Métodos Numéricos Diferenças Finitas

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AED-27 – Aerodinâmica Supersônica Métodos Numéricos Diferenças Finitas Métodos numéricos para resolução de Equações Diferenciais Vitor Kleine Valeria Leite

AED-27 - Aerodinâmica Supersônica
Métodos Numéricos Introdução Métodos numéricos para resolução de EDP/EDO, assunto também conhecido como: Dinâmica dos Fluidos Computacional; ou CFD (Computational Fluid Dynamics) Equações diferenciais são resolvidas: numericamente dentro de um domínio respeitando as condições de contorno AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Introdução CFD: O que está envolvido? Entendimento das características do escoamento que será objeto de estudo Seleção das equações que modelam o escoamento Conhecimento do caráter matemático dessas equações e das condições de contorno Discretização temporal/espacial Técnicas de solução numérica Hardware: como tirar o máximo da máquina (paralelismo, memória, etc) Visualização dos resultados AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Introdução Alguns dos métodos que foram vistos até agora também podem ser considerados “métodos numéricos para resolução de equações diferenciais”, mas: Equações bem simplificadas Escoamento e geometria bem específicos Passaremos agora a métodos mais gerais: Aplicáveis a equações diferenciais mais completas Aplicáveis a diversas geometria AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos Problemas
não-estacionários EDP DNS (Solução Direta) LES (Simulação de Grandes Escalas) Equações de Navier-Stokes Problemas com média temporal RANS (Navier-Stokes com média de Reynolds) Problemas Estacionários (para geometrias estacionárias) Navier-Stokes Laminar Equações de Euler AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos De maneira geral, as equações de interesse na mecânica dos fluidos podem ser escritas na forma: AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos Ex: Eq. Euler Vetor de estados (ou vetor de propriedades) (ou vetor de variáveis) (ou vetor de soluções) Forma conservativa AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos Ex: Eq. Euler Vetores de fluxo AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Contexto - Mecânica dos Fluidos Ex: Eq. Euler Termo fonte Usualmente J=0 na Eq. de Euler AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Discretização É necessário “discretizar” o problema Dividir o domínio em pontos Dividir o domínio em elementos Representar a solução como série de funções Métodos clássicos: Diferenças finitas Volumes finitos ou Elementos finitos Formulações espectrais AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Conceito básico O domínio é dividido em um número finito de pontos O objetivo é conhecer o valor das variáveis em cada ponto AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Derivadas O valor das derivadas é estimado a partir da expansão em série de Taylor dos pontos vizinhos Na prática! Erro de truncamento AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Derivadas A partir de pontos vizinhos diferentes, esquemas diferentes são obtidos AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferença forward (ou adiantada) Diferença backward (ou adiantada)
Diferenças Finitas Derivadas A partir de pontos vizinhos diferentes, esquemas diferentes são obtidos Diferença forward (ou adiantada) 1ª Ordem Diferença backward (ou adiantada) Diferença centrada 2ª Ordem AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Derivadas O mesmo tipo de abordagem pode ser utilizado para obter derivadas de maior grau Por exemplo, para a segunda derivada seria necessário utilizar 3 ou mais pontos Segunda derivada centrada de 4ª ordem (5 pontos): AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Equação diferencial equivalente Exemplo: Equação da advecção linear (também chamada de equação da onda linear) Discretização centrada de segunda ordem no espaço Discretização forward de primeira ordem no tempo AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Equação diferencial equivalente
Diferenças Finitas Equação diferencial equivalente Na prática, resolve-se: Isto indica que a equação resolvida é: Utilizando a eq. original para substituir os termos de derivada temporal por termos de derivada espacial: Equação diferencial equivalente AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência A equação discretizada tende à equação diferencial quando [∆x,∆t]→[0,0]? AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência O erro de truncamento se mantém limitado? Grandezas tendem a “explodir” em um esquema instável AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência Se eu rodar com [∆x,∆t] “bem pequenos”, meu resultado estará de acordo com a solução exata das equações? AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Diferenças Finitas Consistência, Estabilidade e Convergência Teorema de Lax Para um problema de valor inicial bem posto e um esquema de discretização consistente, estabilidade é a condição necessária e suficiente para convergência. AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

Métodos Numéricos Referências Mais detalhadamente em: Anderson, J. D. “Computational fluid dynamics” Hirsch, C. “Numerical Computation of Internal and External Flows: The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics: The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics – Vol 1” AED-27 - Aerodinâmica Supersônica

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