Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas

Apresentação em tema: "Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas"— Transcrição da apresentação:

1 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas
Energia Potencial de Deformação: Nas seções transversais das barras de uma estrutura reticulada atuam os esforços N, Vx, Vy, T, Mx e My,. Desprezando as deformações devidas aos esforços cortantes, a energia potencial de deformação acumulada num elemento infinitesimal da barra de área A e comprimento dz (variação da energia) é:

2 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas
Energia Potencial de Deformação: Logo,

3 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas
Teorema de Castigliano: "A derivada parcial da energia potencial de deformação em relação a um esforço qualquer é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do esforço na sua direção." P1 P2 M1 d1 q1

4 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas
Teorema de Castigliano: P1 P2 d1 d2 dP1 dd1 P1 P2 d1 d2 Introduzindo um incremento dP1: P1 P2 d1 d2 dP1 dd1 Acrescentando o sistema original: dP1 dd1

5 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas
Teorema de Castigliano: Igualando as duas expressões desprezível

6 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Integrais de Mohr:
O teorema de Castigliano somente permite determinar o deslocamento do ponto de aplicação de um esforço na sua direção. Para se determinar os deslocamentos de qualquer ponto em qualquer direção pode-se utilizar o seguinte recurso: - aplica-se um esforço virtual no ponto desejado, na direção desejada; - determina-se a energia de deformação do sistema em função deste esforço; - aplica-se o teorema de Castigliano; - e anula-se o esforço virtual.

7 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Integrais de Mohr:
Seja N, T, Mx e My os esforços internos numa seção, decorrentes de um sistema de esforços externos aplicados em uma estrutura e N, T ,Mx, My os esforços internos decorrentes de um esforço virtual unitário aplicado na direção onde se deseja avaliar o deslocamento. onde Ev é o esforço virtual.

8 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Integrais de Mohr:
As integrais de Mohr constituem o chamado Método da Carga Unitária. Exercícios

9 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): "O trabalho realizado por um esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação de outro esforço qualquer é igual ao trabalho realizado pelo segundo esforço, durante o deslocamento do seu ponto de aplicação, devido à ação do primeiro esforço." P1 d11 d21 d22 d12 P2 deslocamento do ponto 1 deslocamento do ponto 2 dij: deslocamento do ponto i provocado pela ação de Pj

10 Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas
Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos, aplicando-se inicialmente P1 e posteriormente P2 aplicando-se inicialmente P2 e posteriormente P1 P1 d11 d21 P2 d12 d22 P1 d11 d21 d22 d12 P2 P2 d12 d22 P1 d11 d21

11 (reciprocidade dos trabalhos)
Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): Igualando os trabalhos realizados nas duas situações de carregamento, (reciprocidade dos trabalhos) P1 d11 d21 d22 d12 P2 P2 d12 d22 P1 d11 d21

12 (reciprocidade dos deslocamentos)
Método dos Esforços Deslocamentos em Estruturas Teorema da Reciprocidade (Betti-Maxwell): Se P1 = P2, (reciprocidade dos deslocamentos) "O deslocamento do ponto 1 devido à ação de um esforço aplicado no ponto 2 é igual ao deslocamento do ponto 2 devido à ação de igual esforço aplicado no ponto 1." P d 1 2 M q 1 2

13 X1 é o hiperestático, isto é, o esforço incógnito abundante.
Método dos Esforços Formulação do Método Seja a viga abaixo representada. O seu grau de hiperestaticidade é: X1 SP X1 é o hiperestático, isto é, o esforço incógnito abundante.

14 Método dos Esforços Formulação do Método
A Equação de Compatibilidade dos Deslocamentos é: onde d1 é o deslocamento, na direção de X1, da seção onde foi retirado o apoio. Usando o PSE, carregamento real X1 = + hiperestático X1

15 Método dos Esforços Formulação do Método
Para cada um destes carregamentos, a seção onde foi retirado o apoio se deslocará. d10 carregamento real d11X1 hiperestático d10 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real na viga e d11 é o deslocamento, na direção de X1, devido ao hiperestático X1 = 1.

16 Método dos Esforços Formulação do Método Assim,
Os deslocamentos d10 e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária. Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são, então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.

17 Método dos Esforços Formulação do Método
Usando o SP abaixo, a equação de compatibilidade dos deslocamentos será: ou X1 SP onde d1e é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte esquerda e d1d é o deslocamento angular, na direção de X1, da seção onde foi introduzida a rótula, na parte direita.

18 Método dos Esforços Formulação do Método Usando o PSE,
carregamento real X1 + = X1 hiperestático Deslocamentos no SP: d10e d10d carregamento real d10e – d10d é o deslocamento, na direção de X1, devido ao carregamento real e d11e – d11d é o deslocamento, na direção de X1, devido ao hiperestático X1 = 1. d11eX1 d11dX1 hiperestático

19 Método dos Esforços Formulação do Método Logo, onde
Os deslocamentos d10, e d11 são determinados pelo Método da Carga Unitária. Esta formulação é a base do processo denominado Equação dos Três Momentos, aplicável a vigas contínuas. Os demais esforços incógnitos (reações de apoio e esforços internos) são ,então, calculados pela Equações de Equilíbrio da Estática aplicáveis.

20 X1 = N, X2 = Vy, X3 = Mx são os hiperestáticos.
Método dos Esforços Formulação do Método Seja o pórtico abaixo representado. O seu grau de hiperestaticidade é: Vy Mx N X2 X3 X1 SP X1 = N, X2 = Vy, X3 = Mx são os hiperestáticos.

21 Método dos Esforços Formulação do Método
As Equações de Compatibilidade dos Deslocamentos são: X2 X3 X1 ou ou ou onde die é o deslocamento, na direção de Xi, da seção cortada, na parte esquerda e did é o deslocamento, na direção de Xi, da seção cortada, na parte direita. SP d1e, d1d, d2e e d2d são deslocamentos lineares enquanto d3e e d3d são deslocamentos angulares

22 Método dos Esforços Formulação do Método Usando o PSE, = + + + (a) (b)
X2 X3 X1 X1 X2 X3 = + + + (a) (b) (c) (d) (a): SP submetido ao carregamento real da estrutura hiperestática; (b): SP submetido ao hiperestático X1; (c): SP submetido ao hiperestático X2; (d): SP submetido ao hiperestático X3.

23 Método dos Esforços Formulação do Método
Para cada um destes carregamentos a seção cortada se deslocará, à esquerda e à direita. d10e X Y Z SG d10d d20d d30e d20e di0e – di0d é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao carregamento real; d1jeXj X Y Z SG d1jdXj d2jdXj d3jeXj d2jeXj dije – dijd é deslocamento da seção cortada, na direção de Xi, devido ao hiperestático Xj = 1.

24 Método dos Esforços Formulação do Método
A equação geral de compatibilidade de deslocamentos é ou onde g é o grau de hiperestaticidade da estrutura. Assim, para o pórtico plano do exemplo, tem-se o seguinte sistema de equações lineares: Os deslocamentos di0, e dij são determinados pelo Método da Carga Unitária. onde

25 Método dos Esforços Formulação do Método
Determinação de Deslocamentos: Como o SP equivale à estrutura hiperestática, estática e geometricamente, os deslocamentos dos pontos das seções desta estrutura são exatamente os mesmos verificados no SP. Logo, após conhecidos os hiperestáticos, pelo Método dos Esforços, pode-se determinar qualquer deslocamento em qualquer seção da estrutura hiperestática, pelo Método da Carga Unitária, na seção equivalente no SP. X1 d = ? d Exercícios

26 Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos:
O processo denominado Equação dos Três Momentos é aplicável a vigas contínuas. Advém do Método dos Esforços, tomando-se, como SP, a viga isostática derivada da viga contínua dada por introdução de rótulas sobre os apoios intermediários. R1 R2 R3 R4 R5 L1 L2 L3 L4 M5 M1 viga contínua X3=M4 X2=M3 X1=M2 R1 R2 R3 R4 R5 L1 L2 L3 L4 M5 M1 g = n-2, onde n é o número de apoios da viga. SP

27 Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos:
O SP é um conjunto de vigas biapoiadas submetidas ao carregamento real e aos hiperestáticos Xi=Mi+1. As equações de compatibilidade dos deslocamentos serão ou onde i = 1, n-2. Como todos os hiperestáticos são momentos fletores, os deslocamentos são rotações. Assim, ou

28 Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos:
i = 1, n-2. Desenvolvendo as equações acima:

29 Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos:
As rotações à esquerda e à direita do nó j são determinadas como indicado abaixo. Li-1 Mi Mi-1 Li Mi+1 Mi Mi-1 Mi+1 Assim, a equação acima se resume a (Equação dos Três Momentos)

30 Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos:
Li-1 Li rotações, no SP, à esquerda e à direita do nó i, respectivamente, devidas ao carregamento real. Mi-1=1 Li-1 rotação, no SP, à esquerda do nó i, devida a Mi-1=1. Mi=1 Li-1 rotações, no SP, à esquerda e à direita do nó i, respectivamente, devidas a Mi=1. Mi=1 Li Mi+1=1 Li rotação, no SP, à direita do nó i, devida a Mi+1=1.

31 Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos:
Resolvendo pelo Método da Carga Unitária ou por qualquer outro método (integração da linha elástica ou Analogia de Mohr): Convenção de Sinais: Assim, a equação fica: ou A cada apoio interno corresponde uma equação.

32 Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos:
Observações: a) Utilizando os valores absolutos das rotações devidas ao carregamento real, a equação fica: b) Caso as rotações sejam calculadas pela Analogia de Mohr, corresponderão às reações nos apoios da viga conjugada. A equação, então, fica:.

33 Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos:
Observações: c) Se a rigidez EIx for constante, a equação se simplifica: ou d) Caso haja um balanço, pode-se reduzir as cargas no balanço ao apoio correspondente. M3 R1 R2 R3 L1 L2 M1 V3d R1 R2 R3 L1 L2 L3 M1

34 Método dos Esforços Formulação do Método Equação dos Três Momentos:
Observações: e) Caso haja um engaste em alguma extremidade, haverá mais uma incógnita (o momento fletor no engaste) e a equação de compatibilidade de deslocamentos correspondente será para engaste no primeiro apoio ou para engaste no último apoio. Estas expressões podem ser obtidas da equação geral, considerando no primeiro caso, e no segundo.

35 Método dos Esforços Formulação do Método Fim do Capítulo