Matemática no Cinema http://pixabay.com/pt/contagem-regressiva-cinema-filme-155439/

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1 Matemática no Cinema

2 Para começar... Você já assistiu ao filme “A Corrente do Bem”, de Mimi Leader? Vamos ver um trecho dele...

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4 Como mostra o trecho do filme, o professor propõe a seus alunos que criem algo para mudar o mundo. O garoto Trevor, apresenta sua criação: a “Corrente do Bem”, na qual ele ajudará três pessoas, que terão que fazer o bem a outras três. Cada uma dessas terá que se empenhar para ajudar mais três pessoas, e assim sucessivamente.

5 Então, teremos: Trevor

6 Para refletir Quando Trevor inicia sua campanha, ele ajudará três pessoas, que ajudarão outras três... Na primeira fase do objetivo de Trevor: - 3 pessoas serão ajudadas - Na segunda fase, 9 pessoas - Na terceira fase, 27 pessoas

7 Qual é o padrão que podemos observar
Qual é o padrão que podemos observar? Como é possível determinar a quantidade de pessoas em cada fase do projeto de Trevor?

8 Generalizando Número da fase Quantidade de pessoa 1 2 3 4 5 6 n

9 É possível perceber que a quantidade de pessoa que recebem ajuda, por fase, cresce muito?
A quantidade é sempre multiplicada por 3! Falamos que o crescimento é exponencial. Você já ouviu esse termo anteriormente?

10 Fonte: http://www. verdade. co

11 Matematicamente, o que é “crescer exponencialmente”?
Basta “crescer muito” para ser uma função exponencial?

12 Função Exponencial É toda função f(x) = ax, definida no conjunto dos números reais com resultados positivos (e diferentes de zero). Note que o x (variável) encontra-se no expoente. Daí o nome “Função exponencial”.

13 Vamos analisar alguns casos
- O que ocorre se a função for f(x) = 1x? x f(x) -2 -1 1 2

14 Nesse caso, todos os valores são iguais a 1, então, temos uma função constante.

15 Agora, o que ocorre se a função for f(x) = 0x?
-2 -1 1 2

16 E o que ocorre se a função for f(x) = (-3)x?
-2 -1 1/4 2

17 Podemos concluir que a base da função exponencial não pode ser negativa, 0 ou 1.
Vamos, então, analisar o comportamento das funções de acordo com as bases (menor ou maior que 1).

18 Base menor que 1 Vamos considerar a função f(x) = (1/2)x. Teremos: x f(x) -2 -1 1 2

19 Percebe-se que, enquanto os valores de x aumentam, os valores de f(x) diminuem (ou decrescem). Chamamos, então, de função decrescente e podemos construir o gráfico:

20 Base maior que 1 Vamos considerar a função f(x) = 2x. Teremos: x f(x) -2 -1 1 2

21 Percebe-se que, enquanto os valores de x aumentam, os valores de f(x) também aumentam (ou crescem). Chamamos, então, de função crescente e podemos construir o gráfico:

22 Resolvendo Problemas ...

23 Facebook lidera em tempo médio por internauta entre as Redes Sociais
Engraçado, curto e nunca suficiente o tempo sempre parece faltar, menos quando se é para estar conectado no Facebook. Pelo menos, é o que indica o estudo realizado pela comScore, divulgado pelo Wall Street Journal e com uma nota no Meio e Mensagem, que afirma que cada usuário fica até 405 minutos por mês no Facebook.

24 Apavorante, lógico ou qualquer que seja o adjetivo, o Facebook demonstra um crescimento no número de pessoas conectadas e também um crescimento no tempo gasto por cada um de seus usuários. O que faz ser a rede social de maior influência no Vale do Silício na atualidade e uma grande dor de cabeça para seus principais concorrentes.

25 Vamos analisar os dados
Supondo que ele tenha 20 amigos quando iniciou o seu facebook: 1 semana após ele possui 40 amigos 2 semanas após ele possui 80 amigos 3 semanas após ele possui 160 amigos

26 Supondo que ele tenha 20 amigos quando iniciou o seu facebook:
1 semana após ele possui 40 amigos 2 semanas após ele possui 80 amigos 3 semanas após ele possui 160 amigos

27 Ou seja, crescimento do número de amigos se dá de forma exponencial: n = 20.2t.

28 Se quiséssemos representar num gráfico cartesiano, o número de pessoas (n) conhecidas por este jovem através da internet, em função do tempo (t), em semana, teríamos:

29 (ENEM) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma.

30 Dos gráficos a seguir, o que representa o preço “m” pago em reais pela compra de “n” quilogramas desse produto é:

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32 Resolvendo Do enunciado, temos que m = 1,75n
Esboçando o gráfico de m em função de n vem: Alternativa E

33 (ENEM) A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. A cada intervalo de tempo correspondente a uma meia vida, a quantidade de fármaco existente no organismo no final do intervalo é igual a 50% da quantidade no início desse intervalo. O gráfico a seguir representa, de forma genérica, o que acontece com a quantidade de fármaco no organismo humano ao longo do tempo.

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35 A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora
A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13h30min será aproximadamente de: a) 10% b) 15% c) 25% d) 35% e) 50%

36 Resolvendo O intervalo de tempo de 1h corresponde a 1 meia-vida. Logo, às 13h30min o intervalo de tempo será de 1,5h correspondente a 1,5 meia vida. Observando o gráfico vemos que corresponde a 35%.

37 (ENEM) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais.

38 Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

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40 Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x= 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e Desse modo, considerando e0,3=1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre

41 490 e 510 milhões b) 550 e 620 milhões c) 780 e 800 milhões d) 810 e 860 milhões e) 870 e 910 milhões

42 Resolvendo A questão quer saber a população com 60 anos ou mais, em milhões (y) para o ano de 2030 (x=30). Substituindo o valor de x = 30, encontra-se:

43 Para finalizar O que seria possível fazer para que “A Corrente do Bem” fosse colocada em prática? Vamos imaginar um mundo melhor para todos?

44 “Você pode me dizer que eu sou um sonhador Mas eu não sou o único
Espero que um dia você junte-se a nós E o mundo será como um só” (Imagine – John Lennon)

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