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Operações com Conjuntos
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Operações com Conjuntos
A partir de dois conjuntos conhecidos, A e B, podemos obter outros conjuntos, operando com os conjuntos dados. Definimos as operações a seguir: União; Interseção; Diferença;
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União dos Conjuntos A e B (A B)
É o conjunto dos elementos que pertencem ou a A, ou a B ou a ambos os conjuntos. A B = {x; x A ou x B} A B Podemos generaliza a operação união para três ou mais conjuntos.
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Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, vamos obter: a) A B. b) A B C. a) A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} b) A B C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} No caso de três ou mais conjuntos, podemos escrever A B C = (A B) C = A (B C).
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Interseção dos Conjuntos A e B (A B)
É o conjunto dos elementos que pertencem a A e B. A B = {x; x A e x B} A B Também a operação interseção pode ser generalizada para três ou mais conjuntos.
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Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 5}, B = {0, 2, 5, 7}, C = {4, 6, 7, 9} e D = {0, 1, 6}, vamos obter: a) A B. b) A C. c) A B D. a) A B = {0, 5} b) A C = Ø Logo, A e C são disjuntos c) A B D = {0}
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Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. A – B = {x; x A e x B} A B
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Diferença dos Conjuntos A e B (A – B e B – A )
É o conjunto dos elementos que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. B – A = {x; x B e x A} A B
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Exemplos Dados os conjuntos
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}, vamos obter: a) A – B. b) B – A. a) A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {2, 4, 6} = {1, 3, 5} b) B – A = {2, 4, 6} – {1, 2, 3, 4, 5} = {6} Em geral A – B ≠ B – A.
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Exemplos Se A = {x natural, menor que 10 / x é par} e
B = {x natural, menor que 10 / x é primo}. Determine A B, A B, A – B e B – A. A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {2, 3, 5, 7} A B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A B = {2} A B 3 A – B = {0, 4, 6, 8} 4 2 6 5 B – A = {3, 5, 7} 8 7
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Complemento de um Conjunto
No caso em que o conjunto B está contido no conjunto A (B ⊂ A), a diferença A – B pode ser chamada, também, complementar de B em relação a A (∁AB). A B A – B B ⊂ A ⇒ A – B = ∁AB O complementar de A em relação a um dado universo pode ser representado, simplesmente por A.
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Exemplos ∁YX = Y – X = ∁A = A = Dados os conjuntos
X = {1, 2, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 5}, X ⊂ Y. Obter ∁YX. ∁YX = Y – X = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 2, 4} = {3, 5} Se A = {x ℝ; x > 2}, A está contido no universo ℝ. Obter ∁A. ∁A = A = {x ℝ; x ≤ 2}
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Exemplos ∁A = U – A = ∁A B =
Se A = {a, b, c, d, e} e B = {d, e, f, g} estão contidos no universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, determinar o conjunto ∁A B. ∁A = U – A = {f, g, h} ∁A B = {f, g, h} {d, e, f, g} = {f, g}
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Número de elementos da união de conjuntos
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Número de elementos da união de conjuntos
Existe uma relação importante que envolve a quantidade de elementos dos seguintes conjuntos finitos: A, B, A B e A B. Observe: n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) n(A) = número de elementos do conjunto A n(B) = número de elementos do conjunto B n(A B) = número de elementos da interseção n(A B) = número de elementos da união
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Exemplos Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {4, 5, 6, 7, 8}, temos: 1
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A B = {4, 5, 6} Podemos comprovar que: n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B) 8 = – 3 A B 1 4 8 2 5 3 6 7
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Exemplos O conjunto A tem 8 elementos; o conjunto B, 13 elementos; o conjunto A B, 5 elementos. Determinar o número de elementos do conjunto A B. A B 8 – 5 = 3 5 13 – 5 = 8 (A – B) (B – A) A B n(A B) = = 16
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Exemplos Numa turma de 42 alunos, o professor perguntou: “Quem é torcedor do Grêmio?” 36 levantaram o braço. A seguir, perguntou: “Quem é nascido em Porto Alegre?” 28 levantaram o braço. Sabendo que nenhum aluno deixou de levantar o braço, vamos determinar quantos alunos são gremistas e Porto-alegrenses. G P 36 – x x 28 – x (G – P) (G – P) G P 36 – x + x + 28 – x = 42 ⇒ 64 – x = 42 ⇒ x = 22
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