Cálculo do clique maximal de um grafo

Apresentação em tema: "Cálculo do clique maximal de um grafo"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo do clique maximal de um grafo
Projecto de CP 2009/10 Cálculo do clique maximal de um grafo

2 Descrição do Problema

3 Um grafo é um par G=(N,A): N é um conjunto de nós;
A é um conjunto de arestas. 2 3 1 4 6 5

4 Um clique num grafo G é um conjunto de nós que estão ligados entre si dois a dois. Um clique é maximal se não existir nenhum clique maior. 2 3 1 4 6 5

5 Um clique num grafo G é um conjunto de nós que estão ligados entre si dois a dois. Um clique é maximal se não existir nenhum clique maior. 2 3 1 4 6 5

6 Ideia geral: representar um conjunto de nós por uma sequência de 0s e 1s tal que se na posição i estiver um 1 então o nó i pertence a esse conjunto e se estiver um 0 não pertence. Exemplo: a sequência corresponde ao conjunto de nós {2, 3, 5}, que forma um clique. 2 1 6 3 4 5

7 Algoritmo para determinar um clique maximal
Gerar um conjunto contendo todas as possíveis sequências de 0s e 1s; Para cada aresta que não está presente no grafo, eliminar as sequências que tenham valor 1 nas duas posições correspondentes. Escolher a sequência com maior número de 1s.

8 No caso do exemplo, as arestas que não estão presentes no grafo são:
2 3 1 4 6 5

9 No caso do exemplo, as arestas que não estão presentes no grafo são:
2 3 1x1xxx x1xxx1 1 4 1xxx1x xxxx11 6 5

10 1. Gerar de todas as sequências possíveis:
110010 010011 100000 111111 011010 000100 100010 011111 000111 101100 011110 000000 001111 011000 011110 001011 011100

11 2. Eliminar arestas não presentes:
aresta (1,3): 1x1xxx aresta (2,5): x1xx1x aresta (1,5): 1xxx1x aresta (5,6): xxxx11 110010 010011 100000 111111 011010 000100 100010 011111 000111 101100 011110 000000 001111 011000 011110 001011 011100

12 3. Escolher a sequência com mais 1s:
100000 000100 011110 000000 {2,3,4,5} 011000 011100

13 Biocomputação

14 Ideia - representar uma sequência de 0s e 1s por uma sequência de nucleótidos com a seguinte estrutura: P1 V1 P2 V2 P3 V3 P4 V4 P5 V5 P6 V6 P7 Em que: Vi é uma sequência de nuclótidos representando o valor do nó i, para i=1,...,6; Pi é uma sequência de nucleótidos representando a posição do nó i, para i=1,...,6; P7 é usado apenas por razões técnicas.

15 Na experiência realizada por Ouyang et al:
cada Pi foi representado por uma sequência de nucleótidos; cada Vi foi representado por uma sequência de nucleótidos, no caso de Vi =0, e por uma sequência vazia no caso de Vi =1.

16 Exemplos A sequência representada por P P P P P P P7 terá comprimento 200.

17 Exemplos A sequência representada por P P P P P P P7 terá comprimento 140.

18 Para gerar as possíveis sequências de 0s e 1s parte-se de um conjunto de pequenas sequências de nucleótidos de forma a que, após algum tempo, se tenham formado sequências maiores, por recombinação. Exemplo: Considerem-se as sequências P1 V1 P2 P2 V2 P3

19 Assim: para cada nó ímpar Pi, consideram-se os segmentos iniciais, com Vi =0 e Vi =1: Pi Vi Pi+1 para cada nó par Pi, consideram-se os segmentos iniciais, com Vi =0 e Vi =1: de forma a garantir que as sequências são geradas com a estrutura desejada.

20 No caso do exemplo: P3 V3 P4 P5 V5 P6 P1 V1 P2 P6 V6 P7 P2 V2 P3 P4 V4 P5

21 Descrição do processo Passo 0: preparação Constituir uma solução com grandes quantidades de sequências de nucleótidos representando os segmentos iniciais. Passo 1: hibridação Deixa-se o mecanismo de hibridação actuar levando à constituição de muitas tranças representando conjuntos de nós do grafo.

22 Descrição do processo Passo 2: selecção de conjuntos de nós Eliminam-se as tranças que não representam conjuntos de nós, i.e. que não começam em P1 nem terminam em P7. Passo 3: Eliminação de conjuntos não desejados Para cada aresta que não esteja no grafo, duplica-se a solução em dois recipientes. Num, cortam-se as tranças que tenham 1 na posição do primeiro nó da aresta, no outro recipiente cortam-se as arestas que tenham 1 no outro nó da aresta. Voltam a juntar-se as duas soluções e repete-se o passo 2, eliminando todas as tranças que tenham sido cortadas.

23 Descrição do processo Passo 4: selecção do clique maximal O tamanho do clique maximal corresponde à sequência de menor comprimento.

24 Passo 2 em detalhe No caso da aresta (1,3) que não pertence ao grafo, pretendem-se eliminar todas as sequências da forma 1x1xxx 1x1xxx 0x0xxx 0x1xxx 1x0xxx 1x1xxx 0x0xxx 0x1xxx 1x0xxx 1x1xxx 0x0xxx 0x1xxx 1x0xxx eliminar vértice 1 1xxxxx eliminar vértice 3 xx1xxx 0x0xxx 0x1xxx 0x0xxx 0x1xxx 1x0xxx 1x1xxx 1x0xxx 1x1xxx 0x0xxx 0x1xxx 1x0xxx

25 Simulação

26 Descrição dos principais passos da simulação
Objectivo Desenvolver um programa que resolve o problema do clique máximo por simulação da experiência descrita. Representação (simplificada) dos dados Cada Pi é representado pelo número i; Cada Pi é representado pelo número -i; O valor Vi=0 é representado por 0; O valor Vi=1 não é representado.

27 Descrição dos principais passos da simulação
Passo 0: preparação Distribuir aleatoriamente no cubo [0,1]3 k cópias dos segmentos iniciais. Passo 1: hibridação Simulação sequencial abstracta do processo de hibridação repetindo µ vezes a concatenação de pares de segmentos compatíveis. Em cada momento, escolhe-se um segmento aleatoriamente e determina-se o segmento compatível mais próximo. Da concatenação surge um novo segmento na posição média dos dois segmentos originais.

28 Descrição dos principais passos da simulação
Passo 2: selecção de conjuntos de nós Eliminam-se os segmentos que não têm extremos 1 e N+1 (ou o seu complementar). Passo 3: Eliminação de conjuntos não desejados Para cada aresta que não esteja no grafo, duplica-se a solução em dois recipientes. Num, cortam-se as sequências que tenham valor 1 na posição correspondente ao primeiro nó da aresta, no outro recipiente cortam-se as arestas que tenham valor 1 na outra posição da aresta. Voltam a juntar-se as duas soluções e repete-se o passo 2, eliminando todas as tranças que tiverem sido cortadas.

29 Descrição dos principais passos da simulação
Passo 4: selecção do clique maximal Escolhe-se a sequência correspondente ao clique máximo, ou seja, a sequência com menor comprimento. No caso do exemplo apresentado, esta sequência terá comprimento 9, correspondente a um clique de tamanho 4. Passo 5: apresentação do resultado Deverá ser apresentada uma descrição do clique maximal encontrado, isto é, a lista dos nós que o compõem.

30 Bom Trabalho!