Aerodinâmica Subsônica O Método Vortex Lattice

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1 Aerodinâmica Subsônica O Método Vortex Lattice
AED-25 Aerodinâmica Subsônica O Método Vortex Lattice

2 Princípio da Teoria da Superfície Sustentadora
ASA ESTEIRA (vorticidade) Linha sustentadora: A asa é representada por um filamento de vórtices, apenas ao longo da envergadura. (válida para altos alongamentos) Superfície sustentadora A asa é representada por uma folha de vórtices com vorticidade distribuída ao longo da corda e da envergadura simultaneamente

3 Princípio da Teoria da Superfície Sustentadora - Implementação
Métodos de painéis do tipo vórtices, 3D: A asa é representada por painéis com vorticidade distribuída O Vortex Lattice Method (VLM) em especial: A vorticidade é concentrada em uma malha de vórtices em ferradura Permite identificar a influência não só ao longo da envergadura, mas também ao longo da corda Elemento de vórtice em ferradura O sistema de malha de vórtices em uma asa tridimensional

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7 Teoria da Superfície Sustentadora
A teoria da linha sustentadora é inapropriada para asas da baixo alongamento, asas enflechadas e asas em delta; Proposta: estender o modelo baseado na linha sustentadora colocando uma série de linhas sustentadoras ao longo da corda sobre o plano da asas Linhas  superfícies

8 Teoria da Superfície Sustentadora
Após o bordo de fuga não existem linhas de vórtices ao longo da envergadura, apenas linhas de vórtices arrastados A intensidade desta linha de vórtice que permanece na esteira é dada por dw, e depende amenas de y; Considere um ponto (x,y) na asa. A superfícies sustentadora e esteira de vórtices induzem uma velocidade normal w(x,y) em um ponto P; Escoamento deve ser tangente a superfície, ou seja a soma entre w(x,y) e a componente normal do escoamento deve ser nula Objetivo: Achar g(x,y) e d(x,y) tal que a condição de tangência do escoamento sobre a superfície seja satisfeita em todos os seus pontos.

9 Teoria da Superfície Sustentadora
Expressão para a velocidade norma induzida w(x,y)em termos de g, d e dw Considere um ponto do pelas coordenadas (x,h); Intensidade do vórtice ligado g(x,h) A intensidade do filamento de vórtice arrastado de comprimento dx será gdx Da lei de Biot-Savart a velocidade incremental induzida em P devido a um seguimento vorticidade de comprimento dh dh alinhado com a envergadura, com intensidade gdx é dado por: (5.78)

10 Teoria da Superfície Sustentadora
De maneira similar, a contribuição de uma intensidade de vórtices associado ao filamento de comprimento dh é ddh, para a velocidade normal induzida em P é: E de forma análoga, a intensidade de vorticidade que emana da esteira contribui como um incremento na velocidade normal induzida em P por: onde

11 Teoria da Superfície Sustentadora
Para se obter a influência da distribuição de vorticidade devido a cada parte dos vórtices em ferradura, sendo elas as arrastadas e a ligada, deve-se integrar (somar) tais contribuições desta vorticidade distribuída ao longo de toda a superfícies para se obter uma velocidade normal induzida no ponto P tomando o cuidado de integrar separadamente a contribuição devido a esteira (região W), dada pela relação: Resultando em:

12 Teoria da Superfície Sustentadora
A dificuldade está na solução da equação da teoria da superfícies sustentadora para g(x,y) e d(x,y), Solução numérica :Dividir a asa (superfície sustentadora) em um numero finito de painéis; A cada painel associa-se um ponto de controle onde se mede a velocidade normal induzida; Relaciona-se as velocidade normais induzidas a uma condição de contorno: w(x,y) e componente normal da velocidade de escoamento não perturbado que ser iguais. Ou seja, para atender a condição de escoamento tangente, w(x,y)=Usena, por exemplo, onde U é a velocidade e a um ângulo de ataque; Resultado: em um sistema se equações algébricas relacionando as condições de contorno em cada ponto de controle para se obter as intensidade de vorticidade g(x,y) e d(x,y) Exemplo – Método da Malha de Vórtices – (Vortex Lattice Method)

13 Vortex Lattice Method -VLM (Método da Malha de Vórtices)
Superpõem-se um número finito de vórtices de ferradura de diferentes intensidades Gn sobre a superfície sustentadora Em qualquer ponto de controle P, aplica-se a lei de Biot-Savart mais a condição de tangência do escoamento , obtêm-se um sistema de equações algébricas que é resolvido para Gn

14 Método da Malha de Vórtices
Intensidade dos vórtices ligados é determinada pela satisfazendo de as condições de contorno em cada ponte de controle associado a um determinado painel; Intensidade dos vórtices arrastados (livres) é determinada pelas diferenças de intensidade entre estes vórtices que compõem a esteira da superfícies sustentadora. Não há a necessidade de discretizar a esteira – os filamentos de vórtices arrastados para o infinito a representa.

15 Ponto de Controle Seleção da localização do ponto de controle a partir de uma placa plana com um vórtice colocado a ¼ da corda; Velocidade normal no ponto x: Velocidade normal nula no ponto x

16 Ponto de Controle Escoamento bidimensional em fluido perfeito:
A pequenos ângulos de ataque; como Ponto de controle a ¾ da corda (Teorema de Pistolesi):

17 Desenvolvimento da formulação
Ref. Bertin & Smith – Aerodynamics for Engineers Velocidade induzida em um ponto P por um vórtice de ferradura, antes apresentou-se o módulo da velocidade: que na realidade é vetorial.

18 Vórtice em ferradura Vamos construir as componentes da velocidade normal induzida por um vórtice em ferradura integrando as contribuições dos três filamentos 1º - filamento ligado entre os pontos A e B

19 Vórtice em ferradura E se o filamentos ligado estende-se ao infinito, recupera-se a solução bidimensional para o vórtice ligado ( teoria do aerofólio fino): pois q1 = 0 e q2 = p. AB, AC e BC serão designados por r0, r1e r2 respectivamente, tal que: Substituindo : em

20 Vórtice em ferradura Expressão básica para o cálculo da velocidade induzida por um vórtice de ferradura  VLM: Para um ponto qauluqer no espaço: Velocidade induzida em um ponto C

21 Vórtice em ferradura C é na realidade C(x,y,z)

22 Velocidade em um ponto Para calcular a velocidade do filamento que se estende de A para o infinito, adota-se um ponto D tal que:

23 Filamento infinito E situando D na, realidade no infinito, do filamento que sai de A tem-se: e do filamento que sai de B:

24 Velocidade total induzida
Somando as três contribuições: Chega-se a velocidade total induzida em (x,y,z): Vórtice ferradura no painel “n” Ponto de controle em (xm, ym, zm) Cmn é a matriz de coeficientes de influência; Depende de geometria apenas.

25 Matriz de coeficiente de influência
Supondo 2N vórtices de ferradura situados em cada painel: Ou seja, temos 2N equações para cada ponto de controle em (x,y,z) Simplificação para uma asa plana:

26 Caso plano (Planar) Como a velocidade induzida é apenas a componente alinhada com a direção “z”: Downwash induzido nos 2N pontos de controle:

27 Condição de Contorno O que não deixa de representar a tangência do escoamento com relação a superfícies sustentadora: Ou para pequenos ângulos de ataque: Permitindo desta forma particularizar a solução do problema, isto é, a e a velocidade do escoamento não perturbado U são conhecidos. O caso apresentado é uma simplificação do caso geral, onde se pressupões que a asa pode ser aproximada por uma placa plana. Pode-se implementar a generalização onde se pode considerar diedro e arqueamento  caso não plano (non-planar) Condição de Kutta  implicitamente satisfeita quando se assume o vórtice de ferradura com um filamento ligado Esteira: assumida plana, alinhada com o escoamento, e representada pelo potencial da circulação aglutinada nos vórtices arrastados até o infinito.

28 Exemplo: Asa enflechada:
Assume-se que o escoamento é simétrico com relação ao plano x-z; Resolve-se para metade dos painéis “N”, neste caso igual a 4; Cada elemento da matriz de coeficientes de influência, na realidade será uma matriz de coeficientes de influência de velocidade (VIC – velocity influence coefficients), calculam-se as velocidade normais induzidas wmn

29 Exemplo: Aplicando a relação:

30 Exemplo: Tem-se para a influência do painel nele mesmo (1,1) :

31 Exemplo: Tem-se para a influencia do painel 2 no 4 (2,4) :

32 Exemplo: Para cada ponto de controle da asa:

33 Exemplo: Aplica-se a condição de contorno, observando que em todos os pontos de controle a velocidade deve ser tangente, ou seja: E assim encerramos o sistema de equações a ser resolvido, de onde se obtém as intensidade de circulação associadas a cada intensidade de vórtice de ferradura: