Lógica de Primeira Ordem

Apresentação em tema: "Lógica de Primeira Ordem"— Transcrição da apresentação:

1 Lógica de Primeira Ordem
Sumário Passos válidos envolvendo a  e : O método da instanciação existencial; O método da prova condicional geral; Formalização das regras do quantificador universal no sistema Fitch. Formalização das regras do quantificador existencial no sistema Fitch. © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

2 Passos válidos envolvendo  e 
Se tivermos estabelecido que x S(x), e se soubermos que d é um nome de um objecto que pertence ao domínio do discurso, então podemos legitimamente inferir S(d). Isto porque não existe nenhuma forma que permita que a declaração universal seja verdadeira sem que a declaração específica também o seja. Esta inferência é denominada “Instanciação Universal” ou “Eliminação da Universal”. Existe um passo semelhante para o quantificador , mas neste caso permite introduzir o quantificador. Suponhamos, por exemplo, que estabelecemos que d é um tetraedro pequeno. Obviamente podemos concluir que existe no domínio um tetraedro que é pequeno. Não existe nenhuma forma que permita que a declaração específica seja verdadeira sem que a existencial também o seja. Se estabelecemos S(d) então podemos inferir x S(x). Este passo denomina-se “Generalização existencial” ou “Introdução da Existencial”. RESUMO: 1. Instanciação Universal: A partir de x S(x), inferir S(d), desde que d denomine um objecto que pertença ao domínio do discurso. 2. Generalização Existencial: A partir de S(d), inferir x S(x), desde que d seja um objecto que pertença ao domínio do discurso. © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

3 Passos válidos envolvendo  e 
Exemplo: Mostrar(prova informal) que x [Large(x)  LeftOf(x,c)] deriva das seguintes três premissas: 1. x [Cube(x)  Large(x)] 2. x [Large(x)  LeftOf(x,c)] 3. Cube(d) Prova: Usando a Instanciação Universal obtemos, Cube(d)  Large(d) e Large(d)  LeftOf(d,c) Aplicando o modus ponens à premissa (3) e à primeira frase que derivamos obtemos Large(d). Outra aplicação do modus ponens dá-nos LeftOf(d,c). De seguida (usando a introdução da conjunção) temos Large(d)  LeftOf(d,c) Finalmente, aplicando a Introdução da Existencial obtemos a conclusão desejada x [Large(x)  LeftOf(x,c)] © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

4 Passos válidos envolvendo  e 
Se tivermos provado que x S(x) é verdade então podemos assumir ser, por exemplo, d o nome de um dos objectos que satisfaz S(x), desde que esse nome não esteja a ser usado. Podemos de seguida inserir S(d) e usar esta assunção de forma a poder provar algo. Esta regra denomina-se Instanciação Existencial ou Eliminação Existencial. Geralmente, quando a instanciação existencial é usada numa prova matemática, ela é marcada por uma introdução explícita de um novo nome. Por exemplo, o autor poderá dizer “Então provamos que existe um número primo entre n e m. Chamemos-lhe p.” Outra frase que tem a mesma funcionalidade é: “Seja p esse número primo”. © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

5 Passos válidos envolvendo  e 
Exemplo: Mostrar que x [Large(x)  LeftOf(x,c)] deriva das seguintes três premissas: 1. x [Cube(x)  Large(x)] 2. x [Large(x)  LeftOf(x,c)] 3. x Cube(x) Prova: A terceira premissa assegura-nos que existe pelo menos um cubo. Seja e esse cubo. Podemos então prosseguir tal como no raciocínio anterior. Aplicando a primeira premissa, verificamos que esse cubo deve ser large (Quais os passos que usamos?). Aplicando a segunda premissa, vemos que e deve também estar à esquerda de c. Assim mostramos que e é ao mesmo tempo large e left of c. A conclusão desejada deriva (Qual o passo de inferência usado?) desta declaração. © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

6 Passos válidos envolvendo  e 
Suponhamos que desejamos provar que todos os alunos finalistas são inteligentes. Admitamos que as premissas são 1. Qualquer pessoa que tenha passado a Lógica com 20 é inteligente. 2. Todos os alunos finalistas passaram a Lógica com 20. Prova: Consideremos que “Noname” se refere a qualquer pessoa que seja finalista. Pela segunda premissa sabemos que Noname passou a Lógica com 20. Assim, pela primeira premissa sabemos que o Noname é inteligente. Mas dado que Noname é um aluno finalista arbitrário, podemos concluir o mesmo para todos os alunos finalistas. Este método de raciocínio é usado correntemente na matemática. A forma geral é a seguinte. Suponha que quer provar x [P(x)  Q(x)] a partir de um conjunto de premissas. A forma mais simples e directa de proceder é escolher um nome que não esteja a ser usado, por exemplo d, assumir P(d), e provar Q(d). Se o conseguir fazer, então pode inferir o resultado desejado. © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

7 Passos válidos envolvendo  e 
O método da prova condicional geral Nos sistemas dedutivos formais, o método de prova condicional geral é dividido em duas partes, a prova condicional, e um método para provar declarações gerais completas, declarações da forma x S(x). “Generalização Universal” ou “Introdução Universal” Diz-nos que que podemos introduzir um novo nome d, para denominar um membro arbitrário do domínio do discurso, e prosseguir no sentido de provar S(d). Se o fizermos podemos concluir x S(x). Exemplo: Suponhamos que pretendemos provar x S(x) a partir das seguintes premissas 1. x [R(x)  S(x)] 2. x R(x) Prova: Começamos por adoptar um novo nome d, para denominar um membro qualquer do domínio do discurso. Aplicando duas vezes a Instanciação Universal, uma para cada premissa, obtemos 3. R(d)  S(d) 4. R(d) Pelo modus ponens, podemos concluir S(d). Mas, dado que d denota um objecto arbitrário do domínio, a nossa conclusão pode ser derivada pela Generalização Universal. © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

8 Formalização das Regras do 
Eliminação Universal (Elim ): x S(x) . S(d) Também denominada: Instanciação Universal Introdução Universal (Intro ): d . P(d) x P(x) d não ocorre fora da subprova onde é introduzido. Também denominada: Generalização Universal © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

9 Formalização das Regras do 
Exemplo: Provar que x S(x) deriva das premissas x [R(x)  S(x)] e x R(x). x [R(x)  S(x)] x R(x) d 3. R(d)  S(d) Elim : 1 4. R(d) Elim : 2 5. S(d) Elim : 3, 4 6. x S(x) Intro : d - 5 Note que d apenas ocorre dentro da subprova e nunca fora desta, só isto nos permite introduzir o quantificador universal. © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

10 Formalização das Regras do 
Introdução Existencial (Intro ): S(d) . x S(x) Também denominada: Generalização Existencial Eliminação Existencial (Elim ): x S(x) . d S(d) Q d não ocorre fora da subprova onde é introduzido. Também denominada: Instanciação Existencial © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

11 Formalização das Regras do 
Exemplo: Provar que x (Large(x)  LeftOf(x, c)) deriva das premissas: x (Cube(x)  Large(x)), x (Large(x)  LeftOf(x, c)) e x Cube(x). x (Cube(x)  Large(x)) x (Large(x) LeftOf(x, c)) x Cube(x) e 4. Cube(e) 5. Cube(e)  Large(e) Elim : 1 6. Large(e) Elim : 5, 4 7. Large(e)  LeftOf(e, c) Elim : 2 8. LeftOf(e, c) Elim : 7, 6 9. Large(e)  LeftOf(e, c) Intro : 6, 8 10. x (Large(x)  LeftOf(x, c)) Intro : 9 11. x (Large(x)  LeftOf(x, c) Elim : 3, e © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

12 Formalização das Regras do 
Exemplo: Provar que x (Large(x)  LeftOf(x, c)) deriva das premissas: x (Cube(x)  Large(x)), x (Large(x)  LeftOf(x, c)) e x Cube(x). x (Cube(x)  Large(x)) x (Large(x) LeftOf(x, c)) x Cube(x) c 4. Cube(c) 5. Cube(c)  Large(c) Elim : 1 6. Large(c) Elim : 5, 4 7. Large(c)  LeftOf(c, c) Elim : 2 8. LeftOf(c, c) Elim : 7, 6 10. x LeftOf(c, c)) Intro : 8 ERRADO! Nota: c é um objecto do domínio. Impossível!!! © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

13 Introdução à quantificação
Caso de Estudo: Provar que x P(x) deriva de x P(x). x P(x)  P(c) x P(x) ...... 2 1 x P(x) x P(x) A primeira ideia seria usar a Introdução da Existêncial. Ou seja provar P(c) para um objecto c. No entanto o facto de sabermos que nem todas as coisas satisfazem P(x) dificilmente nos ajuda a provar, para um determinado objecto c, P(c). Resta-nos apenas tentar provar por Contradição. x P(x) 2.  x P(x) Contradição   x P(x) Intro : 2 - ? x P(x) Elim : ? 3 © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

14 Introdução à quantificação
Provas formais Caso de Estudo: Provar que x P(x) deriva de x P(x). x P(x) 2.  x P(x) c ...... P(c) x P(x) Intro : c ? x P(x)  x P(x) Intro : ?, 1   x P(x) Intro : 2 - ? x P(x) Elim : ? 4 Que contradição podemos esperar encontrar? Como a nossa premissa é x P(x), a linha de ataque mais promissora seria tentar provar x P(x). © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem

15 Introdução à quantificação
Provas formais Caso de Estudo: Provar que x P(x) deriva de x P(x). x P(x) 2.  x P(x) c 3. P(c) 4. x P(x) Intro : 3 5. x P(x)   x P(x) Intro : 4, 2 6.  P(c) Intro : 3-5 7. P(c) 8. x P(x) Intro : c 9. x P(x)  x P(x) Intro : 8, 1   x P(x) Intro : 2 - 9 x P(x) Elim : 10 5  O problema agora é como provar P(c). Vamos ver como o faríamos informalmente. Se P(c) não fosse verdade, então saberíamos que P(c) era verdade, e assim teríamos x P(x) . Mas, isto contradiz a nossa assunção do passo 2. Isto permite-nos delinear o nosso método de ataque. Prova por Contradição © Ana Paula Neves Lógica de Primeira Ordem