GEOMETRIA DESCRITIVA A

Apresentação em tema: "GEOMETRIA DESCRITIVA A"— Transcrição da apresentação:

1 GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano Secções por Planos Não Projectantes © antónio de campos, 2010

2 GENERALIDADES - poliedros
Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre poliedros, existem várias possibilidades, entre elas, destacam-se as seguintes: 1 – Mudança de diedro de projecção, transformando o plano secante em plano projectante, para depois aplicar o processo de secção igual a planos projectantes; 2 – Determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos); 3 – Método misto, determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, e determinação das rectas de intersecção do plano secante com os planos que contém as faces do sólido.

3 Secção Plana de um Prisma por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se uma figura da secção produzida por um plano de rampa ρ num prisma quadrangular oblíquo, com as bases contidas em planos frontais. fα fα1 fα2 Neste caso, será utilizado o segundo método: determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos). Primeiro há que determinar qual as arestas a serem cortadas. Como a recta de intersecção do plano ρ com o plano da base com maior afastamento (o plano φ1) se situa no 2.º diedro, o plano secante não intersecta esta base. A seguir será determinada a recta de intersecção (recta i) do plano secante (o plano ρ) com o plano das base com menor afastamento, recorrendo a um plano auxiliar projectante (plano vertical α). I é o ponto de intersecção da recta i com o plano φ. A recta g é a recta de intersecção do plano ρ com o plano φ. Como a recta g é exterior à base com menor afastamento, o plano secante não corta a base com menor afastamento do sólido. Depois começa a determinação dos pontos da figura de secção. M é o ponto de intersecção da recta i com a aresta [AA’], sendo o ponto de intersecção da aresta com o plano secante, sendo um ponto da figura da secção. A seguir, serão determinados sucessivamente os pontos de intersecção das arestas laterais com o plano secante. (fρ ) F2 F1 g2 I2 ≡ I1 B2 B1 N2 N1 B’2 B’1 i2 A2 A1 M2 M1 A’2 A’1 D2 D1 P2 P1 D’2 D’1 C2 C1 H2 H1 O2 O1 C’2 C’1 x (hφ) ≡ g1 (hρ ) (hφ1) hα ≡ i1 hα1 hα2 hα3

4 Dois pontos A (2; 1; 0) e B (-3; 3; 0) são vértices de um hexaedro, situado no 1.º diedro e com uma face situada no Plano Horizontal de Projecção. É dado um plano oblíquo γ, ortogonal ao β2,4, que corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa. O traço horizontal do plano γ faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções do sólido resultante da secção produzida no hexaedro pelo plano γ. Considera a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projecção. y ≡ z Neste caso, será utilizado o segundo método: determinação dos pontos de intersecção de cada aresta com o plano secante, através da intersecção de uma recta com um plano não projectante (método geral da intersecção de rectas com planos). Primeiro há que determinar qual as arestas a serem cortadas. Como a recta de intersecção (hγ) do plano γ com o plano da base inferior, não intersecta a base inferior, o plano secante não intersecta esta base. A seguir será determinada a recta de intersecção (recta h) do plano secante (o plano γ) com o plano das base superior (plano ν). Esta recta h corta o quadrado da face superior do cubo nos pontos K e L, K e L são, assim, dois pontos da figura da secção. Depois continua com a determinação de outros pontos da figura de secção. A recta i é a recta de intersecção do plano que contém a face vertical que contém a aresta [AB] (o plano ABK) com o plano secante. I é o ponto de concorrência entre a recta AB e hγ. A recta i intersecta a aresta vertical que passa por A no ponto N, N é, assim, outro ponto da figura da secção. A seguir, serão determinados sucessivamente os pontos de intersecção das arestas laterais com o plano secante. i’2 i2 fγ ≡ hγ (fν) ≡ h2 D’2 L2 L1 A’2 C’2 K2 K1 B’2 F2 F1 M2 N2 I2 I1 B2 B1 x I’2 I’1 D2 D1 A2 A1 C2 C1 ≡ A’1 ≡ N1 ≡ B’1 i1 ≡ D’1 ≡ M1 h1 ≡ C’1 i’1

5 GENERALIDADES – cones e cilindros
Para resolver situações de secções produzidas por planos não projectantes sobre cones e cilindros, é necessário um processo muito complexo, quer em termos de raciocínio, quer em termos de traçados. As etapas desse processo são as seguintes: 1 – Identificar o tipo de figura de secção; 2 – Verificar se o plano secante corta as bases; 3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente; 4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção; 5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção; 6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base.

6 Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção. 1 - Identificar o tipo de figura de secção. Um plano auxiliar de topo θ1, paralelo ao plano θ e que contém o vértice. A recta r é a recta de intersecção entre o plano secante e o plano da base. A recta é exterior à base, sendo a figura de secção uma elipse. fα1 fα fθ1 fθ2 h2 V2 F2 F1 i2 2 – Verificar se o plano secante corta as bases. hα é a recta de intersecção do plano secante com o plano da base e é exterior à base, pelo que o plano secante não corta a base do cone. t’2 F’’2 F’’1 A2 A1 C2 C1 g’2 3 – Determinar os pontos em que o plano secante corta as linhas que intersectam o contorno aparente. O plano φ é um plano auxiliar, que contém as duas geratrizes do contorno aparente frontal. A recta i é a recta de intersecção do plano φ com o plano secante. A e B são os pontos de intersecção das geratrizes do contorno aparente frontal com o plano secante. g2 B2 B1 F’2 F’1 t2 D2 D1 O2 O1 x H2 H1 hθ2 4 – Determinar os pontos de maior e de menor cota da secção. Para tal, determinar os planos tangentes (θ1 e θ2) do cone que intersectam o plano secante, via rectas horizontais. A recta h é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas t e t’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. C é o ponto de maior cota e D de menor cota da secção. (hφ) ≡ i1 ≡ V1 g1 ≡ g’1 t’1 h1 t1 hα hθ1 hα1

7 Secção Plana de um Cone por Plano Secante Não Projectante
Pretende-se um sólido resultante da secção produzida por um plano oblíquo α num cone de revolução, situado no 1.º diedro e com base no Plano Horizontal de Projecção. 5 - Determinar os pontos de maior e de menor afastamento da secção. Para tal, determinar os planos tangentes (θ3 e θ4) do cone que intersectam o plano secante, via rectas frontais. A recta f é a recta de intersecção dos dois planos tangentes. As rectas s e s’ são as rectas de intersecção dos planos tangentes com o plano secante. E é o ponto de menor afastamento e F de maior afastamento da secção. fα1 ≡ f2 fα fθ1 fθ2 h2 V2 F2 F1 i2 s2 s’2 t’2 F’’2 F’’1 A2 A1 C2 C1 6 – Determinar mais dois pontos, através do método dos planos paralelos à base. O plano ν é o plano horizontal paralelo à base. A recta i’ é a recta de intersecção entre os planos ν e α. G e H são mais dois pontos. F2 F1 g’2 (fν) ≡ i’2 G2 G1 H2 H1 F’’’2 F’’’1 g2 g’’2 ≡ g’’’2 B2 B1 E2 E1 F’2 F’1 t2 D2 D1 hθ4 O2 O1 x H’’2 H’’1 H2 H1 H’’’2 H’’’1 H’2 H’1 g’’’1 s’1 hθ2 (hφ) ≡ i1 ≡ f1 ≡ V1 g1 ≡ g’1 t’1 g’’1 s1 h1 i’1 t1 hα hθ3 hθ1 hα1