Sistemas de Controle III N8SC3

Apresentação em tema: "Sistemas de Controle III N8SC3"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas de Controle III N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa 2.a Aula: Equações de Estado e Saída

2 Equações de Estado e Saída
A estrutura matemática do modelo de estado resulta essencialmente das propiedades atribuídas as variáveis de estado. Assim, as propriedades expressas na definição de modelos de estado (item b, aula anterior), relativas a determinação futura do estado de um Sistema de ordem n , com p variáveis de entrada e q variáveis de saída, leva-nos a escrever n equações diferenciais de 1a ordem, da forma: . Onde: Representa uma função das variáveis indicadas (i = 1,2,3,…n).

3 Equações de Estado e Saída
Essas equações diferenciais são denominadas de equações escalares de estado do sistema. Além das equações de estado, o modelo matemático deve incluir um conjunto de equações adicionais, que permitem determinar as q variáveis de saída. Pela propriedade já apresentada na definição de modelos de estado (item a, aula anterior), as variáveis de saída devem ser expressas em função das variáveis de estado e de entrada, por meio de equações do tipo: . Onde, g representa uma função das variáveis indicadas, sendo j = 1,2, 3, ...q. Tais são as equações de saída.

4 Equações de Estado e Saída
As funções e podem ser funções quaisquer das variáveis de estado e das variáveis de entrada. Onde: i = 1, 2, 3,...n j = 1, 2, 3,...q Se essas funções forem lineares, então o sistema também será linear. Nesse caso, as funções e serão expressas por combinações lineares das variáveis de estado e de entrada do sistema. .

5 Equações de Estado e Saída
Tem-se as Equações Escalares de Estado: . Sendo:

6 Equações de Estado e Saída
Tem-se as Equações Escalares de Saída: . Sendo:

7 Equações de Estado e Saída
Essas equações podem ser escritas sob forma matricial. Equação Vetorial de Estado: .

8 Equações de Estado e Saída
Essas equações podem ser escritas sob forma matricial. Equação Vetorial de Saída: .

9 Equações de Estado e Saída
Além das definições já vistas, tem-se: Vetor de Estado: Vetor de Entrada: .

10 Equações de Estado e Saída
Vetor de Saída:

11 Equações de Estado e Saída
Define-se ainda: Matriz do Sistema (n x n): .

12 Equações de Estado e Saída
Define-se ainda: Matriz de Entrada (n x p): .

13 Equações de Estado e Saída
Define-se ainda: Matriz de Saida (q x n): .

14 Equações de Estado e Saída
Define-se ainda: Matriz de Transmissão (q x p): .

15 Equações de Estado e Saída
Finalmente, as Equações Vetoriais de Estado e Saída podem ser escritas sob a forma compacta: Equação de estado: 2. Equação de saida: .

16 Equações de Estado e Saída
A representação no Espaço de Estados é modelada como duas equações diferenciais: (1) (2) A Eq. 1 mostra que para um dado instante de tempo t, relaciona a taxa de variação das variáveis de estado (dx/dt), com as variáveis de estado (x(t)) e as variáveis de entrada (u(t)) do Sistema. A Eq. 2 mostra que para um dado instante de tempo t, relaciona a saída do Sistema (y(t)), com as variáveis de estado (x(t)) e as variáveis de entrada (u(t)) do Sistema. .

17 Exercicios 1) Dado um Sistema de 2.a ordem (n = 2) com uma variável de entrada (p = 1) e duas variáveis de saída (q = 2). Represente as equações de estado e de saída, sob forma escalar e vetorial. Sistema .

18 Solução: Sistema Equações de estado na Forma escalar:
Sistema Equações de estado na Forma escalar: . Equações de estado na Forma vetorial:

19 Solução: Sistema Equações de saída na Forma escalar:
Sistema Equações de saída na Forma escalar: . Equações de saída na Forma vetorial:

20 Exercicios 2) Dado um Sistema de 3.a ordem (n = 3) com duas variáveis de entrada (p = 2) e duas variáveis de saida (q = 2). Represente as equações de estado e de saída, sob forma escalar e vetorial. Sistema . .

21 Critérios de Escolha das Variáveis de Estado
A representação de estados de um Sistema requer um número de variáveis de estado igual a ordem do Sistema. Se o Sistema for de ordem n , o vetor de estado terá n componentes. O vetor de estado que pode ser utilizado para descrever o Sistema não é único. Seus componentes, como veremos, podem ser escolhidos de infinitas maneiras.

22 Critérios de Escolha das Variáveis de Estado
Quando o Sistema for dado fisicamente ou através de seu modelo funcional, uma escolha valida é a das variáveis que representam as condições iniciais de funcionamento do sistema . Assim, se o Sistema for um circuito elétrico, podem ser escolhidas como variáveis de estado as tensões (ou as cargas) nos capacitors e as correntes (ou os fluxos de indução magnética) nos indutores. São variáveis relacionadas com o armazenamento de energia (energia do campo elétrico nos capacitores e energia do campo magnético nos indutores).

23 Exercicios: 3) Faça a representação de estado do circuito da Figura a seguir. Considere como variáveis de estado a tensão no capacitor ( ) e a corrente no indutor ( ). As variáveis de saída são a tensão no capacitor ( ) e a tensão na associacao RL. A variável de entrada é a F.E.M do gerador.

24 Solução: Variáveis de estado escolhidas: - Tensão no capacitor
- Corrente no indutor - Resulta que a corrente no capacitor Logo: (Primeira equação escalar de estado)

25 Solução: Segunda equação escalar de estado:
- Pela lei de Kirchhof ao longo da malha tem-se:

26 Solução: Equações de saída do Sistema:

27 Solução: A partir das equações escalares de estado, obtem-se as equações vetoriais de estado:

28 Solução: A partir das equações escalares de saida, obtem-se as equações vetoriais de saída:

29 Critérios de Escolha das Variáveis de Estado
No caso de Sistemas mecânicos, geralmente se podem escolher como variáveis de estado as posições e velocidades das massas móveis, as quais também representam as condições iniciais. Essas variáveis de estado também estão relacionadas com as energias potencial (de posição) e cinética (de velocidade) dos móveis.

30 Exercicios: 4) Determine um modelo de estado do Sistema mecânico indicado na Figura a seguir. O Sistema está sob a ação da força externa , que atua na direção do movimento. A variável de saída é a posição do móvel (abscisa ).

31 Solução: Escolhe-se como variável de estado: 1) Abscissa 2) Velocidade
Assim, tem-se: Sendo a Equação do movimento: Em função das variáveis de estado, tem-se a Equação do movimento:

32 Solução: As Equações escalares de estado, com , resultam:
Equaçãoo vetorial de estado:

33 Solução: Equação vetorial de saída:

34 Lista de Exercícios: 1)

35 Lista de Exercicíos: 2)