POLINÔMIOS – Parte 2. Dispositivo de Briot-Ruffini Exemplo Veja, passo a passo, a utilização do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar o quociente.

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1 POLINÔMIOS – Parte 2

2 Dispositivo de Briot-Ruffini Exemplo Veja, passo a passo, a utilização do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x 3 – 4x + 1 por x – 4. Para isso, escrevemos o polinômio dividendo da seguinte forma: P(x) = 2x 3 + 0x 2 – 4x + 1

3 1 o ) Dispomos os valores envolvidos no cálculo. 2 o ) Repetimos, na linha de baixo, o coeficiente dominante do dividendoP(x). 3 o ) Multiplicamos o valor de a por esse coeficiente e somamos o produto obtido com o próximo coeficiente de P(x), colocando o resultado abaixo dele. Exemplo Dispositivo de Briot-Ruffini

4 Exemplo 4 o ) Multiplicamos o valor de a pelo resultado que acabamos de obter, somamos o produto com o próximo coeficiente de P(x) e colocamos esse novo resultado abaixo desse coeficiente. 5 o ) Repetimos o processo até o último coeficiente de P(x), que está separado, à direita. Dispositivo de Briot-Ruffini

5 O último resultado é o resto da divisão. Os demais números obtidos são os coeficientes do quociente, dispostos ordenadamente, conforme as potências decrescentes de x. Portanto, com esse procedimento, encontramos o quociente Q(x) = 2x 2 + 8x + 28 e o resto R(x) = 113. Veja que, nesse caso, gr(Q) = gr(P) – 1, uma vez que o grau do divisor (x – a) é 1. Exemplo Dispositivo de Briot-Ruffini

6 Exercício 1) Obter o valor numérico de P(x) = –3x 5 + 2x 4 – x 3 + 2x 2 – 1 para x = 5, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Resolução Pelo teorema do resto, o resto da divisão de P(x) por x – 5 é P(5), que é o valor numérico de P(x) para x = 5. Vamos aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini a P(x) = –3x 5 + 2x 4 – 1x 3 + 2x 2 + 0x – 1 (forma completa). Assim, temos: Portanto: P(5) = –8.201

7 2) Determinar o resto da divisão de –x 4 + mx 3 – 2x 2 – nx + 1 por x + 1, sabendo que o quociente é –x 3 – 4x 2 + 2x – 3. Exercício Resolução Observe que x + 1 = x – (–1), então a = –1. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini: Então: Q(x) = –x 3 + (1 + m)x 2 + (–3 – m)x + 3 + m – n e R(x) = –2 – m + n Vamos fazer a correspondência entre os coeficientes e calcular o valor de m e n: –x 3 + (1 + m)x 2 + (–3 – m)x + 3 + m – n = –x 3 – 4x 2 + 2x – 3  1 + m = –4 ⇒ m = –5  –3 – m = 2 ⇒ m = –5  3 + m – n = –3 ⇒ 3 + (–5) – n = –3  n = 1 Como R(x) = –2 – m + n, temos: R(x) = –2 – (–5) + (1) = –2 + 5 + 1 = 4 Logo, o resto dessa divisão é 4.

8 Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) e também por (x – b), com a ≠ b, se, e somente se, P(x) é divisível pelo produto (x – a)(x – b). Divisão de polinômios pelo produto (x – a) (x – b)

9 Exemplos a)Vamos verificar se P(x) = x 3 – 3x 2 – 6x + 8 é divisível por (x + 2)(x – 4) sem efetuar a divisão. Temos:  P(–2) = (–2) 3 – 3 ∙ (–2) 2 – 6 ∙ (–2) + 8 = – 8 – 12 + 12 + 8 = 0  P(4) = (4) 3 – 3 ∙ (4) 2 – 6 ∙ (4) + 8 = 64 – 48 – 24 + 8 = 0 Como P(–2) = 0, sabemos que P(x) é divisível por: (x – (–2)) = (x + 2) O polinômio P(x) também é divisível por (x – 4), pois: P(4) = 0 Logo, o polinômio é divisível pelo produto: (x + 2)(x – 4) Divisão de polinômios pelo produto (x – a) (x – b)

10 Exemplos b) Já vimos que P(x) = x 3 – 3x 2 – 6x + 8 é divisível por (x + 2) (x – 4). Vamos obter agora o quociente da divisão de P(x) por esse produto efetuando sucessivamente as divisões por (x + 2) e por (x – 4) pelo dispositivo de Briot-Ruffini. Dividindo P(x) por (x + 2), obtemos:  Q 1 (x) = x 2 – 5x + 4  R 1 (x) = 0 Dividindo o quociente obtido Q 1 (x) por (x – 4), obtemos: Verificamos que x 3 – 3x 2 – 6x + 8 = (x – 1) ∙ (x + 2)(x – 4) Logo, o quociente dessa divisão é: Q 2 (x) = x – 1  Podemos juntar as duas etapas dessa divisão:

11 3) Descobrir se P(x) = x 3 + (1 – i)x 2 – ix é divisível por x 2 + x e determinar o quociente dessa divisão. Resolução Temos: x 2 + x = x(x + 1) = (x – 0)(x + 1) Para saber se P(x) é divisível por (x – 0)(x + 1), vamos fazer divisões sucessivas com cada fator, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini. Portanto, P(x) é divisível por x 2 + x, pois o resto da divisão é zero. O quociente procurado é: Q(x) = x – i

12 4) Sabendo que P(x) = x 3 – 5x 2 + 8x – 4 é divisível por D(x) = (3x – 3)(2x – 4), determinar o quociente dessa divisão. Resolução Temos: (3x – 3)(2x – 4) = 3(x – 1) ∙ 2(x – 2) = 6(x – 1)(x – 2) Como P(x) é divisível por D(x): P(x) = Q(x) ∙ 6(x – 1)(x – 2) = Q 1 (x) ∙ (x – 1)(x – 2) Assim, para achar Q(x), basta dividir P(x) sucessivamente por (x – 1) e (x – 2), obtendo Q 1 (x). Em seguida, dividimos Q 1 (x) por 6. Assim: Q 1 (x) = x – 2 Logo, o quociente é: Q(x) = x –