Profª Juliana Schivani

Apresentação em tema: "Profª Juliana Schivani"— Transcrição da apresentação:

1 Profª Juliana Schivani

2 Monômios: Schivani Produto de uma constante não nula a por uma variável x elevada a um número natural n. 5x 1/2 9x -1 -5y³ √2 x7

3 Polinômios: Schivani É a junção de dois os mais monômios. Um polinômio P(x) é sempre da forma: P(x) = an ∙ xn + an-1 ∙ xn ao x4 – 2x 10x6 – 15x5 + 20x4 20x Escrevemos um polinômio com os coeficientes da variável na ordem decrescente

4 Polinômios idênticos:
Schivani A(x) = B(x) se, e somente se, os coeficientes das variáveis de mesmo expoentes, forem iguais, isto é, a3x3 = b3x3, ..., a1x1 = b1x1, ... Assim, 2x³ + 5x² + 10 somente será igual a (p + q)x³ + 2qx² + rx + 10 se: p + q = 2 2q = 5 r = 0

5 Polinômios nulos: Schivani
A(x) será nulo se, e somente se, os coeficientes das variáveis forem todos iguais a zero. Assim, (p + q)x³ + 2qx² + rx será nulo se: p + q = 0 2q = 0 r = 0

6 É o maior número expoente de x com coeficiente não nulo.
Grau de um polinômio: Schivani É o maior número expoente de x com coeficiente não nulo. x4 – 2x polinômio de grau 4 10x6 – 15x5 + 20x4 polinômio de grau 6 20x – 60000 polinômio de grau 1 -7 monômio de grau 0

7 Coeficiente dominante:
Schivani Seja o polinômio de grau n: an ∙ xn + an-1 ∙ xn ao com an ≠ 0 coeficiente dominante do polinômio

8 Operações com polinômios:
Schivani ADIÇÃO

9 Operações com polinômios:
Schivani SUBTRAÇÃO

10 Operações com polinômios:
Schivani MULTIPLICAÇÃO

11 DIVISÃO Schivani

12 DIVISÃO Schivani A (x) B (x) R (x) Q (x) A (x) = B (x) ∙ Q (x) + R (x)

13 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
Método da chave Schivani 21 489 - 42 2 3 6 9 - 63 6 489 = 4 ∙ 10² + 8 ∙ ∙ 100 21 = 2 ∙ ∙ 100

14 - - DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Método da chave 4 ∙ 10² + 8 ∙ 101 + 9 ∙ 100
Schivani 4 ∙ 10² + 8 ∙ ∙ 100 2 ∙ ∙ 100 - 4 ∙ ∙ 101 2 ∙ 101 + 3 ∙ 100 - 6 ∙ ∙ 100 23 6 ∙ ∙ 100 6 ∙ 100 Grau menor do que o do divisor, portanto, Resto < Divisor. 6

15 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
Método da chave Schivani 4x² + 8x + 9 2x + 1 - 2x + 3 4x² + 2x 6 x + 9 - 6 x + 3 6

16 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
Método da chave Schivani 8x4 – 6x² + 3x – 2 2x² – 3x + 2 - 8x4 – 12x³ + 8x² 4x² + 6x + 2 12x³ – 14x² + 3x – 2 - 12x³ – 18x² + 12x 4x² – 9x – 2 - 4x² – 6x + 4 – 3x – 6

17 Schivani

18 Ao dividir um polinômio M(x) de grau m por um polinômio N (x) de grau de n:
Schivani Qual será o grau do polinômio resto R(x) ? Qual será o grau do polinômio quociente Q (x)?

19 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
Método da chave II Schivani 6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 3x² – x + 1 dx + e ax² + bx + c A (x) = B (x) ∙ Q (x) + R (x) 6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = (3x² – x + 1) ∙ (ax² + bx + c) + (dx + e) 6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = 3ax4 + 3bx3 + 3cx² - ax³ - bx² - cx + ax² + bx + c + dx + e 6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = 3ax4 + (3b – a)x3 + (3c – b + a)x² + (b – c + d)x + (c + e)

20 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
Método da chave II Schivani 6x4 – 2x³ + 8x² + x – 4 = 3ax4 + (3b – a)x3 + (3c – b + a)x² + (b – c + d)x + (c + e) 6x4 = 3ax4 => a = 2 – 2x³ = (3b – a)x3 => b = 0 8x² = (3c – b + a)x² => c = 2 x = (b – c + d)x => d = 3 – 4 = (c + e) => e = - 6 Q(x) = 2x² + 0x + 2 R(x) = 3x - 6

21 Divisão de polinômio por binômio
Schivani 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 x – 2 e ax3 + bx² + cx + d 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 = (x - 2) ∙ (ax3 + bx² + cx + d) + e 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 = ax4 + bx³ + cx² + dx – 2ax³ - 2bx² - 2cx – 2d + e 3x4 – 2x³ + 2x² - x + 1 = ax4 + (b – 2a)x3 + (c – 2b)x² + (d – 2c)x + (e – 2d)

22 Divisão de polinômio por binômio
Schivani 3x4 – 2x³ + 2x² - x + 1 = ax4 + (b – 2a)x3 + (c – 2b)x² + (d – 2c)x + (e – 2d) Em P(x) ÷ (x + a) ou ÷ (x – a), o coeficiente dominante do Q(x) é sempre igual a do P(x). 3 = a => a = 3 – 2 = – 2a => b = 2a - 2 = 4 2 = c – 2b => c = 2b + 2 = 10 Os demais coeficientes são o produto de a (raiz do binômio) pelo coeficiente anterior, somado ao coeficiente semelhante de P(x). -1 = d – 2c => d = 2c – 1 = 19 1 = e – 2d => e = 2d + 1 = 39 Q(x) = 3x³ + 4x² + 10x + 19 R(x) = 39

23 Divisão de polinômio por binômio
Schivani 3x4 – 2x³ + 2x² - x + 1 = ax4 + (b – 2a)x3 + (c – 2b)x² + (d – 2c)x + (e – 2d) 3x4 = ax4 => a = 3 – 2x³ = (b – 2a)x3 => b = 2 ∙ a + (-2) => b = 2 ∙ 3 – 2 = 4 2x² = (c – 2b)x² => c = 2 ∙ b + 2 => c = 2 ∙ = 10 -1x = (d – 2c)x => d = 2 ∙ c + (-1) => d = 2 ∙ 10 – 1 = 19 1 = (e – 2d) => e = 2 ∙ d + 1 => e = 2 ∙ = 39 Q(x) = 3x³ + 4x² + 19 R(x) = 39

24 Paolo Ruffini 1765 – 1822 Schivani Charles Auguste Briot 1817 – 1882

25 Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Schivani Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 B(x) = x – 2 Coeficientes de A(x) Raiz de (x – 2) é 2, pois, x – 2 = 0 => x = 2 2 3 - 2 -1 1

26 Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Schivani Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 B(x) = x – 2 2 3 - 2 -1 1 3 4

27 Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Schivani Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 B(x) = x – 2 2 3 - 2 -1 1 4 10 3

28 Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Schivani Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 B(x) = x – 2 2 3 - 2 -1 1 4 10 19 3

29 Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Schivani LEMBRE-SE SEMPRE DE COLOCAR OS COEFICIENTES EM ORDEM DECRESCENTE E, QUANDO UM DELES NÃO TIVER, PREENCHER COM O NÚMERO ZERO.

30 Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Schivani Aplica-se apenas a divisão de polinômios por binômios do tipo (x + a) ou (x – a). Segue a mesma ideia do método da chave. A(x) = 3x4 – 2x³ + 2x² – x + 1 B(x) = x – 2 2 3 - 2 -1 1 19 39 3 4 10

31 Ao dividirmos f(x) por g(x), com g(x) ≠ 0, a divisão será exata se r(x) = 0.
Schivani Ex.: Para quais valores de a e b o polinômio x³ + ax + b é divisível pelo polinômio –x² + 6x – 1? R(x) = (a – 70)x + (b + 12) daí, a – 70 = 0 e b + 12 = 0, portanto, a = 70 e b = -12 Resp.: a = 70 e b = - 12

32 O resto da divisão de f(x) por x – a é f(a).
Schivani Dem.: f(x) = (x – a) ∙ q(x) + r Para x = a, temos: f(a) = (a – a) ∙ q(a) + r f(a) = 0 ∙ q(a) + r f(a) = r f(x) x – a R(x) será nulo ou terá grau 0 pois o dividendo (x – a) já é de grau 1. r q (x)

33 Qual o resto da divisão de f(x) = 4x³ + x² - 5x + 8 por g(x) = x – 2 ?
Schivani 4x3 + x² - 5x + 8 x - 2 - 4x3 – 8x² 4x² + 9x + 13 9x² – 5x + 8 - 9x³ – 18x 13x + 8 - 13x – 26 34 = 4 ∙ (2)3 + (2)² - 5 ∙ (2) + 8 = f(2)

34 f(x) é divisível por x – a se, e somente se, a for raiz de f(x).
Schivani Dem.: f é divisível por x – a, então, r = 0. Como r = f(a) e r = 0, então, f(a) = 0. Logo, a é raiz de f. a é raiz de f(x), então, f(a) = 0. Como r = f(a), então, r = 0, logo, f(x) é divisível por x – a.

35 f(x) é divisível por x – a se, e somente se, a for raiz de f(x).
Schivani Ex.: Determine m ∈𝑹, de modo que f(x)=−2 x 3 + x 2 +𝑚x+5 seja divisível por x −2. Resp.: m = 7/2 Para f ser divisivel por x – 2, e tem que ser raiz de f, logo, f(2) = 0, então faz, -2*2³ + 2² + m2 + 5 = 0 e acha m = 7/2

36 Referências: Schivani
SMOLE, Kátia; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 3. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. IEZZI, Gelson; [et al.] . Matemática: Ciência e Aplicações. Vol ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010.

37 Profª Juliana Schivani
docente.ifrn.edu.br/julianaschivani