Estatística Medidas de tendência central : Moda, Média, Mediana

Apresentação em tema: "Estatística Medidas de tendência central : Moda, Média, Mediana"— Transcrição da apresentação:

1 Estatística Medidas de tendência central : Moda, Média, Mediana
Medidas de dispersão: Variância, Desvio padrão

2 Medidas de posição Medidas de tendência central: verifica-se a tendência dos dados observados em torno dos valores centrais As mais utilizadas: Média aritmética Moda Mediana Outros: Médias geométrica, harmônica...

3 No experimento do dado de 6 faces
Jogadores Jogadas Frequência Absoluta Frequência Relativa (%) 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 1 2 3 4 5 6 Aluno 1 32 16 Aluno 2 48 Aluno 3 Aluno 4 Moda Mediana Média Aritmética Elemento que mais aparece numa distribuição. Distribuição ímpar: elemento que aparece no centro. Distribuição par: média aritmética dos elementos do centro. Soma de todos os elementos dividido pelo total de elementos. Mo = 1 M = 6 M = 16 = 2,6 1º) Organizar os dados em ordem: 1 – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 Md = = 2,5 2 valor teórico

4 Observações sobre a moda (Mo)
Há séries em que não existe o valor modal, ou seja, na qual um valor apareça mais que os outros. Nesse caso, dizemos que a série é amodal. Ex. {1, 4, 9, 11} Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Ex. {1, 1, 1, 2, 5, 5, 5, 7, 8} apresenta duas modas, 1 e 5. A série é bimodal. Numa tabela de frequências, a moda é o elemento de maior frequência. Jogadores Jogadas Frequência Absoluta Frequência Relativa (%) 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 1 2 3 4 5 6 Aluno 1 32 16 A face com maior frequência é a de número 1. Logo, a moda é 1. Utilizando um intervalo de classes, a classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Assim, a moda é o valor dominante compreendido nessa classe. Determinamos esse valor através do ponto médio dessa classe. Esse valor recebe a denominação de moda bruta e, consiste num valor estimado, pois não conhecemos o valor real da moda. Classes (cm) Frequência (fi) 50 | 4 54 | 9 58 | 11 62 | 8 A classe modal é 58 | , pois é a com maior frequência. A moda é = 60 .

5 Observações sobre a mediana (Md)
Jogadores Jogadas Frequência Absoluta 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 1 2 3 4 5 6 Aluno 3 Verificamos a disposição da distribuição, caso seja pequena: 2 – 3 – 3 – 4 – 6 – 6. A mediana é a média aritmética entre 3 e 4, que resulta em 3,5. Caso a distribuição tenha muitos elementos, organizamos a frequência acumulada: Variável Frequência (fi) Frequência acumulada 1 2 9 11 3 10 21 4 25 5 12 37 6 13 50 total A distribuição tem 50 elementos. Os elementos do meio ocupam a 25ª e a 26ª posições. O elemento da 25ª posição é o 4 e, o da 26ª posição é o 5. Logo, a mediana é a média aritmética entre 4 e 5, que resulta em 4,5.

6 Observações sobre a média
Média Aritmética Ponderada: Média Geométrica: Média Geométrica Ponderada: Média Harmônica: inverso da média aritmética dos inversos X Observações sobre a média Sem intervalos de classe Com intervalos de classe Pesquisa: 34 famílias com 4 filhos; a variável é o número de filhos do sexo masculino. Calcular a estatura média dos bebês conforme a tabela abaixo. Nº de meninos Frequência (fi) 2 1 6 10 3 12 4 Total 34 Estaturas (cm) Frequência (fi) Ponto médio 50 | 4 52 54 | 9 56 58 | 11 60 62 | 8 64 66 | 5 68 70 | 3 72 Total 40 As frequências são indicadores da intensidade de cada valor da variável, assim, funcionam como fatores de ponderação. Convencionamos que todos os valores incluídos em uma classe coincidem com o seu ponto médio e, determinamos a média aritmética ponderada. Média ponderada: 2,3 meninos por família com 4 filhos. A estatura média dos bebês é de 61 cm. É a 3003?

7 A média aritmética tenta estabilizar os valores da distribuição.
A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição. A média aritmética tenta estabilizar os valores da distribuição. A mediana depende da posição e não dos elementos da distribuição (ordenada). Em uma série, moda, média e mediana não tem, necessariamente, o mesmo valor.

8 Medidas de dispersão O critério de aprovação em um concurso estabelece que o candidato deve realizar 3 provas e obter, com suas notas, média igual ou maior que 6,0. Nesse caso a informação de que o candidato obteve média 7,5 é suficiente para concluirmos que está aprovado. Uma pessoa é encarregada de organizar atividades de lazer para um grupo de 6 pessoas e recebe a informação de que a média de idade do grupo é de 20 anos. Nesse caso, apenas a informação da média não é suficiente para planejar as atividades, pois podemos ter grupos com média de idade de 20 anos e características totalmente diferentes. Observemos 3 grupos possíveis: Grupo A: 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos Grupo B: 22 anos, 23 anos, 18 anos, 19 anos, 20 anos, 18 anos Grupo C: 6 anos, 62 anos, 39 anos, 4 anos, 8 anos, 1 ano No grupo A não houve dispersão. A dispersão no grupo B é menor do que no grupo C. Dizemos que o grupo B é mais homogêneo do que o C, ou que o grupo C é mais heterogêneo do que o B.

9 Variância (V) Calcular os desvios de cada variável em relação à média aritmética (M). Considerar a soma dos quadrados dos desvios. A variância é a média dos quadrados dos desvios. Não é possível expressar a variância na mesma unidade dos valores da variável, uma vez que os desvios são elevados ao quadrado. Então, definiu-se a medida de dispersão chamada desvio padrão. No exemplo: Grupo A (20, 20, 20, 20, 20, 20) M = 20 Desvios: 20 – 20 = 0, todos iguais a 0 V = 0 Quando todos os valores são iguais dizemos que não houve dispersão, por isso a variância é igual a 0. Grupo B (22, 23, 18, 19, 20, 18) Desvios: 22 – 20 = 2; 23 – 20 = 3; 18 – 20 = -2; 19 – 20 = -1; 20 – 20 = 0; 18 – 20 = -2 V = Grupo C: 6 anos, 62 anos, 39 anos, 4 anos, 8 anos, 1 ano Desvios: 6 – 20 = -14; 62 – 20 = 42; 39 – 20 = 19; 4 – 20 = -16; 8 – 20 = -12; 1 – 20 = -19

10 Desvio padrão (DP) É a raiz quadrada da variância.
É expresso na mesma unidade dos valores observados. No exemplo: Grupo A: DP = ano Grupo B: DP = anos Grupo C: DP = anos

11 Resumo Desvio: é a diferença entre o valor da série e a média aritmética simples dos valores da série. Variância: é a média aritmética simples ( ) dos desvios da série ao quadrado. Exemplo: V = Desvio padrão: é a raiz quadrada da variância.

12 Exercícios: Uma empresa seleciona 16 funcionários fumantes e promove um ciclo de palestras com os mesmos para esclarecimentos sobre os efeitos prejudiciais do cigarro à saúde. Após essas palestras, são coletados dados sobre a quantidade de cigarros que cada um desses fumantes está consumindo diariamente. Tais dados são expressos da seguinte maneira: 10, 1, 10, 11, 13, 10, 34, 13, 13, 12, 12, 11, 13, 11, 12, 12 Os dados 1 e 34 são chamados discrepantes, pois são dados muito menores ou muito maiores que a maioria dos dados obtidos. Segundo esta coleta de dados, pode-se afirmar que A) os cálculos da média, da mediana e da moda não sofrem influência dos dados discrepantes. B) o cálculo da mediana sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. C) o cálculo da moda sofre influência dos dados discrepantes que surgiram. D) o cálculo da média sofre influência dos dados discrepantes que surgiram.

13 Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo branco nesse período era igual a: R$ 73,10 R$ 81,50 R$ 82,00 R$ 83,00 R$ 85,30 Caiu no ENEM Mês Cotação Ano Outubro R$ 83,00 2007 Novembro R$ 73,10 Dezembro R$ 81,60 Janeiro R$ 82,00 2008 Fevereiro R$ 85,30 Março R$ 84,00 Abril R$ 84,60

14 Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa empresa?
A distribuição de salários de uma empresa é fornecido pela tabela a seguir: Salário (R$) Funcionários 500 10 1 000 5 1 500 6 2 000 15 5 000 8 10 000 2 Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa empresa?

15 Segundo estudos realizados em um centro de pesquisas geológicas, a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar de certa cidade é de 70%, e a probabilidade de ocorrer em terra é de 30%. Em ambos os casos podem ou não ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre no mar há 60% de chances de ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre em terra, a probabilidade de ocorrer danos é de 81%. Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade? (A) 57,4% (B) 12,6% (C) 42% (D) 28%

16 Marco e Paulo foram classificados em um concurso
Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão. Dados dos candidatos no concurso O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é Marco, pois a média e a mediana são iguais. Marco, pois obteve menor desvio padrão. Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. Paulo, pois obteve maior mediana. Paulo, pois obteve maior desvio padrão. Caiu no ENEM Matemática Português Conhecimentos Gerais Média Mediana Desvio Padrão Marco 14 15 16 0,32 Paulo 8 19 18 4,97

17 Atividade prática, em grupo
sem clonagem Atividade prática, em grupo Cada componente do grupo lançará o dado fornecido 5 vezes. Os lançamentos serão anotados em uma tabela contendo o nome de cada jogador e a frequência absoluta de cada face (por jogador e por grupo). O grupo fará uma análise estatística das informações coletadas, levando em consideração: A moda dos lançamentos do grupo A média aritmética simples dos lançamentos do grupo A mediana dos lançamentos do grupo Os lançamentos de um jogador será estudado, levando em consideração: A variância de seus lançamentos O desvio padrão de seus lançamentos **Anotem o tipo de dado e a cor dele.