Unidade 1: Analise Combinatória 1.1 Conjunto e operações sobre conjunto 1.2 Factorial 1.3 Princípio fundamental da contagem ( princípio multiplicativo)

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1 Unidade 1: Analise Combinatória 1.1 Conjunto e operações sobre conjunto 1.2 Factorial 1.3 Princípio fundamental da contagem ( princípio multiplicativo) 1.4 Permutações (arranjos) 1.5 Combinações 1.6 Teorema binomial 1.7 Experimento aleatório não - determinístico 1.8 Espaço Amostral 1.9 Eventos 1.10 Conceitos de probabilidade 1.11 Probabilidade condicionada e independência 10-02-20141

2 1.9 Eventos 1.9.1 Definir eventos de um espaço amostral 1.9.2 Conceituar ocorrências de um evento 1.9.3 Realizar operações entre eventos de mesma forma (combinação entre eventos e eventos mutuamente exclusivos)

3 Evento Dado um espaço amostral E, qualquer subconjunto A do espaço amostral é denominado evento. Alguém tem o palpite de que a carta sorteada será um As de Ouro. Essa condição define o subconjunto: A = {J de ouro}, em que o número de elementos do evento A é n(A) = 1. Agora, se o palpite de que a carta sorteada será um Ás qualquer. Essa condição define o subconjunto: A = {J de paus, J de espadas, J de copas, J de ouros}, em que o número de elementos do evento A é n(A) = 4.

4 Espaço equiprovável Um espaço é equiprovável se as chances de ocorrer qualquer evento unitário são iguais. Observamos a seguinte situação: No lançamento de um dado não-viciado e observação da face superior, temos as seguintes possibilidades: Como o dado não é viciado, consideramos essas possibilidades equiprováveis, ou seja, têm a mesma probabilidade de ocorrer. E deste modo, observamos que temos uma possibilidade favorável de que ocorra o evento desejado. Ex: O aparecimento do número 5 na face superior do dado - num total de 6 possibilidades. Diremos então que a probabilidade de que o referido evento ocorra é 1/6.

5 5 Generalizando: se num fenômeno aleatório as possibilidades são equiprováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento E, que indicaremos por p(E), será dada por: P(E) = número de possibilidades favoráveis Número total de possibilidades Definição de probabilidade Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos. 1.Evento A: obter um 3. 2.Evento B: obter um 7. 3.Evento C: obter um número menor do que 5. 1/6 0/6=0 4/6

6 Exemplos): Definição de probabiliade (Exemplos): 1- 1- No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A? S = { ca, co } = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50% 2- 2- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A ? S={1,2,3,4,5,6 }= 6 A={2,4,6}=3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50% 3- 3- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em um evento A ? S={1,2,3,4,5,6}=6 A={1,2,3,4,5,6}=6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100% Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%. 4- 4-No lançamento de um dado qual a probabilidadede obter um número maior que 6 em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6 A = { } = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0% Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0%

7 Classificação dos eventos Eventos Complementares Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1 => q = 1 - p Obs: Numa distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades atribuídas a cada evento elementar é igual a 1 onde p1 + p2 + p3 +... + pn = 1.

8 Exemplo de Eventos Complementares Ex1. Probabilidade de se obter um número diferente de 4 no lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6} e A = {1,2,3,5,6}, então p = 5/6 = 0,833 ou 83,3 % Ex2. Probabilidade de se obter o número 4 como resultado de um lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6} e A = {4}, então p = 1/6 = 0,167 ou 16,7 % O evento do exemplo 1 é denominado de complementar do evento do exemplo 2. Ou seja, se p é a probabilidade de um evento ocorrer e q é a probabilidade de que ele não ocorra, então p + q = 1 => q = 1 - p 83,3 % + 16,7 % = 100

9 Exemplo de Eventos Complementares Situação 2: Um médico sabe que um procedimento cirúrgico apresenta 80% de resultados plenamente adequados. Qual a probabilidade de que a aplicação deste procedimento resulte em complicações? Evento q: sucesso Evento p: complicações (complementar de A) Portanto, a chance do procedimento resultar em complicações é 20%. p + q = 1 => P(A) = 1 – p(q) P(A) = 1 – 0,8=0.2

10 Classificação dos eventos (cont.) Eventos Independentes Dois eventos são independentes quando a realização de um não afecta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Portanto a probabilidade de que dois eventos independentes se realizem simultaneamente é definido por: p = pA x pB

11 Exemplo de Eventos independentes Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado ? Assim, sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula: P(1 n 2) = P(1 e 2) =P(1) x P(2) P1=P(4 dado1) = 1/6 P2 = P(3 dado2) = 1/6 P total = 1/6 x 1/6 = 1/36

12 Classificação dos eventos (cont.) Eventos Mutuamente Exclusivos Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2)

13 Exemplo de eventos Mutuamente Exclusivos Exemplo1: Exemplo1: No lançamento de um dado qual é a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ? Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Ex 2: Ex 2: A probabilidade de se obter 1 ou 5 em um lançamento de dado é:

14 Operação com eventos Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral A  B: União dos eventos A e B. Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B A  B: Intersecção dos eventos A e B. Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, A  B=  A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união o espaço amostral, isto é. A  B=  e A  B= . O complementar de um evento A é representado por

15 A  C = {2, 4, 6}  {1} = {1, 2, 4, 6} sair uma face par ou face 1 A  C = {2, 4, 6}  {1} =  sair uma face par e face 1 A  B: = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6} sair uma face par e maior que 3 A  B = {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6} sair uma face par ou maior que 3  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1} Exemplo : Lançamento de um dado A C = {1, 3, 5} não sair face par