Profª Juliana Schivani Monômios: a xn Produto de uma constante não nula a por uma variável x elevada a um número natural n. 5x 1/2 9x -1 -5y³ √2 x 7.

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2 Profª Juliana Schivani

3 Monômios: a xn Produto de uma constante não nula a por uma variável x elevada a um número natural n. 5x 1/2 9x -1 -5y³ √2 x 7 Schivani

4 Polinômios: É a junção de dois os mais monômios. Um polinômio P(x) é sempre da forma: P(x) = a n ∙ x n + a n-1 ∙ x n-1 +... + a o x 4 – 2x 10x 6 – 15x 5 + 20x 4 20x - 60000 Escrevemos um polinômio com os coeficientes da variável na ordem decrescente Schivani

5 Polinômios idênticos: A(x) = B(x) se, e somente se, os coeficientes das variáveis de mesmo expoentes, forem iguais, isto é, a 3 x 3 = b 3 x 3,..., a 1 x 1 = b 1 x 1,... 2x³ + 5x² + 10 Assim, 2x³ + 5x² + 10 somente será igual a (p + q)x³ + 2qx² + rx + 10 (p + q)x³ + 2qx² + rx + 10 se: p + q = 2 2q = 5 r = 0 Schivani

6 Polinômios nulos: A(x) será nulo se, e somente se, os coeficientes das variáveis forem todos iguais a zero. (p + q)x³ + 2qx² + rx Assim, (p + q)x³ + 2qx² + rx será nulo se: p + q = 0 2q = 0 r = 0 Schivani

7 Grau de um polinômio: É o maior número expoente de x com coeficiente não nulo. x 4 – 2x polinômio de grau 4 10x 6 – 15x 5 + 20x 4 polinômio de grau 6 20x – 60000 polinômio de grau 1 -7 monômio de grau 0 Schivani

8 Coeficiente dominante: Seja o polinômio de grau n: a n ∙ x n + a n-1 ∙ x n-1 +... + a o a n ∙ x n + a n-1 ∙ x n-1 +... + a o com a n ≠ 0 coeficiente dominante coeficiente dominante do polinômio Schivani

9 Operações com polinômios: ADIÇÃO Schivani

10 Operações com polinômios: SUBTRAÇÃO Schivani

11 Operações com polinômios: MULTIPLICAÇÃO Schivani

12 DIVISÃO

13 DIVISÃO A (x) = B (x) ∙ Q (x) + R (x) B (x) Q (x) R (x) A (x) Schivani

14 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Método da chave 21 2 - 42 489 6 9 3 - 63 6 489 = 4 ∙ 10² + 8 ∙ 10 1 + 9 ∙ 10 0 21 = 2 ∙ 10 1 + 1 ∙ 10 0 Schivani

15 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Método da chave 4 ∙ 10² + 8 ∙ 10 1 + 9 ∙ 10 0 2 ∙ 10 1 + 1 ∙ 10 0 2 ∙ 10 1 4 ∙ 10 2 + 2 ∙ 10 1 - 6 ∙ 10 1 + 9 ∙ 10 0 + 3 ∙ 10 0 6 ∙ 10 1 + 3 ∙ 10 0 - 6 ∙ 10 0 Grau menor do que o do divisor, portanto, Resto < Divisor. 23 6 Schivani

16 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Método da chave 4x² + 8x + 9 2x + 1 2x2x2x2x 4x² + 2x - 6 x + 9 + 3 6 x + 3 - 6 Schivani

17 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Método da chave 8x 4 – 6x² + 3x – 2 2x² – 3x + 2 4x² 8x 4 – 12x³ + 8x² - 12x³ – 14x² + 3x – 2 + 6x 12x³ – 18x² + 12x - 4x² – 9x – 2 4x² – 9x – 2 + 2 4x² – 6x + 4 4x² – 6x + 4 - – 3x – 6 – 3x – 6 Schivani

18

19 Ao dividir um polinômio M(x) de grau m por um polinômio N (x) de grau de n: Qual será o grau do polinômio quociente Q (x)? Qual será o grau do polinômio resto R(x) ? Schivani

20 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Método da chave II 6x 4 – 2x³ + 8x² + x – 4 3x² – x + 1 ax² + bx + c dx + e A (x) = B (x) ∙ Q (x) + R (x) 6x 4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = (3x² – x + 1) ∙ (ax² + bx + c) + (dx + e) 6x 4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = 3ax 4 + 3bx 3 + 3cx² - ax³ - bx² - cx + ax² + bx + c + dx + e 6x 4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = 3ax 4 + (3b – a)x 3 + (3c – b + a)x² + (b – c + d)x + (c + e) Schivani

21 DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Método da chave II 6x 4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = 3ax 4 + (3b – a)x 3 + (3c – b + a)x² + (b – c + d)x + (c + e) 6x 4 = 3ax 4 – 2x³ = (3b – a)x 3 8x² = (3c – b + a)x² x = (b – c + d)x – 4 = (c + e) => a = 2 => b = 0 => c = 2 => d = 3 => e = - 6 Q(x) = 2x² + 0x + 2 R(x) = 3x - 6 Schivani

22 Divisão de polinômio por binômio 3x 4 – 2x³ + 2x² – x + 1 x – 2 ax 3 + bx² + cx + d e 3x 4 – 2x³ + 2x² – x + 1 = (x - 2) ∙ (ax 3 + bx² + cx + d) + e 3x 4 – 2x³ + 2x² – x + 1 = ax 4 + bx³ + cx² + dx – 2ax³ - 2bx² - 2cx – 2d + e 3x 4 – 2x³ + 2x² - x + 1 = ax 4 + (b – 2a)x 3 + (c – 2b)x² + (d – 2c)x + (e – 2d) Schivani

23 Divisão de polinômio por binômio 3x 4 – 2x³ + 2x² - x + 1 = ax 4 + (b – 2a)x 3 + (c – 2b)x² + (d – 2c)x + (e – 2d) 3 = a – 2 = – 2a 2 = c – 2b -1 = d – 2c 1 = e – 2d 1 = e – 2d => a = 3 => b = 2a - 2 = 4 => c = 2b + 2 = 10 => d = 2c – 1 = 19 => e = 2d + 1 = 39 Q(x) = 3x³ + 4x² + 10x + 19 R(x) = 39 Em P(x) ÷ (x + a) ou ÷ (x – a), o coeficiente dominante do Q(x) é sempre igual a do P(x). Os demais coeficientes são o produto de a (raiz do binômio) pelo coeficiente anterior, somado ao coeficiente semelhante de P(x). Schivani

24 Divisão de polinômio por binômio 3x 4 – 2x³ + 2x² - x + 1 = ax 4 + (b – 2a)x 3 + (c – 2b)x² + (d – 2c)x + (e – 2d) 3x 4 = ax 4 – 2x³ = (b – 2a)x 3 2x² = (c – 2b)x² -1x = (d – 2c)x 1 = (e – 2d) 1 = (e – 2d) Q(x) = 3x³ + 4x² + 19 R(x) = 39 => a = 3 => b = 2 ∙ a + (-2) => b = 2 ∙ 3 – 2 = 4 => c = 2 ∙ b + 2 => c = 2 ∙ 4 + 2 = 10 => d = 2 ∙ c + (-1) => d = 2 ∙ 10 – 1 = 19 => e = 2 ∙ d + 1 => e = 2 ∙ 19 + 1 = 39 Schivani

25 Charles Auguste Briot 1817 – 1882 Paolo Ruffini 1765 – 1822 Schivani

26 Dispositivo prático de Briot-Ruffini Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x 4 – 2x³ + 2x² – x + 1 23 - 2 21 Raiz de (x – 2) é 2, pois, x – 2 = 0 => x = 2 Raiz de (x – 2) é 2, pois, x – 2 = 0 => x = 2 Coeficientes de A(x) B(x) = x – 2 Schivani

27 Dispositivo prático de Briot-Ruffini Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x 4 – 2x³ + 2x² – x + 1 3 23 - 2 21 B(x) = x – 2 4 Schivani

28 Dispositivo prático de Briot-Ruffini Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x 4 – 2x³ + 2x² – x + 1 3 23 - 2 21 B(x) = x – 2 4 10 Schivani

29 Dispositivo prático de Briot-Ruffini Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x 4 – 2x³ + 2x² – x + 1 3 23 - 2 21 B(x) = x – 2 4 10 19 Schivani

30 Dispositivo prático de Briot-Ruffini Schivani LEMBRE-SE SEMPRE DE COLOCAR OS COEFICIENTES EM ORDEM DECRESCENTE E, QUANDO UM DELES NÃO TIVER, PREENCHER COM O NÚMERO ZERO.

31 Dispositivo prático de Briot-Ruffini Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x 4 – 2x³ + 2x² – x + 1 3 23 - 2 21 4 10 1939 B(x) = x – 2 Schivani

32 Ao dividirmos f(x) por g(x), com g(x) ≠ 0, a divisão será exata se r(x) = 0. Ex.: Ex.: Para quais valores de a e b o polinômio -2x³ + ax + b é divisível pelo polinômio –x² + 6x – 1? Resp.: a = 70 e b = - 12 Schivani

33 O resto da divisão de f(x) por x – a é f(a). Dem.: f(x) = (x – a) ∙ q(x) + r Para x = a, temos: f(a) = (a – a) ∙ q(a) + r f(a) = 0 ∙ q(a) + r f(a) = r x – a q (x) r f(x) Schivani

34 Qual o resto da divisão de f(x) = 4x³ + x² - 5x + 8 por g(x) = x – 2 ? 4x 3 + x² - 5x + 8 x - 2 4x² 4x 3 – 8x² - 9x² – 5x + 8 + 9x 9x³ – 18x - 13x + 8 13x + 8 + 13 13x – 26 13x – 26 - 34 34 f(2) = 4 ∙ (2) 3 + (2)² - 5 ∙ (2) + 8 = f(2) Schivani

35 f(x) é divisível por x – a se, e somente se, a for raiz de f(x). Schivani

36 f(x) é divisível por x – a se, e somente se, a for raiz de f(x). Schivani

37 Referências: SMOLE, Kátia; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. IEZZI, Gelson; [et al.]. Matemática: Ciência e Aplicações. Vol. 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. Schivani

38 Profª Juliana Schivani juliana.schivani@ifrn.edu.brdocente.ifrn.edu.br/julianaschivani