Teste de Hipótese com uma amostra

Apresentação em tema: "Teste de Hipótese com uma amostra"— Transcrição da apresentação:

1 Teste de Hipótese com uma amostra
Introdução, Teste de Hipótese (T.H) para a média(amostras grandes e pequenas), Teste de hipótese para p, 𝜎 2 e 𝜎

2 Introdução Considere a alegação:
“p = 0,3 é a proporção de brasileiros adultos que acreditam em vida em outros planetas”. Como testar essa alegação? Amostra: n = 614 brasileiros adultos Determinamos que 229 acreditam A estatística amostral é: 𝑝 = ≈0,373 𝑝 ≠𝑝 ?

3 Introdução A resposta está na Distribuição Amostral das Proporções Amostrais. Alegação Verdadeira? Prob. de 𝑝 =4𝜎 é pequena Podemos concluir: p≠0,3 Testamos a alegação original (Hipótese)

4 Teste de Hipótese É um procedimento que usa estatística amostral para testar uma alegação sobre o valor de um parâmetro populacional.

5 Exemplo 1 Alegação do fabricante:
“A vida média das pilhas AA é de 300 minutos” Suspeitando ser FALSA, como podemos mostrar? Resposta: Toma-se uma amostra da População Se 𝑋 amostral ≠300min então a alegação é Falsa

6 Exemplo 1 Alegação : 𝜇=300min (Todas as pilhas)
Tomemos n = 100 e medimos a vida de cada uma. Supor 𝑋 =294min, com s = 20min A alegação é falsa????????

7 Exemplo 1 Supomos 𝜇=300min Examinamos a Distribuição Amostral das médias amostrais ( com n = 100), onde 𝜇=300min e 𝜎=20min. Sabemos pelo T.L.C que a distribuição é normal, com média = 300 e ERRO PADRÃO = 𝜎 𝑛 = =2 Vejamos o gráfico da distribuição a seguir

8 Exemplo 1

9 Conclusão 𝑋 =294min está a três desvios padrão da média alegada 𝜇=300min. É altamente improvável que a média amostral represente a média populacional alegada. Amostra é Não Usual ou Alegação FALSA

10 Estabelecendo uma Hipótese
Alegação sobre um parâmetro populacional Hipótese Estatística Alegação : V ou F Complemento da Alegação : F ou V Teste de uma Hipótese

11 Estabelecendo uma Hipótese
Hipótese Nula 𝐻 0 Hipótese com uma afirmativa de igualdade Hipótese Alternativa 𝐻 𝑎 Complemento da Hipótese Nula Ambas podem representar a alegação original

12 Definição Uma Hipótese nula 𝑯 𝟎 é uma hipótese estatística que contém uma afirmativa de igualdade, tal como: ≤ , =ou≥ A Hipótese Alternativa 𝑯 𝒂 é o complemento da Hipótese Nula 𝐻 0 . É uma afirmativa que deve ser verdadeira se 𝐻 0 for falsa e contém uma afirmativa de desigualdade > , ≠ou <

13 Estrutura do Teste de Hipótese
Alegação (Sobre o parâmetro populacional) Formulação Verbal Formulação Matemática “A média é maior 𝐻 0 :𝞵≥𝐾 ou igual a K” 𝐻 𝑎 :𝞵<𝐾 Formulação Verbal: (A média é menor do que K)

14 Hipóteses Possíveis para uma alegação
Parâmetro Populacional : 𝜇 Valor alegado : K Teremos para 𝑯 𝟎 e 𝑯 𝒂 as hipóteses: 𝐻 0 :𝜇≤𝐾 𝐻 𝑎 :𝜇>𝐾 , 𝐻 0 :𝜇≥𝐾 𝐻 𝑎 <𝐾 ou 𝐻 0 :𝜇=𝐾 𝐻 𝑎 : 𝜇≠𝐾

15 Formulação Matemática
Exemplos Alegação Formulação Matemática 𝑯 𝟎 e 𝑯 𝒂 Representa a alegação P de alunos formados em 4 anos é de oitenta e dois por cento P = 0,82 (Afirmativa de igualdade) 𝐻 0 :𝑝=0,82 𝐻 𝑎 :𝑝≠0,82 Fluxo médio de um tipo de torneira é inferior a 2,5 galões por minuto. 𝜇<2,5 (Complemento: 𝜇≥2,5) 𝐻 0 :𝜇≥2,5 𝐻 𝑎 : 𝜇<2,5 Peso médio do conteúdo das caixas de cereais de 20 onças é superior a 20 onças. 𝜇>20 (Complemento: 𝜇≤20) 𝐻 0 :𝜇≤20 𝐻 𝑎 : 𝜇>20

16 Exercícios Para as alegação a seguir estabeleça:
A formulação Matemática 𝐻 0 e 𝐻 𝑎 A representação da alegação Um fabricante de bateria para automóveis alega que a vida média de um determinado modelo é de 74 meses. Uma estação de rádio alega que sua proporção de audiência local é maior do que 39%.

17 Tipos de erros e nível de significância
Assumir a condição de igualdade em 𝐻 0 verdadeira. Teste de Hipótese: Rejeitar a hipótese nula ou Aceitar a hipótese nula

18 Exemplo Alegação: “Está moeda não é viciada”
Joga-se a moeda 100 vezes: 49 caras 51 coroas (Amostra Incomum?) Joga-se a moeda 100 vezes: 21 caras 79 coroas Evidências para rejeitar a alegação

19 Exemplo P : Proporção de caras Alegação: “A moeda é honesta”. Ou seja: 𝐻 0 :𝑝=0,5 𝑒 𝐻 𝑎 :𝑝≠0,5

20 Definição Um Erro do Tipo I ocorre se a hipótese nula for rejeitada quando ela for realmente verdadeira. Um Erro do Tipo II ocorre se a hipótese nula não for rejeitada quando ela for realmente falsa.

21 Quadro Resumo: Tipos de Erro
A VERDADE REAL DE 𝑯 𝟎 DECISÃO 𝑯 𝟎 é VERDADEIRA 𝑯 𝟎 é FALSA Não rejeitar 𝐻 0 Decisão Correta Erro Tipo II Rejeitar 𝐻 0 Erro Tipo I

22 O teste de hipótese e o Sistema Judicial dos Estados Unidos
O réu é inocente O réu é culpado Veredicto INOCENTE Justiça Erro Tipo II Veredicto CULPADO Erro Tipo I

23 Exemplo Limite de contaminação por Salmonela: 20%
Alegação: “Nossos frangos estão dentro do limite” Quando ocorrerão os erros Tipo I e Tipo II ? Qual deles é o mais grave ?

24 Exemplo: Solução Seja P : proporção de frangos contaminados Alegação da Granja: “ A proporção de frangos contaminados. é menor ou igual a 20%”. 𝐻 0 :p≤0,2 (Alegação) 𝐻 𝑎 : p>0,2 Erro Tipo I: p real ≤0,2 mas rejeitamos 𝐻 0 . Erro Tipo II: p real >0,2 mas não rejeitamos 𝐻 0 .

25 Exemplo: Consequências dos Erros
Erro Tipo I: Medo de contaminação e baixar vendas do frango (apesar de estarem dentro do limite) Erro Tipo II: Frangos que excederam os limites de contaminação sejam vendidos aos consumidores (Doença e morte !)

26 Exercício “Taxa de defeitos nos pára-quedas não passa de 1%”
Use o teste de Hipótese e responda: Quando ocorrerão os erros tipo I e tipo II ? Qual é o mais grave?

27 Nível de Significância
Definição: Em um teste de hipótese, o nível de significância é a probabilidade máxima permitida de ocorrer um erro do tipo I. Ela é denotada pela letra grega 𝛼 A probabilidade de um erro do tipo II é denotada pela letra grega 𝛽.

28 O que desejamos? Desejamos que a probabilidade de cometermos um Erro Tipo I seja pequena. Ou seja: Queremos que a probabilidade de rejeitar uma hipótese nula verdadeira seja pequena.

29 Observação Variação de Amostra para Amostra Possibilidade de rejeição de uma 𝐻 0 verdadeira Diminuímos a probabilidade de rejeição abaixando o nível de significância

30 Observação Estabelecendo 𝛼 pequeno Probabilidade pequena de rejeitar 𝐻 0 verdadeira. Níveis de Significância 𝛼=0,10 𝛼=0,05 𝛼=0,01

31 Testes Estatísticos e Valores p
Estabelecer 𝐻 0 , 𝐻 𝑎 Especificar 𝛼 Calcular Estatísticas Amostrais ( 𝑋, s ) Estatística Teste: É a que deve ser comparada ao parâmetro na hipótese nula. OBS: O tipo de teste usado e a distribuição amostral baseiam-se na estatística teste.

32 Testes Estatísticos de uma Amostra
A tabela mostra as relações entre parâmetros populacionais e suas correspondentes estatísticas testes, distribuições amostrais e estatística teste padronizada. Parâmetros Populacionais Estatística Teste Distribuição Amostral Estatística Teste Padronizada 𝜇 𝑥 Normal: 𝑛≥30 Estudante: 𝑛<30 Z t p 𝑝 Normal 𝜎 2 𝑠 2 Qui-quadrado 𝞆 2

33 Definição Supondo 𝐻 0 verdadeira, P (valor da probabilidade) de um teste de hipótese é a probabilidade de se obter uma estatística amostral com valor tão ou mais extremo do que aquele determinado a partir dos dados da amostra.

34 Natureza de um Teste de Hipótese
1) TESTE Monocaudal Esquerdo Direito Bicaudal 2) O tipo de teste depende da região da distribuição amostral que favorece uma rejeição de 𝐻 0 . Essa região está indicada pela hipótese alternativa 𝐻 𝑎

35 Regiões indicadas pela 𝐻 𝑎

36 Natureza de um Teste de Hipótese
3) Quanto maior é o valor P do teste, mais evidências existem para rejeitar 𝐻 0 . 4) Mesmo um valor P muito baixo não se constitui em uma prova definitiva de que a 𝐻 0 seja falsa.

37 Exemplos - Formato Alegação Em palavras e Símbolos 𝑯 𝟎 𝑯 𝒂 Determinar o Tipo do Teste Esboçar a distribuição normal e sombrear p (probabilidade de um teste de hipótese).

38 Exemplo Alegação: “Uma universidade alega que a proporção de seus estudantes que se graduam em 4 anos é de 82%”. Em palavras Em símbolos Esboço A probabilidade de estudantes 𝐻 0 : p=0,82 graduarem-se em 4 anos é 82% 𝐻 𝑎 : p≠0,82 1 2 𝑝 1 2 𝑝

39 Exercícios Use o formato para o teste de hipótese para cada alegação a seguir: Alegação 1 : “A taxa de fluxo médio de um determinado tipo de torneira é menor do que 2,5 gpm Alegação 2 : “ O peso médio do conteúdo de cereais nas caixas de 20 onças é maior do que 20 onças”

40 Tomando e Interpretando uma decisão
Resultados Possíveis 1 Rejeitar 𝐻 (2)Não conseguir rejeitar 𝐻 0

41 Regra de decisão baseada no valor de P
Comparamos P com 𝛼: Se P ≤𝛼, rejeite 𝐻 0 Se P >𝛼, então não é possível rejeitar 𝐻 0 OBS: Em (2) não significa que tenhamos aceitado 𝐻 0 como verdadeira. Apenas não há evidência suficiente para rejeitá-la !

42 Exemplo Mostraremos a seguir, como interpretar a decisão se rejeitarmos a hipótese nula 𝐻 0 e também se não conseguirmos rejeitá-la.

43 Exemplo 1 Alegação: “Uma universidade alega que a proporção de seus estudantes graduados em 4 anos é de 82%”. Solução: Rejeitando 𝑯 𝟎 : “Há evidências suficientes para indicar que a taxa de graduação em 4 anos da universidade não é de 82%” Não conseguir rejeitar 𝑯 𝟎 Há evidências insuficientes para indicar que a alegação da universidade seja falsa”

44 Exemplo 2 Alegação ( 𝑯 𝒂 ): “Um órgão do governo ligado à segurança alega que a distância média de parada (em superfície seca) para um Chevrolet Malibu é menor que 148 pés”.

45 Exemplo 2 Solução: 𝐻 0 : “A distância média de parada(...) é igual ou superior a 148 pés” Rejeitando 𝑯 𝟎 : “Há evidências suficientes que sustentam a alegação do órgão governamental”. Não conseguir rejeitar 𝑯 𝟎 : “Não há evidências suficientes que sustentem a alegação do órgão governamental”

46 Etapas gerais para um teste de Hipótese
Formule 𝐇 𝟎 e 𝐇 𝐚 verbal e matematicamente. Especifique 𝜶 Determine a D. N. P e esboce o seu gráfico. Calcule a estatística teste e seu valor padronizado e adicione isso ao seu esboço. Obtenha o valor P. 6) Use a regra de decisão : Se P ≤𝜶, rejeite 𝑯 𝟎 Se P >𝜶, então não é possível rejeitar 𝑯 𝟎

47 Estratégias para o Teste de Hipótese
Exemplo: Alegação do fabricante: “A vida média das pilhas AA é de 300 minutos” Note que do ponto de vista de um organismo de defesa do consumidor a alegação do fabricante está melhor formulada como 𝝁≥𝟑𝟎𝟎

48 Teste de Hipótese para a média (Amostras Grandes)
Usando valores P para um teste Z para a média 𝝁 1) Estabeleça 𝐻 0 e 𝐻 𝑎 2) Identifique 𝛼 3) Determine a estatística teste padronizada: Z= 𝑥 −𝜇 𝜎 𝑛 4) Obtenha o valor P: P = A(cauda esquerda) ou P = A(cauda direita) ou P =2A(cauda da estatística teste) 5) Use o critério de decisão: Se P ≤𝜶, rejeite 𝑯 𝟎 Se P >𝜶, então não é possível rejeitar 𝑯 𝟎 6) Interprete a decisão no contexto da alegação original

49 Exemplo 1 Alegação: “ Tempo de entrega da Pizza Hutt é inferior a 30 minutos” Dados Amostrais: n = 36 (tempos de entrega) 𝑥 =28,5min e 𝜎=3,5min Pergunta-se: Há evidências suficientes para confirmar a alegação com 𝛼=0,01? Use um valor P

50 Exemplo 1 Solução: Alegação: “ Tempo de entrega da Pizza Hutt é inferior a 30 minutos” 1) 𝐻 0 : 𝜇≥30min 𝐻 𝑎 :𝜇<30min(alegação) 2) 𝛼=0,01 3) 𝑍= 𝑥 −𝜇 𝜎 𝑛 = 28,5−30 3, ≈−2,57 4) Área(z=-2,57) = 0, (Ver tabela) 5) Teste monocaudal esquerdo P = 0,0051 6) P = 0,051 < 𝛼=0,01⇒ Decisão: Rejeitar 𝑯 𝟎

51 Exemplo 1 Conclusão: (P = 0,051 < 𝛼=0,01⇒ Decisão: Rejeitar 𝑯 𝟎 )
7) A um nível de 1%, há evidências suficientes para concluir que o tempo médio de entrega é menor do que 30min. (P = 0,051 < 𝛼=0,01⇒ Decisão: Rejeitar 𝑯 𝟎 )

52 Exemplo 2 Você acha que as informações sobre os investimentos médios em franquias dadas no gráfico estão incorretas. Assim, selecione ao acaso 30 franquias e determine investimentos necessários para cada um. O investimento médio amostral foi de US$ , com o desvio padrão de US$ Se 𝛼=0,05 , há evidência suficiente para confirmar sua alegação ? Use um valor P.

53 Exemplo 2 Solução: Alegação: “A média é diferente de US$ ” 1) 𝐻 0 : 𝜇=𝑈𝑆$ 𝐻 𝑎 : 𝜇≠𝑈𝑆$ ) 𝛼=0,05 3) 𝑍= 𝑥 −𝜇 𝜎 𝑛 = − ≈−1,51 4) Área(z=-1,51) = 0,0655 (Ver tabela a esquerda de Z) 5) Teste bicaudal ⇒ P = 2x0,0655 = 0,1310 6) P = 0,1310 > 𝛼=0,05⇒ Decisão: Impossível rejeitar 𝑯 𝟎

54 Exemplo 2 Conclusão: Não há evidências suficientes para, ao nível de 5%, concluir que o investimento médio em franchise não seja US$

55 Exercício 1 Moradores alegam que a velocidade média de automóveis que trafegam por suas ruas é maior do que o limite de velocidade de 35 milhas por hora. Uma amostra aleatória de 100 automóveis tem uma velocidade média de 36 milhas por hora, com desvio padrão de 4 milhas por hora. Há evidência suficiente para confirmar a alegação com 𝛼 = 0,05? Use um valor P.

56 Respostas – Exercício 1 4a) A alegação é: “a velocidade média é maior do que 35 milhas por hora”. 𝐻 0 :𝜇≤35; 𝐻 𝑎 :𝜇>35(alegação) 4b) 0,05 4c) 2,5 4d) 0,0062 4e) Uma vez que 0,0062 < 0,05, não é possível rejeitar 𝐻 0 . 4f) Não há evidência suficiente para alegar que o limite da velocidade média é maior do que 35 milhas por hora.

57 Exercício 2 Um distribuidor informa uma média de 150 vendas por dia. Você sustenta que essa média não é precisa. Por esse motivo, seleciona ao acaso 35 dias e determina o número de vendas em cada dia. A média amostral é de 143 vendas diárias, com desvio padrão de 15 vendas. Se 𝛼=0,01, há evidência suficiente para duvidar do relatório do distribuidor? Use um valor P.

58 Respostas – Exercício 2 5a) 𝐻 0 :𝜇=150(alegação); 𝐻 𝑎 :𝜇≠35 5b) 0,01 5c) -2,76 5d) Valor P = 0,0058 5e) Rejeite 𝐻 0 5f) Não há evidência suficiente para determinar que a alegação é falsa.

59 Outro método: Regiões de rejeição e valores críticos
Definição: Uma região de rejeição (ou região crítica) da distribuição amostral é o intervalo de valores para os quais 𝐻 0 não é provável. Se uma estatística teste incide nessa região, a hipótese nula é rejeitada. Um valor crítico 𝒁 𝟎 separa as regiões de rejeição e de não rejeição.

60 Exemplo 1 Obtendo um valor crítico para um teste monocaudal esquerdo. Obtenha o valor crítico e a região para um teste monocaudal com 𝛼=0,01. Solução: Basta ver na tabela o escore Z correspondente a uma área de 0,01, neste caso, igual a -2,33.

61 Exemplo 2 Obtendo valores críticos para um teste bicaudal
Obtenha os valores críticos e regiões de rejeição para um teste bicaudal com 𝛼=0,05. Solução: A área à esquerda de − 𝑧 0 = 1 2 𝛼=0,025 e a área à esquerda de 𝑧 0 é 1− 1 2 𝛼 = 0,975 cujos escores z correspondentes são -1,96 e 1,96 respectivamente. As regiões de rejeição estão à esquerda de − 𝑍 0 e à direita de 𝑍 0

62 Exercícios Determine o valor crítico e a região de rejeição para um teste monocaudal esquerdo com 𝛼=0,10. Determine os valores críticos e regiões de rejeição para um teste bicaudal com 𝛼=0,08.

63 Regiões de Rejeição e Teste Z
Exemplo 1: “Testando 𝝁 com uma amostra grande” Funcionários de uma grande firma de contabilidade alegam que seu salário médio é menor que o do seu concorrente, que é US$ Uma amostra aleatória de 30 contadores da empresa gera uma salário médio de US$ Teste a alegação dos empregados, com 𝛼=0,05.

64 Solução Alegação: “o salário médio é menor do que US$ 45.000”. Assim:
Teste monocaudal com 𝛼=0,05⇒ 𝑍 0 =−1,645 𝑍= 𝑥 −𝜇 𝜎 𝑛 = − ≈−1,58

65 Conclusão O gráfico mostra a região de rejeição e a estatística teste padronizada z. Note que z não está na região de rejeição, logo não é possível rejeitar 𝐻 0 . Conclusão: “Não há evidência suficiente a um nível de significância de 5% para Confirmar a alegação dos empregados de que a média salarial é inferior a US$

66 Regiões de Rejeição e Teste Z
Exemplo 2: “Testando 𝝁 com uma amostra grande” O U.S Department of Agriculture comunica que o custo médio para se criar uma criança desde o nascimento até dois anos em uma área rural é de US$ Você acredita que esse valor é incorreto. Desse modo, seleciona uma amostra ao acaso de 900 crianças com dois anos e determina que o custo médio é de US$ 8.275, com desvio padrão de US$ Sendo 𝛼=0,05, há evidência suficiente para concluir que o custo médio é diferente de US$ ?

67 Solução Alegação: “ O custo médio é diferente de US$ 8.390”
Teste bicaudal com 𝛼=0,05 ⇒ −𝑍 0 =−1,96 e 𝑍 0 =1,96. As regiões de rejeição são 𝑍<−1,96 𝑒 𝑍>1,96 Como n ≥30 a estatística teste padrão para o teste z será: 𝑍= 𝑥 −𝜇 𝜎 𝑛 = 8275− ≈−2,24

68 Conclusão Note que Z incide na região de rejeição. Devemos decidir por rejeitar a hipótese nula. Em outras palavras: Há evidência suficiente para concluir que o custo médio da criação de uma criança do nascimento até aos dois anos de idade na área rural é significativamente diferente de US$ a um nível de signi- ficância de 5%.

69 Teste de Hipóteses para a média(amostras pequenas)
Na vida real n < 30. População → Distribuição normal ou aproximadamente normal Podemos testar 𝜇, usando a distribuição amostral t com n-1 graus de liberdade. (Usaremos a tabela para identificarmos os valores críticos para t)

70 Exemplo Testando 𝝁 para uma amostra pequena
Um vendedor de carros usados afirma que o preço médio de um Ford F- 150 Super Cab 1999 é pelo menosUS$ Você suspeita da alegação e determina que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem preço médio de US$ e desvio padrão de US$ Há evidência suficiente para rejeitar a alegação do vendedor a um nível de 𝛼=0,05? Suponha que a população seja normalmente distribuída.

71 Solução do Exemplo Alegação: “o preço médio é de pelo menos US$ ”. Assim: 𝐻 0 :𝜇≥$16.500(alegação) 𝑒 𝐻 𝑎 :𝜇<$ Trata-se de um teste monocaudal esquerdo com: 𝛼=0,05 𝑒 𝑔.𝑙=14−1=13graus de liberdade. Usando o teste t, a estatística teste padronizada é t= 𝑥 −𝜇 𝑠 𝑛 = − ≈−2,39