Aula 2 Dinâmica de Populações. Crescimento e decaimento de 1ª ordem e equação da Logística.

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1 Aula 2 Dinâmica de Populações. Crescimento e decaimento de 1ª ordem e equação da Logística.

2 Princípio de conservação
A taxa de acumulação no interior do Volume = Entra menos o que sai + Produção menos detruição

3 Volume fechado (sem fluxos)
Se β for uniforme no interior do volume: Dividindo pelo volume (fontes e sumidouros são calculados por unidade de volume):

4 Dinâmica de Populações
(n=0) => decaimento/crescimento de ordem “0” (evolução linear) (n=1) => 1st ordem (exponencial) …….. Se (n=1) =>1ª ordem : A solução analítica é: c0 c t K>0 K<0 z K >0 crescimento exponencial K<0 decaimento assimtótico para “0”

5 Decaimento de 1ª ordem Aplicável no caso de: Como calcular k?
Mortalidade bacteriana utilizando o conceito de T90, Decaimento de pPesticidas utilizando o tempo de semi-vida. Como calcular k? => => T90=1 hora=> k=-6.4E-4 s-1. No caso do tempo de semi-vida seria idênctico com ln(0.5)

6 Solução logística Admite que o crescimento não pode ser exponencial. Admite que a solução tende para um valor de equilíbrio, que é determinado pela logística (capacidade de alimentação). Como consequência K é variável e não existe solução analítica. Cmax C0 c t

7 Solução Numérica (explícita)
Discretizando a derivada temporal: Usando um cálculo explícito:

8 Solução Numérica (explícita)
Na solução explícita obtivemos: No workbook Excel “dinâmica de populações” Pode verificar a dependência do passo temporal. Verifique acima de um certo valor de dt a solução se torna instável se k for negativo. Se k<o então o parênteses fica negativo se “dt” elevado. Neste caso a nova concentração fica negativa se a anterior for positive e vice-versa. A condição de estabilidade é: Nesta passagem o sinal da desigualdade muda quando se divide por k<0

9 Solução Numérica (implícita)
Neste caso : Agora a instabilidade pode aparecer se k>0:

10 Comparção entre as soluções numéricas e a solução analítica
See the Excel workbook “dinâmica de populações”

11 A equation da logística
Utilize o workbook “dinâmica de populações” para visualizar a solução.

12 Logistics solution

13 Critério de Estabilidade
Quando temos mortalidade, se o ´método é explícito o número de indivíduos que morre é função do nº de indivíduos no início do intervalo de tempo e durante todo o passo de tempo admitimos que morre o mesmo nº por unidade de tempo. Isso significa que estamos a matar por excesso. A solução é inferior à analítica. Se matarmos mais do que os que existiam ficamos com um nº negativo. Quando temos crescimento o problema aparece no caso implícito. Neste caso o número de filhos não é proporcional ao nº de pais, mas ao número de pais mais o número de filhos porque a produção em implícito á função da solução no final do passo de tempo. “É como se as filhas nascessem já grávidas”. A instabilidade aparece quando a equação discretizada se torna irrealista, i.e. quando violamos uma regra da natureza. Verificaremos mais adiante que isso se manifesta sempre por alterações dos sinais de pelo menos um termo da equação.

14 Generalizando: Os termos fonte (de produção devem ser calculados explicitamente e os termos de sumidouro devem ser calculados implicitamente. Deste modo o sinal do parenteses será sempre positivo. Poderemos no entanto ter um problema de precisão. Se o modelo é estável qual é o passo de tempo adequado para o cálculo? É o menor possível, i.e., aquele que mais respeita a definição de derivada e que permite recalcular com maior frequência os termos da equação. c0 c t K>0 K<0 implícito explícito

15 Considerações finais Decaimento de primeira ordem é razoável para calcular a evolução de propriedades que não têm fontes na natureza e que por isso têm tendência para decair. O problema neste caso é conhecer a taxa de decaimento…. Os modelos de crescimento de primeira ordem só são realistas enquanto o crescimento não é limitado pelos recursos. Quando se chega ao limite da capacidade de suporte (carrying capacity) a propriedade deixa de crescer. Os modelos têm que ter taxas de crescimento e de decaimento variáveis. O modelo Lotka-Volterra (presa – predador) é o mais simples que tenta atingir esse objectivo. O problema é que neste cado o “cavalo é um pouco esférico”

16 Modelo Presa-Predador (Lotka-Volterra)
Na equation: só a logística limita o crescimento. No mundo real há sempre um predador que também contribui par limitar a presa. Lotka-Volterra Equations See Excel worksheet“Prey-Predator”

17 Como calcular o termo de pastoreio (grazing)?
O pastoreio depende da capacidade do predador para encontrar e consumir uma presa. Essa capacidade depende da energia que ele gasta para encontrar a presa de da capacidade do seu próprio estômago. A formulação de Michaelis-Menten é muito popular para calcular o pastoreio: Onde k é a constant de semi-saturação que mede o nº de presas que reduz a capacidade de predação para metade da máxima. Se k=0 o predador significa que o predador pode extinguir a presa. Valores elevados de k significam que a predação é difícil e consequentemente o nº de presar por predador tem que ser elevado.

18 Significado do Michaelis - Menten
O Pastoreio sem Michaelis-Menten significa que a predação cresce com o número de presas e o número de predadores. Isto é pouco razoável porque o predador está limitado pela capacidade do seu estômago que é medido por Kg. O parênteses representa a probabilidade de o predador encontrar a presa.

19 Limitações o modelo de Lotka Volterra
Não conserva a massa total. Para conservar a massa teria que ter no mínimo 3 equações (uma terceira para detritos) : Poderá kp ser constante? É razoável que uma presa se alimente de detritos? Precisamos de mais variáveis/equações...

20 Requisitos para um modelo ecológico
O número de variáveis de estado deve ser suficientemente grande para descrever os grupos funcionais mais importantes. O modelo tem que conservar a massa total do sistema, i.e., a massa perdida por uma variável de estado tem que ser ganha por outra. Todos os factores limitantes do crescimento têm que ser descritos pelo modelo. O transporte tem que ser incorporado.

21 Forma geral daas equações de evolução
Nestas equações adicionámos transporte difusivo.