Estimação Profa Ana Clara Guedes. Introdução O propósito de um estudo estatístico costuma ser a extração de conclusões acerca da natureza de uma população.

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1 Estimação Profa Ana Clara Guedes

2 Introdução O propósito de um estudo estatístico costuma ser a extração de conclusões acerca da natureza de uma população. Mas quando uma população é grande, e não pode ser estudada em sua totalidade, e as conclusões serão obtidas com base no estudo de um parte dessa população.

3 Vamos acompanhar um exemplo. Um reitor de uma universidade particular queria estimar o QI médio de seus estudantes sem precisar entrevistar e avaliar todos os 1200 alunos. Selecionou, então, aleatoriamente, 25 alunos e aplicou-lhes o teste adequado. A média da amostra foi 105. Como este valor provém de uma amostra, e não de toda a população, o reitor não tem certeza que este valor reflete efetivamente a população estudantil.

4 O valor 105 é uma estimativa da média populacional. É também chamada estimativa pontual, porque apresenta um único valor para a média . Existem, no entanto, muitas circunstâncias nas quais o interesse em um estudo está em determinar um possível “intervalo” de valores, a partir do qual se afirma, com determinada probabilidae, que o verdadeiro valor populacional se encontra neste intervalo. Neste caso, a estimativa é chamada estimativa intervalar, ou estimativa por intervalo de confiança.

5 Lembrando os símbolos  : média populacional  : desvio padrão populacional : média amostral s: desvio padrão amostral

6 Lembrando dos conceitos trabalhados no capítulo Distribuição Normal, temos que 68% dos casos estão a -1 desvio padrão e +1 desvio padrão a partir da média. Aqui também encontramos esta propriedade, porém o desvio padrão é calculado da seguinte forma: Onde  é o desvio padrão da variável (neste caso é igual a 15) e n é o numero de elementos da amostra.

7 Desta forma: Assim, a partir da média, que é 105, somando e diminuindo 1 desvio padrão temos o seguinte intervalo: (102; 108) e assim dizemos que, com 68% de probabilidade, a média populacional (a verdadeira média) é um número entre 102 e 108.

8 Assim, o reitor pode concluir que, com 68% de confiança, o QI médio de todos os alunos da universidade é 105, com variação de 3, para mais ou para menos. Observação: O valor 3 é chamado erro amostral O valor 68% é chamado nível de confiança

9 Na prática, queremos que a probabilidade do intervalo seja muito maior do que 68%. Como sabemos que a -2 desvios padrão e +2 desvios padrão da média estão 95,5% dos valores, encontramos o intervalo: ( 99; 111), que tem 95,5% de probabilidade de conter a verdadeira média populacional. Para valores diferentes de probabilidade usamos as probabilidades da distribuição Normal.

10 O intervalo com 99% de confiança é: (97,26 a 112,74). Observe que quanto mais aumenta o grau da confiança, maior é o intervalo, mas por outro lado, menor é a precisão. Mantendo constante o tamanho da amostra, o pesquisador deve escolher entre maior precisão ou maior confiança de que está certo. Observação: A precisão da estimativa é dada pelo erro.

11 Exercício 1 Para conhecer a porcentagem de donas de casa interessadas na aquisição de seu produto, um fabricante solicita uma pesquisa a um instituto especializado. O instituto elabora um formulário e o entrega a 1225 donas de casa. 77,1% delas (foram 944) manifestaram interesse na aquisição do produto. Sabendo que o erro amostral é de 5% de erro (com confiança de 99%): a) Construa o intervalo de confiança; b) Qual o erro máximo? c) A porcentagem de donas de casa interessadas na aquisição do produto pode ser igual a 70%? Justifique.

12 Exercício 1 a)Construa o intervalo de confiança; O intervalo de confiança é: Com 99% de probabilidade a porcentagem populacional de donas de casa interessadas na aquisição do produto está no intervalo (72,1%;82,1%). b) Qual o erro máximo? O erro é a maior distância entre o valor da amostra e o valor populacional. Neste caso: 5%

13 Exercício 1 c) A porcentagem de donas de casa interessadas na aquisição do produto pode ser igual a 70%? Justifique. Sim. Existe 1% de probabilidade de a porcentagem populacional não estar no intervalo encontrado.

14 Exercício 2 Uma amostra com 60 pacientes mostrou que a quantidade necessária de anestésico para que ele fizesse efeito foi, em média 50mg. Admitindo o desvio padrão populacional é igual a 10,2mg, encontre um intervalo de 95,5% de confiança para a média populacional.

15 Exercício 2  = 10,2 mg 50 – 2*(1,32) = 47,36 50 + 2*(1,32) = 52,64 Interpretação: Com 95,5% de probabilidade, a quantidade média populacional necessária de anestésico (em mg) está no intervalo: (47,36 ; 52,64)

16 Bibliografia DIAZ, Francisca Rius e LÓPEZ, Francisco Javier Barón. Bioestatística. São Paulo: Thomson Learning, 2007. LEVIN, Jack e FOX, James Alan. Estatística para ciências humanas. São Paulo: Prentice Hall, 2004. CALLEGARI-JACQUES, Sídia M, Bioestatística – princípios e aplicações. São Paulo: Artmed,2003.