U(N.T).

121 F > 0 com a troca de sinal
Força elástica F > 0 com a troca de sinal P -> -F , V->L lei de Hooke

122 Força elástica A força elástica aumenta com a temperatura.
A força elástica é puramente entrópica. Vídeo completo em

123 Contração vs. expansão Temperatura aumenta: borracha ideal  contração
gás ideal F cte. P cte. Temperatura aumenta: borracha ideal  contração gás ideal  expansão borracha: LT = cte; gás: V/T = cte

124 Força entrópica força “entrópica” força de “interação” Como U = U(T,N), a força elástica na borracha ideal é puramente entrópica.

125 Extensão adiabática dQ = 0 , dL > 0
Não há mistério: dW > 0, logo dU > 0, logo dT >0. A surpresa talvez seja a reversibilidade (ausência de atrito interno). CL = capacidade térmica a L constante. Se CL for constante a curva adiabática TxL será uma parábola. Num gás ideal, dT = -(P/Cv) dV. A temperatura diminui. F e CL positivos  temperatura aumenta durante a extensão (diminui numa contração)

126 Extensão adiabática Vídeo completo em https://youtu.be/vqzW25gj0EI

127 A Distribuição de Boltzmann

128 A Distribuição de Boltzmann
U – e T e reservatório térmico sistema

129 A Distribuição de Boltzmann
n(e) microestados de energia e: P(e) = n(e) exp(-e/kT)

130 Simulação computacional

131 Comentários Finais

132 Avaliação da abordagem tradicional
Survey of Thermodynamic Processes and First and Second Laws (Brown & Singh) Teste conceitual com 33 questões, 17 sobre entropia e segunda lei. Pós teste (menos para PG). N(intr)=505, N(av.)=147, N(pg)=45 Dados: B. Brown, PhD thesis, University of Pittsburgh, 2015

133 Abordagem estatística vs. tradicional
Pitt. N=505; UFRJ N=20 Tradicional: U. Pittsburgh (Brown & Singh) Estatística: UFRJ (Licenciatura em Física e Química)

134 Comparação com a abordagem tradicional
Teste completo Teste completo: mais 16 questões sobre 1ª lei, etc. Três hipóteses não excludentes: alunos UFRJ melhores; professor UFRJ melhor; abordagem estatística melhor. Tradicional: U. Pittsburgh (Brown & Singh) Estatística: UFRJ (Licenciatura em Física e Química)

135 Resultado semelhante ao de cursos avançados tradicionais
Pitt. N=147; UFRJ N=20 Tradicional: U. Pittsburgh (Brown & Singh) Estatística: UFRJ (Licenciatura em Física e Química)

136 Comentários finais A 2ª lei da termodinâmica e o conceito de entropia são temas de aprendizagem notoriamente difícil. A introdução do conceito estatístico de entropia logo ao início do estudo da 2ª lei parece reduzir essas dificuldades. A definição da temperatura termodinâmica a partir da entropia permite obter imediatamente a maioria dos resultados associados à 2ª lei.

137 Comentários finais A abordagem estatística da entropia pode levar além da 2ª lei: Equação de estado de sistemas simples (gás ideal, por exemplo). Distribuição de Boltzmann. Com adaptações, a abordagem pode ser utilizada no ensino médio.

138 http://www.if.ufrj.br/~carlos/palestras/ setadotempo/livro-2a-lei.pdf