Ch. 6 Larson/Farber Estatística Aplicada Larson Farber 6 Intervalos de confiança.

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1 Ch. 6 Larson/Farber Estatística Aplicada Larson Farber 6 Intervalos de confiança

2 Ch. 6 Larson/Farber Intervalos de confiança para a média (amostras grandes) Seção 6.1

3 Ch. 6 Larson/Farber Estimativa pontual DEFINIÇÃO: Uma estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. A melhor estimativa pontual da média populacional é a média amostral.

4 Ch. 6 Larson/Farber Exemplo: estimativa pontual A média amostral é: A estimativa pontual para o preço de todos os bilhetes só de ida de Atlanta a Chicago é de US$ 101,77. A seguir, você verá uma amostra aleatória com 35 preços de passagens (em dólares) para um vôo só de ida de Atlanta a Chicago. Determine a estimativa pontual para a média populacional,  . 99 101 107 102 109 98 105 103 101 105 98 107 104 96 105 95 98 94 100 104 111 114 87 104 108 101 87 103 106 117 94 103 101 105 90 3.562 101,77

5 Ch. 6 Larson/Farber Uma estimativa intervalar é um intervalo (ou amplitude) de valores usado para estimar um parâmetro populacional. 101,77 Estimativa pontual ( ) 101,77 O nível de confiança, c, é a probabilidade de que a estimativa intervalar contenha o parâmetro populacional em questão. Estimativas intervalares

6 Ch. 6 Larson/Farber 0 z Distribuição amostral de Para c = 0,95 0,95 0,025 95% de todas as médias amostrais terão escores z entre z = –1,96 e z = 1,96. Distribuição de médias amostrais Quando o tamanho da amostra é de pelo menos 30, a distribuição amostral para é normal. –1,961,96

7 Ch. 6 Larson/Farber O erro máximo da estimativa, E, é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro que se está estimando, a dado nível de confiança, c. Quando n  30, o desvio padrão amostral, s, pode ser usado no lugar de. Usando z c = 1,96, s = 6,69 e n = 35, Você tem uma confiança de 95% de que o erro máximo seja de US$ 2,22. Erro máximo da estimativa Determine E, o erro máximo da estimativa, para o preço de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago, a um nível de confiança de 95%, dado que s = 6,69. 6,69 1,96

8 Ch. 6 Larson/Farber Definição: um intervalo de confiança c para a média populacional é: Intervalos de confiança para Você encontrou = 101,77 e E = 2,22. 101,77 () Extremo esquerdo 99,55 Extremo direito 103,99 Com 95% de confiança, você pode dizer que a média de preço para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago fica entre US$ 99,55 e US$ 103,99. Determine o intervalo de confiança de 95% para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. 101,77 – 2,22 = 99,55 101,77 + 2,22 = 103,99 99,55 103,99

9 Ch. 6 Larson/Farber Tamanho da amostra Dados um nível de confiança c e um erro máximo da estimativa E, o tamanho mínimo da amostra n necessário para se estimar, a média populacional, é: Você deverá incluir ao menos 43 bilhetes na sua amostra. Como já tem 35, você precisará de mais 8. Você quer estimar a média de preço para um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. Quantos bilhetes terão de ser incluídos em sua amostra se você quiser estar 95% seguro de que a média amostral está a no máximo US$2 da média populacional? 1,96 6,69 42,98

10 Ch. 6 Larson/Farber Intervalos de confiança para a média (amostras pequenas) Seção 6.2

11 Ch. 6 Larson/Farber 0 t n = 13 g.l. = 12 c = 90% 0,90 A distribuição t –1,7821,782 O valor crítico para t é de 1,782. 90% das médias amostrais (n = 13) estarão entre t = –1,782 e t = 1,782. 0,05 Distribuição amostral de Se a distribuição de uma variável aleatória x é normal e n < 30, a distribuição amostral de será uma distribuição t com n – 1 graus de liberdade.

12 Ch. 6 Larson/Farber O intervalo de confiança em amostras pequenas 2. O erro máximo da estimativa é 1. A estimativa pontual é = 4,3 libras. Erro máximo da estimativa: Em uma amostra aleatória de 13 adultos norte- americanos, a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4,3 libras por dia, com um desvio padrão de 0,3 libra. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo de confiança de 90% para. 1,782 0,148 0,3

13 Ch. 6 Larson/Farber 4,3 O intervalo de confiança em amostras pequenas 4,15 < < 4,45 ( Extremo esquerdo 4,152 ) Extremo direito 4,448 Com 90% de confiança, você pode dizer que a média de lixo reciclado por pessoa está entre 4,15 e 4,45 libras por dia. 2. O erro máximo da estimativa é: 1. A estimativa pontual é: = 4,3 libras 1,782 0,148 0,3 4,3 – 0,148 = 4,152 4,3 + 0,148 = 4,448

14 Ch. 6 Larson/Farber Intervalos de confiança para proporções populacionais Seção 6.3

15 Ch. 6 Larson/Farber Se e, a distribuição amostral para é normal. Intervalos de confiança para proporções populacionais é a estimativa pontual para a proporção de fracassos, onde A estimativa pontual para p, a proporção populacional de sucessos, é dada pela proporção de sucessos em uma amostra (Lido como p chapéu.)

16 Ch. 6 Larson/Farber Intervalos de confiança para proporções populacionais O erro máximo da estimativa, E, para um intervalo de confiança c é: Um intervalo de confiança c para uma proporção populacional, p, é:

17 Ch. 6 Larson/Farber 1. A estimativa pontual para p é: 2. Como 1.907(0,235)  5 e 1.907(0,765)  5, a distribuição amostral é normal. Intervalo de confiança para p Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool. 3. 1.907 0,235 0,765 2,575 (0,235)(0,765) 0,025 1.907

18 Ch. 6 Larson/Farber 0,21 < p < 0,26 ( Extremo esquerdo 0,21 0,235 ) Extremo direito 0,26 Com 99% de confiança, você pode dizer que a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool está entre 21% e 26%. Intervalo de confiança para p Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool. 0,235 – 0,025 = 0,21 0,235 + 0,025 = 0,26

19 Ch. 6 Larson/Farber Se você tem uma estimativa premilinar para p e q, o tamanho mínimo da amostra necessário para se estimar p, dados um intervalo de confiança c e o erro máximo da estimativa E, é: Tamanho mínimo da amostra Se você não tiver uma estimativa preliminar, use 0,5 para. e

20 Ch. 6 Larson/Farber Você precisará de uma amostra com pelo menos 4.415 acidentes. Como não há estimativas preliminares, use 0,5 para Exemplo: tamanho mínimo da amostra Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%.. e 2,575 (0,5)(0,5) 0,02 4.414,14

21 Ch. 6 Larson/Farber Com uma amostra preliminar você precisa de n = 2.981 para sua amostra. Exemplo: tamanho mínimo da amostra Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%. Use uma estimativa preliminar de p = 0,235. 2,575 0,02 (0,235)(0,765) 2.980,05

22 Ch. 6 Larson/Farber Intervalos de confiança para variância e desvio padrão Seção 6.4

23 Ch. 6 Larson/Farber A estimativa pontual para é s 2 e para é s. A distribuição qui-quadrado Se o tamanho da amostra é n, use uma distribuição qui- quadrado  2 com n – 1 g.l. para formar um intervalo de confiança c. A área à direita de  R 2 é (1 – 0,95)/2 = 0,025 e a área à direita de  L 2 é (1 + 0,95)/2 = 0,975  R 2 = 28,845  L 2 = 6,908 6,908 28,845 0,95 Se o tamanho da amostra é 17, há 16 g.l. Determine  R 2, ó valor crítico da cauda à direita, e  L 2, o valor crítico da cauda à esquerda, para c = 95% e n = 17.

24 Ch. 6 Larson/Farber Um intervalo de confiança c para uma variância populacional é: Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo. Você seleciona ao acaso os preços de 17 CD players. O desvio padrão amostral é de US$ 150. Construa um intervalo de confiança de 95% para e. Intervalos de confiança para 28,8456,908 12.480,5052.113,49 e

25 Ch. 6 Larson/Farber Intervalos de confiança para Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo. Determine a raiz quadrada de cada parte. Você pode dizer, com 95% de confiança, que está entre 12.480,50 e 52.113,49 e entre US$ 117,72 e US$ 228,28. 12.480,5052.113,49 US$ 117,72 US$ 228,28 e