Razão e Proporção Matemática Prof. Alisson Ferreira.

Apresentação em tema: "Razão e Proporção Matemática Prof. Alisson Ferreira."— Transcrição da apresentação:

1 Razão e Proporção Matemática Prof. Alisson Ferreira

2 Razão e Proporção

3 Razão e Proporção A palavra razão vem do latim ratio e significa “divisão”.

4 Razão e Proporção A palavra razão vem do latim ratio e significa “divisão”. a b A razão representa-se por uma fracção:

5 Razão e Proporção

6 Razão e Proporção Definição:
Dados dois números a e b, com b diferente de zero, a razão entre a e b representa-se por:

7 : Razão e Proporção a b a b Definição:
Dados dois números a e b, com b diferente de zero, a razão entre a e b representa-se por: a b : a b ou e lê-se razão de a para b.

8 Razão e Proporção a b : a b

9 Razão e Proporção a b Antecedente : a b Antecedente

10 Razão e Proporção a b Consequente : a b Consequente

11 Exemplo Uma orquestra é formada por 40 homens e 30 mulheres.
Qual a razão entre o número de homens e o número de mulheres? Qual a razão entre o número de mulheres e o número de homens? Numa razão é muito importante verificar a ordem pela qual estão referidas as duas grandezas

12 Grandezas directamente proporcionais
O Sr. Ramalho faz criação de galinhas. Observa a tabela. Nº de galinhas 24 36 48 60 Alimentação (€) Nota que… A relação número de galinhas/gastos com alimentação é igual em todos os quocientes. Nota que… Duas grandezas são directamente proporcionais quando é constante o quociente entre os valores correspondentes de ambas as grandezas. A esse quociente chamamos constante de proporcionalidade.

13 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção da primeira. Exemplo: Um carro percorre: * 80 km em 1 hora * 160 km em 2 horas * 240km em 3 horas Então, o tempo e a distância são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentam na mesma proporção

14 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. Exemplo: Um carro faz um percurso em: * 1 hora com velocidade de 90km/h * 2 horas com velocidade de 45km/h * 3 horas com velocidade de 30km/h Então, o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais, conforme mostrado no exemplo acima.

15 Razão e Proporção Definição:
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões.

16 Razão e Proporção a b c d Definição:
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. a b c d = lê-se “a está para b assim como c está para d”…

17 Razão e Proporção a b c d Definição:
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. a b c d = lê-se “a está para b assim como c está para d”… …onde a, b, c e d são os termos da proporção: a e d são extremos e b e c são os meios.

18 Razão e Proporção

19 Razão e Proporção a b c d = : a b c d =

20 Propriedade fundamental das proporções:
Razão e Proporção Propriedade fundamental das proporções: Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

21 Propriedade fundamental das proporções:
Razão e Proporção Propriedade fundamental das proporções: Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. a b c d = b c a d =

22 Propriedade fundamental das proporções:
Razão e Proporção Propriedade fundamental das proporções: Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. a b c d = Meio b c a d = Meio

23 Propriedade fundamental das proporções:
Razão e Proporção Propriedade fundamental das proporções: Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Extremo a b c d = b c a d = Extremo

24 Propriedade fundamental das proporções:
Razão e Proporção Propriedade fundamental das proporções: Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Extremo a b c d = Meio b c a d = Meio Extremo

25 Razão e Proporção Exemplos:

26 Razão e Proporção Exemplos:

27 Razão e Proporção Exemplos: É proporção

28 Razão e Proporção Exemplos: É proporção

29 Razão e Proporção Exemplos: É proporção Não é proporção

30 Regra de três simples A ideia de regra de três simples é comumente utilizada em diversas situações do cotidiano. Utiliza-se um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Vejamos quatro passos práticos utilizados numa regra de três simples:

31 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua grandeza; 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, o que veremos após o último passo; 3º) Montar a equação da seguinte maneira: se as grandezas forem diretamente proporcionais, multiplica-se os valores em forma de X; se as grandezas forem inversamente proporcionais, multiplica-se os valores em linha; 4º) Resolver a equação.

32 Exemplo 1 Uma torneira despeja 50 litros de água em 10 minutos. Quantos litros serão despejados por essa torneira em 30 minutos? As grandezas litros e minutos são diretamente proporcionais visto que, quanto mais tempo for utilizado, mais litros de água serão despejados. Logo, a equação descrita será obtida multiplicando-se os valores em X: 10.x = x = 1500 x = 150 Resposta: 150 litros

33 Exemplo 2 Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão? As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais visto que, quanto maior for a sua velocidade, menor será o tempo que ele conseguirá concluir o seu percurso. Logo, a equação descrita será obtida multiplicando-se os valores em linha: 16.x = x = 400 x = 25 Resposta: 25 minutos.

34 Regra de três composta Uma regra de três é classificada como composta quando apresentar três ou mais grandezas. Vejamos quatro passos utilizados numa regra de três composta:

35 Exemplo 1 Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias Vamos construir uma tabela, relacionando cada valor a sua respectiva grandeza, começando pela última linha e, em seguida, na linha acima. As grandezas número de pedreiros e horas/dia são inversamente proporcionais. As grandezas número de barracões e horas/ dia são diretamente proporcionais.  As grandezas tempo (dias) e horas/dia são inversamente proporcionais.

36 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua respectiva grandeza. Começaremos colocando os valores na última linha da tabela e, em seguida, na linha acima. 2º) Isolar a grandeza cujo valor é desconhecido. As grandezas que não forem destacadas serão relacionadas, uma de cada vez, com a grandeza que foi destacada para determinar se estas duas são diretamente ou inversamente proporcionais. Caso seja diretamente proporcional, colocaremos um d sobre esta grandeza não destacada; caso contrário, sendo inversamente proporcional, colocaremos uma letra i sobre esta grandeza não destacada; 3º) Montar a equação da seguinte maneira: o valor desconhecido da grandeza destacada será igual ao valor conhecido da grandeza destacada que multiplica as frações das grandezas não destacadas da seguinte maneira: se a grandeza tiver a letra d acima, é só repetir a fração e, caso contrário, tiver a letra i, inverte-se a fração. 4º) Resolver a equação.

37 Escalas

38 Escalas Chamamos escala de um desenho à razão entre as dimensões da figura e as dimensões reais. Escala = A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as correspondentes distâncias reais. Como sabes, para representar a superfície da Terra no seu todo ou em parte numa folha de papel temos de reduzir a realidade. Por exemplo, se quiseres representar Portugal Continental numa folha de papel A4 tens de reduzir a dimensão do país cerca de 1,9 milhões de vezes.

39 Escalas Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

40 Escalas No modelismo ferroviário existem diversas escalas, - ou, para os menos familiarizados com esta matéria, diversos "tamanhos - de representação dos objectos reais. Por exemplo, a escala 1:160, significa que um centímetro do desenho representa 160 centímetros da realidade. Desenho Realidade Nota que… Escala é uma razão entre as medidas de um desenho e as que lhes correspondem na realidade.

41 Escalas Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
Base menor barco azul / Base menor barco vermelho = 2/4 Base maior barco azul / Base maior barco vermelho = 4/8 Altura do barco azul / Altura do barco vermelho = 3/6

42 Escalas O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.