Fundamentos de Eletricidade

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1 Fundamentos de Eletricidade
Física 3 Fundamentos de Eletricidade ELETROSTÁTICA (Lei de Gauss) Prof. Alexandre W. Arins

2 Carl Friedrich Gauss Príncipe dos matemáticos
Eletricidade: Lei de Gauss Estatística: Curva de Gauss Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel Astronomia: Lei de Gauss da gravitação Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton Cálculo do : Algoritmo de Gauss-Legendre (  )

3 Lei de Gauss Para certas distribuições simétricas de cargas, podemos poupar muito mais trabalho usando uma lei conhecida como lei de Gauss, descoberta pelo matemático e físico Carl Friedrich Gauss. Em vez de considerar os campos dE criados pelos elementos de carga de uma dada distribuição de cargas, a lei de Gauss considera uma superfície fechada imaginária que envolve a distribuição de cargas. Essa superfície gaussiana, como é chamada, pode ter qualquer forma, mas a forma que facilita o cálculo do campo elétrico é a que reflete a simetria da distribuição de cargas.

4 FLUXO ELÉTRICO O fluxo elétrico é uma grandeza proporcional ao número das linhas do campo elétrico que atravessam uma superfície.  o número de linhas que entram a superfície da área A é proporcional ao produto EA. O produto EA é chamado de fluxo elétrico Unidades no SI:

5 FLUXO ELÉTRICO Na face 1 os vetores E e A são paralelos Na face 2 os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é dado pelo produto escalar dos dois vetores: θ = 0  a superfície é perpendicular ao campo e o fluxo elétrico é máximo. θ = 90  a superfície é paralela ao campo e o fluxo elétrico é zero.

6 Fluxo de um Campo Elétrico
Superfície Gaussiana representa uma integral sobre uma superfície fechada. é a componente do campo elétrico normal à superfície.  quando existe mais linhas saindo do que entrando na superfície.  quando existe mais linhas entrando do que saindo da superfície.

7 superfícies C e D Questão
Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura. Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero? superfícies C e D

8 LEI DE GAUSS Consideramos uma carga pontual positiva q situada no centro de uma superfície esférica de raio r, As linhas do campo irradiam para fora e, portanto, são perpendiculares à superfície em cada ponto  é um vetor que representa um elemento local de área O fluxo através da pequena área é O fluxo resultante através de toda a superfície Como E é constante sobre toda a superfície 

9 Substituindo na expressão do fluxo teremos
Como:  módulo do campo elétrico em toda a parte da superfície esférica  área da superfície esférica Substituindo na expressão do fluxo teremos LEI DE GAUSS o fluxo resultante através de uma superfície esférica é proporcional à carga q no interior da superfície gaussiana.

10 Uma carga pontual localizada no exterior duma superfície fechada
O número de linhas entrando na superfície é igual ao número de linhas saindo da superfície logo, O fluxo elétrico resultante através de uma superfície fechada que não engloba nenhuma carga é nulo. No caso de haver muitas cargas pontuais dentro da superfície pode-se generalizar: A Lei de Gauss afirma que o fluxo resultante através de qualquer superfície fechada é onde qenv representa a carga líquida no interior da superfície e , o campo elétrico em qualquer ponto sobre a superfície. A LEI DE GAUSS AFIRMA QUE O FLUXO ELÉTRICO RESULTANTE ATRAVÉS DE QUALQUER SUPERFÍCIE FECHADA É IGUAL À CARGA LÍQUIDA DENTRO DA SUPERFÍCIE DIVIDIDA POR 0

11 Exemplo 1: Determinar o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica, que está num campo elétrico uniforme a  b  c  O fluxo através de toda a superfície é

12 Exemplo 2: A partir da lei de Gauss, calcule o campo elétrico devido a uma carga pontual isolada q.
O campo elétrico de uma carga pontual positiva é radial para fora por simetria e, portanto, é normal à superfície em todo ponto. Consequentemente, é paralelo a em todo ponto sobre a superfície e, então Pela lei de Gauss Por simetria, E é constante em toda parte sobre a superfície, então pode ser removido da integral. Consequentemente onde usamos o fato de que a área da superfície de uma esfera é Agora, obtemos o campo elétrico:  que é o campo elétrico de uma carga pontual que desenvolvemos a partir da lei de Coulomb.

13 O CAMPO ELÉTRICO É NULO EM QUALQUER PONTO DENTRO DO CONDUTOR
CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO Num condutor elétrico existem cargas (elétrons) que se deslocam de maneira relativamente livre. Quando nenhum movimento de carga ocorre dentro do condutor, este está em equilíbrio eletrostático. O CAMPO ELÉTRICO É NULO EM QUALQUER PONTO DENTRO DO CONDUTOR Considere uma placa condutora colocada em um campo elétrico As cargas induzidas sobre as superfícies da placa produzem um campo elétrico que se opõe ao campo externo, fornecendo um campo resultante nulo dentro do condutor Se o campo elétrico não fosse nulo  cargas livres no condutor que seriam aceleradas sob ação da força elétrica.

14 De acordo com a Lei de Gauss
CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO SE O CONDUTOR ISOLADO TIVER UMA CARGA LÍQUIDA, A CARGA EM EXCESSO FICA INTEIRAMENTE SOBRE SUA SUPERFÍCIE Utilizaremos a lei de Gauss para verificar a segunda propriedade do condutor em equilíbrio eletrostático. Desenhamos uma superfície gaussiana dentro do condutor tão próxima da superfície quanto desejarmos. De acordo com a Lei de Gauss Como em qualquer ponto E =  Φ = 0 portanto qenv = 0 Quando condutores são carregados a carga distribui-se a superfície do material

15 CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO
O CAMPO ELÉTRICO IMEDIATAMENTE EXTERIOR AO CONDUTOR CARREGADO É PERPENDICULAR À SUPERFÍCIE DO CONDUTOR E TEM UMA MAGNITUDE  / 0, ONDE  É A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA NESSE PONTO Supomos uma superfície Gaussiana na forma de um cilindro pequeno Nenhum fluxo atravessa a face plana do cilindro dentro do condutor porque E = 0 em qualquer ponto dentro do condutor. Logo, o fluxo resultante através da superfície gaussiana é o fluxo através da face plana fora do condutor onde o campo é perpendicular à superfície. Para essa face, o fluxo é EA, onde E é o campo elétrico na face externa do condutor e A é a área da face do cilindro Aplicando a essa superfície Lei de Gauss Assim

16 Exemplo : Padrão do campo elétrico de uma placa condutora carregada próxima de um cilindro condutor com carga oposta. Pequenos pedaços de fibra suspensos em óleo se alinham com as linhas do campo elétrico. Observe que: (1) as linhas do campo elétrico são perpendiculares aos condutores. (2) não há linhas dentro do cilindro (E= 0).

17 Exemplo de uso da Lei de Gauss:
Campo Elétrico produzido por um fio longo com carga uniforme λ [C/m] Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da estrutura; no caso, um cilindro: E E dA dA λ (C/m) r dA L

18 dA E r Cálculo do Fluxo: Nas “tampas” do cilindro E e dA são perpendiculares Então: Não existe fluxo do campo elétrico através das “tampas” do cilindro.

19 Cálculo do Fluxo: E e dA são paralelos λ (C/m) L dA E

20 Cálculo do Fluxo: E λ (C/m) L
A superfície cilíndrica tem uma distância constante do fio. Portanto o Campo Elétrico é constante nesta superfície λ (C/m) L E

21 Cálculo do Fluxo: E = constante
A integral de dA é a superfície lateral do cilindro: Então: λ (C/m) r L 2pr L 2pr

22 Cálculo do Campo Elétrico:
A Lei de Gauss também pode ser escrita como: A carga dentro da superfície gaussiana é: Então: λ (C/m) r L 2pr