Introdução às Variáveis Aleatórias

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1 Introdução às Variáveis Aleatórias
ADSD Introdução às Variáveis Aleatórias

2 ADSD Revisão da Teoria das Probabilidades
Experiência real de uma situação probabilística 1) conjunto de possibilidades; 2) agrupamento de possibilidades em classes (resultados) 3) frequência relativa das classes (fc) fc = no de vezes que o resultado cai na classe c / no de experimentos realizados Deve existir um limite para fc quando o no de experimentos  

3 ADSD Modelo Matemático 1) Espaço amostral (S)
S: conjunto de possibilidades exaustivas, mutuamente exclusivas dos experimentos realizados. w: ponto amostral - um elemento de S 2) Uma família de eventos ( ) e = {e1, e2, e3, ..} cada evento é um conjunto de pontos amostrais {w} (Evento eqüivale à classe)

4 ADSD Modelo Matemático 3) Uma medida de probabilidade P
P: Mapeamento dos eventos para os reais. É equivalente à freqüência relativa P[A]: número associado ao evento A Axiomas para P a) 0  P[A]  1 b) P[S] = 1 c) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos: P [A  B] = P[A] + P[B] A tripla (S,  , P) forma um sistema de probabilidade.

5 ADSD Probabilidade Condicional
Probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B tenha ocorrido. P[A / B] = P[A B] / P[B], P[B] # 0 Independência Estatística Dois eventos A e B são estatisticamente independentes P[A B] = P[A] P[B] P[AC] = P[A] P[C] P[BC] = P[B] P[C] P[ABC] = P[A] P[B] P[C] Para n eventos, a extensão é evidente.

6 ADSD mais .... Para dois eventos independentes: P[A / B] = P[A]
(B não influencia A) Eventos são mutuamente exclusivos se: A B =  Eventos são exaustivos se: A  B = S Eventos são mutuamente exclusivos e exaustivos: A B =  e A  B = S

7 ADSD Teorema da Probabilidade Total n P[B] =  P[Ai B] i=1
onde {Ai} são mutuamente exclusivos e exaustivos Desenvolvendo ... P[Ai B] = P[Ai / B] P[B] = P[B / Ai] P[Ai]  P[B] =  P[B / Ai] P[Ai] Permite calcular a prob. de um evento conhecendo apenas as probs. condicionais

8 ADSD Teorema da Bayes n P[Ai / B] = (P[B / Ai] P[Ai]) / (  P[B / Aj] P[Aj] ) j=1 onde {Ai} são mutuamente exclusivos e exaustivos Permite condicionais

9 ADSD Variáveis Aleatórias (VAs) S X’(w) R
VA: Variável cujos valores dependem de uma experiência probabilística, ou Uma função que atribui os elementos do Espaço Amostral (S) em pontos da reta dos Reais (R) S w: ponto amostral w X’(w) R

10 ADSD Variáveis Aleatórias (VAs) S X’(w) R w w: ponto amostral
X’(w): valor da VA quando o resultado do experimento é w

11 S = [ todos os possíveis resultados do lançamento da moeda} 100
Ex. 01: A função de probabilidade (P) cada x  R tem uma probabilidade associada (X  [0,1]). Ex. 02: Lançamento de uma moeda S = [ todos os possíveis resultados do lançamento da moeda}  = {Cara, coroa} P = atribuição de prob. aos eventos (elementar, se a moeda não for viciada} P(cara) = P(coroa) = 1/2 100 $$ $$

12 S 100 Coroa Cara 1/2 1/2 Definição de X’(w) -5, w  cara X’(w) =
$$ Cara Coroa $$ 1/2 1/2 Diagrama de Venn Definição de X’(w) -5, w  cara X’(w) = +5, w  coroa Cara Coroa X’(w) X’(w) R

13 ADSD Classificação de VAs Domínio de uma VA: conjunto S
Imagem de uma VA: subconjunto do Reais (valores atribuídos a X’) A classificação de uma VA é conforme as características de sua imagem Discreta Contínua Mista

14 ADSD VA Discreta: sua imagem consiste de um subconjunto dos Reais com um número de elementos finito ou infinito contável (por convenção, os valores são inteiros positivos) VA Contínua: sua imagem consiste de um intervalo contínuo finito ou infinito na reta dos Reais. VA Mista: sua imagem possui características de VA discreta e de VA contínua.

15 ADSD Caracterização de VAs
Os valores de uma VA são determinados por uma função de distribuição de probabilidades. Exemplos: 1) VAs de um sistema supermercado tempo de interchegada de fregueses tempo de atendimento no caixa 2) Num sistema RCs tempo de interchegada de pacotes em um roteador tempo de permanência de pacotes em um roteador

16 ADSD Como representar a distribuição de probabilidade de uma VA?
Queremos descrever a probabilidade que a VA (X’(w)) assuma valores conforme uma dada distribuição de probabilidade. Solução: Função Distribuição de Probabilidade (FDP) , também denominada Função Cumulativa de Probabilidade.

17 ADSD Função de Distribuição de Probabilidade (FDP)
A probabilidade que um valor de uma distribuição será menor ou igual ao argumento da função para todos os valores possíveis da distribuição. F(X) = P[X’ x] = Prob [w : X’(w)  x] Obs.: Notação usada para F(X): F X’(x)

18 ADSD Propriedades da FDP a) F(x)  0 b) F() = 1 (1) c) F(- ) = 0
d) Se b > a F(b) - F(a) = P[a <x  b] e) F(b)  F(a) se a  b. F(x) é uma função não negativa, monotonicamente crescente com limites 0 e 1 e -  e +  respectivamente, contínua à direita.

19 ADSD Propriedades da FDP 100 $$ a) F(x)  0 b) F() = 1 (1)
c) F(-) = 0 d) Se b > a F(b) - F(a) = P[a <x  b] e) F(b)  F(a) se a  b. F(x) é uma função não negativa, monotonicamente crescente com limites 0 e 1 e -  e + , respectivamente, contínua à direita. F(x) 1 $$ 1/2 x

20 ADSD Função Densidade de Probabilidade (fdp)
f(x): derivada de FDP (muito usada) f(x)  d /dx F(x) F(x) =  (- , +) f(x) x (2) De (1) e (2) temos: f(x)  0 (a derivada de uma função não decrescente é sempre positiva) Para f( ) = F(x) =  (- , +) f(x) dx = 1 Para a < b P[a <x  b] =  (a,b) f(x) dx Obs.: Notação usada para f(x): f x’

21 ADSD Interpretação de f(x) f(x) F(x1): maior concentração
f(x) mostra onde se concentram as probabilidades. f(x) = lim  x 0 P[x < x’  x+  x ] /  x = lim  x 0 [F(x+  x ) - F(x)] /  x f(x) = /  x F(x), já conhecido f(x)  x F(x1): maior concentração de probabilidades. f(x1) x1 x1+  x x

22 ADSD VAs Discretas Geralmente, X ’assume valores inteiros positivos.
F(X’= k), k = 0,1,2,3,.... F(x) tem forma de escadaria com descontinuidade nos pontos k = 0,1,2,3,... P[X’= k] = valor da descontinuidade (salto) em X’= k P[X’= k] = F[k] - F[k-1] P[X’= k] = f(x)  F(x) =  P[ X’= k] k  x  , se x = a Obs.: Função Impulso  (x-a) = , se x # a e  ( -, +)  (X) = 1

23 ADSD F(x) =  ( -, x) f(t) dt VAs Contínuas
F(x) é uma função contínua de x F(x) pode ter pontos onde não é diferenciável, mas esses pontos devem ser contáveis. F(x) =  ( -, x) f(t) dt f(x) =  F(x) /  x

24 ADSD Medidas Importantes associadas às VAs
Esperança (média ou valor esperado): medida da tendência central de uma VA. VA Discreta: E[X] =  k. P[ X’= k]  k = x VA Contínua: E(X) =  (-  ,+  ) x. f(x) x Variância (medida do espalhamento ou da variação de possíveis valores ao redor da média)  2 = E[X2] - (E[X)]2 Desvio Padrão:  = (raiz quadrada da variância)

25 ADSD Medidas Importantes associadas às VAs
A média e a variância são também denominadas 1o e 2o Momentos de X’, respectivamente. E[Xn] = enésimo Momento de X VA Discreta: E[Xn] =  kn. P[ X’= k] k = x VA Contínua: E(Xn) =  (-  ,+  ) xn. f(x) x

26 ADSD 100 VAs Discretas - Exemplos Ex. Mostrar a FDP e fdp
associadas ao experimento Lançamento de uma moeda F(x) =  P[ X’= k]  k = x f(x) = P[X’= k] 100 $$ F(x) 1 $$ 1/2 x f(x) 1 k 1/2 1/2 P[k] 1/2 1/2 P[k] 1/ x

27 ADSD Exemplos de fdp (FDP) mais conhecidas

28 ADSD VAs Discretas - Distribuição de Poisson
e- x / x!, para x = 0,1,2, ... f(x) = 0, de outra forma O número de chegadas em um intervalo de tempo dado tem distribuição de Poisson se: O intervalo de tempo entre chegadas é exponencialmente distribuída, e as chegadas ocorrem uma de cada vez f(x) 0,3 0,2 0,1 x

29 ADSD Parâmetros: VAs Discretas - Distribuição de Poisson ()
e- x / x!, para x = 0,1,2, ... f(x) = 0, de outra forma F(x) 0,3 0,2 0,1 x Parâmetros: Média:  Variânçia: 2 =  Variação: 0,1,2... Freqüentemente usada para modelar o número de eventos aleatórios que ocorrem em um intervalo de tempo fixo.

30 ADSD VAs Discretas - Distribuição de Poisson () f(x) = e- x / x!,
 = 1,0  = 2,0 0,3 0,2 0,1 x x f(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 f(x) = e- x / x!,  = 4,0 x

31 ADSD VAs Contínuas - Distribuição Uniforme no intervalo a, b. F(x)
0, se x < a F(x) = (x-a)/(b-a), se a  x  b 1, se x  b f(x) = 1/(b-a), se a  x  b 0, de outra forma F(x) 1 a b x f(x) 1/(b - a) a b x

32 ADSD VAs Contínuas - Distribuição Uniforme (a,b) F(x) Parâmetros: 1
Média: E[X]= (a+b)/2 Variância: 2 = (b-a)2 / 12 Variação: [a,b] a b x f(x) 1/(b-A) a b x

33 ADSD VAs Contínuas - Distribuição Uniforme (a,b). F(x) 1
Os valores compreendidos no intervalo a, b são equiprováveis. a b x f(x) Usada quando não se tem conhecimento da VA, conhecendo apenas seus limites 1 a b x

34 ADSD VAs Contínuas - Distribuição Triangular f(x)
(2(x-a))/((m-a)(b-a)) se a  x  m (2(b-x))/((b-m)(b-a)) se m < x  b 0, de outra forma f(x) f(m) f(x) = a m b x

35 ADSD VAs Contínuas - Distribuição Triangular (a,m,b) f(x)
Média: E[X] = (a+m+b)/3) Variância: 2 = (a2+ m2 + b2 - ma - ab - mb) / 18 Variação: [a,b] f(x) Usada quando é possível determinar o valor mais provável da VA, além dos seus valores mínimos e máximos, e quando uma função linear parece apropriada para a descrição. f(m) a m b x

36 ADSD VAs Contínuas - Dist. Exponencial 0, se x < 0 F(x) = f(x) =
1 - e- x , se x  0 e-x, se x  0 f(x) = 0, de outra forma. (  = média da distribuição)

37 ADSD Distribuição Exponencial se ...
A prob. de ocorrer um evento em um intervalo de tempo  t pequeno é proporcional ao tamanho desse intervalo; a prob. de ocorrência de mais de um evento nesse intervalo é nula, e os eventos são independentes. A Distribuição de Probabilidades Exponencial representa a distribuição dos intervalos de tempo entre ocorrências de eventos aleatórios distintos sucessivos, descrevendo um processo completamente desordenado (pior hipótese).

38 ADSD Distribuição Exponencial () (fdp)
Uma propriedade importante da distribuição exponencial é que ela não tem memória. Veremos mais adiante detalhes sobre essa distribuição, muito importante na Teoria das Filas.. Média:  Variância: 2 (grande) Variação: 0 a +

39 ADSD Distribuição Exponencial ()
Uma propriedade importante da Dist. Exponencial é que ela não tem memória. Para t  0 e to  0, P(X >t+to \ X > t) = P(X >to) Prova: Temos (probabilidade condicional): P(X > t+to \ X > t) = P(X > t+to) / P(X > t) = (1 - P(X  t+to)) / (1 - P(X  t)) = (1 - (1- e- (t+to) )) / ( 1 -(1- e- t )) = e- (t+to) / e- t = e- to = P(X >to) c.q.d.

40 ADSD Distribuição Exponencial ()
Uma propriedade importante da dist. Exponencial é que ela não tem memória. Para t  0 e to  0, P(X >t+to \ X > t) = P(X >to)

41 ADSD Distribuição Normal (ou Gaussiana) Média:  Variânçia: 2 f(x)
Desvio padrão:  f(x)

42 ADSD Distribuição Normal ou Gaussiana ( , )
tem a vantagem de ser matematicamente tratável é uma boa aproximação para a Dist. de Poisson, quando a média é alta. Teorema do Limite Central A distribuição da média ou da soma de n observações independentes, de qualquer distribuição, se aproxima de uma distribuição normal, quando n tende a infinito. f(x)

43 ADSD Distribuição Normal ( , ) (fdp) Média:  Variânçia: 2
: desvio padrão Variação:(- , + )

44 ADSD Exemplo 01: Considere experimentos referente ao arremesso de um dado. Seja X o número de marcas mostrado na face superior do dado quando este é arremessado. Assume-se que a probabilidade de uma dada face ocorrer em um arremesso é proporcional ao número de marcas que ela possui 1) Mostre a FDP e a fdp associadas a esse experimento 2) Encontre a média e a variância desse experimento.

45 ADSD Desvio Padrão:  = ¯2,22 = 1,49 Exemplo 01:
Xi f(x1) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21  f(x1) 1/21 3/21 6/21 10/21 15/21 21/21 Média: E[X] =  k. P[ X’= k] = 1(1/21)+2(2/21)+ ...+(6/21) = 991/21 = 4,33 Variância:  2 = E[X2] - (E[X)]2 = ( 12(1/21) + 22(2/21) (6/21)) - (4,33)2 = 2,22 Desvio Padrão:  = ¯2,22 = 1,49

46 ADSD Exemplo 01: X: VA discreta A dist. de prob. para o experimento
é a seguinte: F(x) f(x) Xi f(x1) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21  f(x1) 1/21 3/21 6/21 10/21 15/21 21/21

47 ADSD Exemplo 02: A vida de um dispositivo de raio laser usado para detectar fissuras em asas de aeronaves pode ser representada por uma VA contínua X, com seguinte fdp: 1/2 e-x/2, x  0 f(x )= 0, de outra forma. 1) Mostre a FDP e a fdp associadas a vida desse dispositivo 2) Qual a probabilidade da vida do dispositivo se limitar no intervalo de 2 a 3 anos? 3) Qual a prob. dessa vida durar no máximo 2 anos ? 4) Qual a prob de vida do dispositivo sabendo-se que já se passou um ano de uso? 4)Encontre a média e a variância desse experimento.

48 ADSD Exemplo 02: 1) Encontre a FDP associada a vida desse dispositivo
F(x) = 1/2  (0,x) e-x/2 dt = 1- e-x/2 f(x)

49 ADSD Exemplo 02: 2) Qual a probabilidade da vida do dispositivo se limitar no intervalo de 2 a 3 anos? P( 2  X  3) = F(3) - F(2) = ( 1- e-3/2 ) - ( 1- e-1 ) = e-3/2 + e-1 = -0,223+0,368 = 0,145 3) Qual a prob. dessa vida durar no máximo 2 anos? P( 0  X  2) = F(2) - F(0) = F(2) = 1- e-1 = 0,632

50 ADSD Exemplo 02: 4) Qual a probabilidade de vida do dispositivo durar mais de 4 anos sabendo-se que já se passou 2 anos de uso? P( X > 4 \ X > 2) = P( X > 2) = 1 - P(X  2) = Temos: F(x) = 1/2 (0,x) e-x/2 dt = 1- e-x/2 P( 0  X  2) = F(2) - F(0) = 1 - e-1 = 0,632 Logo: P( X > 4 \ X > 2) = ,632 = 0,368 Observe: Mesmo tendo passado 2 anos, a probabilidade do dispositivo ter sobrevida de mais anos é a mesma (propriedade sem memória da distribuição exponencial).

51 ADSD Exemplo 02: 5)Encontre a média e a variância desse experimento.
Média = E[X] = 1/2 (0,  ) x e-x/2 dx = - x.e-x/2 (0,  ) ,+ (0,  ) e-x/2 dx = 0 + 1/(1/2) e-x/2 (0,  ) = 2 anos Variância:  2 = E[X2] - (E[X)]2 = 1/2 (0,  ) x2 e-x/2 dx = - x2.e-x/2 (0,  ) ,+ 2 (0,  ) e-x/2 dx = =4 anos Desvio Padrão:  = ¯4 = 2 anos

52 ADSD No módulo “Geração de Valores Aleatórios” veremos
métodos que atribuem valores a uma VA conforme uma dada distribuição de probabilidade. Aguardem !

53 ADSD Continuamos na próxima aula