Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade II

Apresentação em tema: "Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade II"— Transcrição da apresentação:

1 Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade II
Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes

2 Comparações Envolvendo Proporções e Teste de Independência
Capítulo 11

3 Comparações Envolvendo Proporções e Teste de Independência
Inferências sobre a Diferença entre as Proporções de Duas Populações Testes de Hipótese para Proporções de uma População Multinomial Teste de Independência

4 Inferências sobre a Diferença entre as Proporções de Duas Populações
Estimação por Intervalo de p1 – p2 Testes de Hipóteses sobre de p1 – p2

5 Distribuição Amostral de 𝑝 1 − 𝑝 2
Valor Esperado 𝐸 𝑝 1 − 𝑝 2 = 𝑝 1 − 𝑝 2 Desvio Padrão (Erro Padrão) 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 2 = 𝑝 1 (1− 𝑝 1 ) 𝑛 𝑝 2 (1− 𝑝 2 ) 𝑛 2 Onde, n1 = tamanho da amostra obtida da população 1 n2 = tamanho da amostra obtida da população 2

6 Distribuição Amostral de 𝑝 1 − 𝑝 2
Se os tamanhos das amostras são grandes, a distribuição amostral de 𝑝 1 − 𝑝 2 pode ser aproximada por uma distribuição normal de probabilidade Os tamanhos das amostras são suficientemente grande, se todas essas condições são satisfeitas n1p1 ≥ 5 n1(1 - p1) ≥ 5 n2p2 ≥ 5 n2(1 - p2) ≥ 5

7 Distribuição Amostral de 𝑝 1 − 𝑝 2
p1 – p2 𝝈 𝒑 𝟏 − 𝒑 𝟐 = 𝒑 𝟏 (𝟏− 𝒑 𝟏 ) 𝒏 𝟏 + 𝒑 𝟐 (𝟏− 𝒑 𝟐 ) 𝒏 𝟐 𝒑 𝟏 − 𝒑 𝟐

8 Estimação por Intervalo de 𝑝 1 − 𝑝 2
Estimador por Intervalo 𝑝 1 − 𝑝 2 ± 𝑧 𝛼/ 𝑝 1 (1− 𝑝 1 ) 𝑛 𝑝 2 (1− 𝑝 2 ) 𝑛 2

9 Estimação por Intervalo de 𝑝 1 − 𝑝 2
Exemplo: Market Research Associates Market Research Associates está realizando uma pesquisa para avaliar a eficácia de uma campanha de publicidade do novo cliente. Antes da nova campanha começar, uma pesquisa telefônica com 150 famílias na área de mercado teste mostrou 60 famílias “cientes” do produto do cliente A nova campanha foi iniciada com anúncios de TV e jornal há três semanas

10 Estimação por Intervalo de 𝑝 1 − 𝑝 2
Exemplo: Market Research Associates Uma pesquisa realizada imediatamente após a nova campanha mostrou 120 de 250 famílias “cientes” do produto do cliente Os dados apoiam a posição de que a campanha publicitária tem proporcionado um maior conhecimento do produto do cliente?

11 Estimador por Ponto da Diferença entre Duas Proporções Populacionais
p1 = proporção da população das famílias “ciente” do produto após a nova campanha p2 = proporção da população das famílias “ciente” do produto antes da nova campanha 𝑝 1 = proporção da amostra de domicílios “ciente” do produto após a nova campanha 𝑝 2 = proporção da amostra de domicílios “ciente” do produto antes de a nova campanha 𝒑 𝟏 − 𝒑 𝟐 = 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟓𝟎 − 𝟔𝟎 𝟏𝟓𝟎 =𝟎,𝟒𝟖−𝟎,𝟒𝟎=𝟎,𝟎𝟖

12 Estimação por Intervalo de 𝑝 1 − 𝑝 2
Para α = 0,05, z0,025 = 1,96 0,48−0,40±1,96 0,48 0, ,40 0,6 150 0,08 ± 1,96(0,0510) 0,08 ± 0,10 Assim, com o intervalo de confiança de 95% para a diferença de antes e depois da sensibilização do produto é de -0,02 para +0,18

13 Teste de Hipóteses sobre 𝑝 1 − 𝑝 2
Nós nos concentramos em testes envolvendo nenhuma diferença entre as duas proporções populacionais (ou seja, p1 = p2) Unicaudal (esquerda) Unicaudal (direita) Bicaudal H0: p1 - p2 ≥ 0 H1: p1 - p2 < 0 H0: p1 - p2 ≤ 0 H1: p1 - p2 > 0 H0: p1 - p2 = 0 H1: p1 - p2 ≠ 0

14 Teste de Hipóteses sobre 𝑝 1 − 𝑝 2
Estimador agrupado do erro padrão de 𝑝 1 − 𝑝 2 𝜎 𝑝 1 − 𝑝 2 = 𝑝 (1− 𝑝 ) 1 𝑛 𝑛 2 Onde: 𝑝 = 𝑛 1 𝑝 1 + 𝑛 2 𝑝 2 𝑛 1 + 𝑛 2

15 Teste de Hipóteses sobre 𝑝 1 − 𝑝 2
Teste Estatístico 𝑧= ( 𝑝 1 − 𝑝 2 ) 𝑝 (1− 𝑝 ) 1 𝑛 𝑛 2

16 Teste de Hipóteses sobre 𝑝 1 − 𝑝 2
Exemplo: Market Research Associates Podemos concluir, com um nível de 0,05 de significância, que a proporção de famílias cientes do produto do cliente aumentou após a nova campanha publicitária?

17 Teste de Hipóteses sobre 𝑝 1 − 𝑝 2
Métodos do Valor p e do Valor Crítico 1. Desenvolva as hipóteses: H0: p1 - p2 ≤ 0 H1: p1 - p2 > 0 Onde: p1 = proporção da população das famílias “cientes” do produto após a nova campanha p2 = proporção da população das famílias “cientes” do produto antes da nova campanha 2. Especificar o nível de significância: α = 0,05

18 Teste de Hipóteses sobre 𝑝 1 − 𝑝 2
Métodos do Valor p e do Valor Crítico 3. Calcule o valor do teste estatístico: 𝑝 = 250 0, (0,40) = =0,45 𝑠 𝑝 1 − 𝑝 2 = 0,45(0,55) =0,0514 𝑧= 0,48−0,40 −0 0,0514 = 0,08 0,0514 =1,56

19 Teste de Hipóteses sobre 𝑝 1 − 𝑝 2
Métodos do Valor p 4. Calcule o valor p: Para z = 1,56, o valor p = 0, Determine quando Rejeitar H0: Como o valor p > α = 0,05, não rejeitamos H0 Não podemos concluir que a proporção de famílias cientes do produto aumentou após a campanha

20 Teste de Hipóteses sobre 𝑝 1 − 𝑝 2
Métodos do Valor Crítico 4. Calcule o valor crítico e a regra de rejeição: Para α = 0,05, z0,05 = 1,645 Rejeitar H0 se z ≥ 1, Determine quando Rejeitar H0: Como z = 1,56 < 1,645, não rejeitamos H0 Não podemos concluir que a proporção de famílias cientes do produto aumentou após a campanha

21 Define-se a hipótese nula e alternativa
Teste de Hipóteses (Eficiência de Ajuste) para Proporções de uma População Multinomial Define-se a hipótese nula e alternativa Selecione uma amostra aleatória e registre a frequência observada, fi, para cada uma das k categorias Supondo H0 como verdadeira, calcular a frequência esperada, ei, em cada categoria, multiplicando a probabilidade categoria pelo tamanho da amostra

22 Teste de Hipóteses (Eficiência de Ajuste) para Proporções de uma População Multinomial
Calcule o valor do teste estatístico 𝑥 2 = 𝑖=1 𝑘 ( 𝑓 𝑖 − 𝑒 𝑖 ) 2 𝑒 𝑖 Em que: fi = frequência observada da categoria i ei = frequência esperada da categoria i k = número de categorias Nota: A estatística de teste tem distribuição qui-quadrado com k - 1 gl desde que as frequências esperadas sejam de 5 ou mais, para todas as categorias

23 Método do valor p: Rejeitar H0 se o valor p ≤ α
Teste de Hipóteses (Eficiência de Ajuste) para Proporções de uma População Multinomial Regra de Rejeição Método do valor p: Rejeitar H0 se o valor p ≤ α Método do valor crítico: Rejeitar H0 se 𝑥 2 ≥ 𝑥 2 𝛼 Em que α é o nível de significância e existem k – 1 graus de liberdade

24 Teste de Eficiência de Ajuste da Distribuição Multinomial
Exemplo: Finger Lake Homes (A) A Finger Lakes Homes fabrica quatro modelos de casas pré-fabricadas, um colonial de dois andares, uma cabana de madeira, uma de dois andares, e uma com telhado em formato A. Para ajudar no planejamento de produção, gestão gostaria de determinar se as compras dos clientes anteriores indicam que há uma preferência no estilo selecionado

25 Teste de Eficiência de Ajuste da Distribuição Multinomial
Exemplo: Finger Lake Homes (A) O número de casas vendidas de cada modelo para 100 vendas ao longo dos últimos dois anos é mostrado abaixo Modelo Colonial Cabana Sobrado Telhado A # Vendas

26 Teste de Eficiência de Ajuste da Distribuição Multinomial
Hipóteses H0: pC = pL = pS = pA = 0,25 H1: As proporções populacionais não são pC = 0,25; pL = 0,25; pS = 0,25 e pA = 0,25 Sendo: pC = proporção populacional que comprou uma colonial pL = proporção populacional que comprou uma cabana pS = proporção populacional que comprou um sobrado pA = proporção populacional que comprou uma telhado A

27 Teste de Eficiência de Ajuste da Distribuição Multinomial
Regra de Rejeição Rejeitar H0 se o valor p ≤ α ou x2 > 7,815 x2 7,815 Não Rejeitar H0 Rejeitar H0 Com α = 0,05 e k - 1 = = 3 graus de liberdade

28 Teste de Eficiência de Ajuste da Distribuição Multinomial
Frequências Esperadas e1 = 0,25(100) = 25 e2 = 0,25(100) = 25 e3 = 0,25(100) = 25 e4 = 0,25(100) = 25 Teste Estatístico 𝑥 2 = (30−25) (20−25) (35−25) (15−25) 2 25 = = 10

29 Teste de Eficiência de Ajuste da Distribuição Multinomial
Conclusão usando o Método do Valor p Como x2 = 10 está entre 9,348 e 11,345, a área da cauda superior da distribuição está entre 0,025 e 0,01 O Valor p ≤ α. Podemos rejeitar a hipótese nula Área na Cauda Superior , ,05 0, , ,005 Valor de x2 (gl = 3) , , , , ,838

30 Teste de Eficiência de Ajuste da Distribuição Multinomial
Conclusão usando o Método do Valor Crítico x2 = 10 ≥ 7,815 Rejeitamos, a um nível de significância de 0,05, a hipótese de que não há uma preferência por estilos de casa

31 Teste de Independência: Tabelas de Contingência
Define-se a hipótese nula e alternativa Selecione uma amostra aleatória e registre a frequência observada, fi, para cada célula da tabela de contingência Calcule a frequência esperada, ei, para cada célula 𝑒 𝑖𝑗 = (𝐿𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑖 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙)(𝐶𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑗 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙) 𝑇𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎

32 Teste de Independência: Tabelas de Contingência
Calcule o valor do teste estatístico 𝑥 2 = 𝑖 𝑗 ( 𝑓 𝑖𝑗 − 𝑒 𝑖𝑗 ) 2 𝑒 𝑖𝑗 Determinar a Regra de Rejeição Rejeitar H0 se o valor p ≤ α ou se 𝑥 2 ≥ 𝑥 2 𝛼 Em que α é o nível de significância, com n linhas e m colunas, e existem (n – 1)(m – 1) graus de liberdade

33 Tabela de Contingência (Teste de Independência)
Exemplo: Finger Lake Homes (B) Cada casa vendida pela Finger Lakes Homes pode ser classificada de acordo com o preço e estilo. O gerente de Finger Lakes gostaria de determinar se o preço da casa e do estilo da casa são variáveis ​​independentes

34 Teste de Qualidade do Ajuste da Distribuição Multinomial
Exemplo: Finger Lake Homes (B) O número de casas vendidas para cada modelo e preço para os dois últimos anos é mostrada abaixo. Para maior comodidade, o preço da casa é listado como US$ ou menos, ou mais de US$ Preço Colonial Cabana Sobrado Telhado A ≤ $ > $

35 Teste de Qualidade do Ajuste da Distribuição Multinomial
Hipóteses H0: O preço da casa é independente do estilo da casa que é comprada H1: O preço da casa não é independente do estilo da casa que é comprada

36 Teste de Qualidade do Ajuste da Distribuição Multinomial
Frequência Observada Preço Colonial Cabana Sobrado Telhado A Total < $99K > $99K Total

37 Teste de Qualidade do Ajuste da Distribuição Multinomial
Frequência Esperada Preço Colonial Cabana Sobrado Telhado A Total < $99K > $99K Total 13, ,75 6,75 45 16, ,25 8,25 55

38 Teste de Qualidade do Ajuste da Distribuição Multinomial
Regra de Rejeição Com α = 0,05 e (2 – 1)(4 – 1) = 3 gl, x20,05 = 7,815 Rejeitar H0 se o valor p ≤ 0,05 ou se x2 ≥ 7,815 Teste Estatístico 𝑥 2 = (18−16,5) 2 16,5 + (6−11) …+ (3−6,75) 2 6,75 = 0, , ,0833 = 9,149

39 Teste de Qualidade do Ajuste da Distribuição Multinomial
Conclusão usando o Método do Valor p Como x2 = 9,145 está entre 7,815 e 9,348, a área da cauda superior da distribuição está entre 0,05 e 0,025 O Valor p ≤ α. Podemos rejeitar a hipótese nula Área na Cauda Superior , ,05 0, , ,005 Valor de x2 (gl = 3) , , , , ,838

40 Teste de Qualidade do Ajuste da Distribuição Multinomial
Conclusão usando o Método do Valor Crítico x2 = 9,145 ≥ 7,815 Rejeitamos, a um nível de significância de 0,05, a hipótese de que o preço da casa é independente do estilo de casa que é comprada

41 Exercícios Capítulo 11 Exercícios: 1, 2, 4, 6, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 22, 25, 26 e 27

42 Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 11
Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes