, operações, intervalos e desigualdades.

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1 , operações, intervalos e desigualdades.
Aulas 03 e 04 - Conjuntos , operações, intervalos e desigualdades.

2 Definição de conjuntos
Trata-se de uma noção primitiva, sem definição própria, podendo o conjunto ser considerado qualquer coleção de objetos ou entidades. Os objetos que compõem a coleção são os elementos do conjunto. Os conjuntos normalmente são representados por letras maiúsculas enquanto seus elementos são representados por letras minúsculas.

3 Relação de pertinência
Para indicarmos que um objeto é elemento do conjunto , escrevemos (lê-se: pertence a ). Se o objeto não for elemento do conjunto , escrevemos (lê-se: não pertence a ).

4 Representação:1ª Enumeração
Quando escrevemos entre chaves, e separados por vírgula, os seus elementos formadores do conjunto. Exemplos: a) b) c)

5 Representação: 2ª Compreensão
Quando escrevemos, entre chaves, uma característica comum a todos os elementos formadores do conjunto. Exemplos: a) b)

6 Conjunto unitário É o conjunto que possui apenas um elemento. Exemplos: a) b)

7 Conjunto vazio É o conjunto que não possui elementos e denota-se ou . Exemplos: a) b)

8 Subconjuntos-Relação de inclusão
Se todo elemento de um conjunto também for um elemento de um conjunto , então dizemos que é um subconjunto de . Para indicarmos que é um subconjunto de , escrevemos: (lê-se está contido em ); (lê-se contém ); é parte de .

9 Observações importantes
Todo conjunto é subconjunto dele mesmo ( ). é subconjunto de qualquer conjunto ( ). O total de subconjuntos que podemos formar a partir de um conjunto com elementos é dado por , e denota-se por ( ).

10 Observações importantes
é subconjunto próprio de se, e somente se, e Denominamos o conjunto das partes de um conjunto o conjunto formado por todos os subconjuntos de . Exemplo: Seja Então:

11 Conjunto universo É um conjunto especificado que contém todos os elementos de interesse para um determinado problema.

12 Conjunto complementar
Se , então o complementar de com relação a , denotado por . Exemplo: Se e , então

13 Números Naturais Sua notação é . Quando não se considera o elemento zero, a notação utilizada é

14 Números Inteiros A notação utilizada para representar os números inteiros é . Quando o elemento zero não pertence ao conjunto, denotamos:

15 Outras notações (inteiros não negativos) (inteiros positivos) (inteiros não positivos) (inteiros negativos)

16 Alguns números racionais
2 -7 0,6 1,37 0,333... 1,

17 Exemplo

18 Números racionais São todos os números que podem ser escritos sob forma de fração de números inteiros. Têm representação decimal finita ou periódica.

19 Soma de frações

20 Soma de frações

21 Operações Sejam e duas frações quaisquer. A soma e o produto destas frações são obtidos da seguinte forma:

22 Números irracionais São os números cuja representação decimal não é exata nem periódica, consequentemente não pode ser escrita sob a forma de fração de inteiros. Exemplos: a) b) c)

23 Números reais , onde

24 Adição e multiplicação
A operação que a cada par de números associa sua soma denomina-se adição, e a que associa a o produto denomina-se multiplicação. Um número racional se diz positivo se ; Se e , então se diz estritamente positivo.

25 Propriedades Fechamento Se então e . Comutativa e Associativa
distributiva

26 Propriedades Elemento neutro da adição
Elemento neutro da multiplicação Existência do simétrico ou oposto Existência do inverso ou recíproco

27 Subtração e divisão Subtração onde é o simétrico de . Divisão
onde é o inverso de .

28 Ordenação dos reais a é positivo; é positivo;
No conjunto dos números reais, existe um subconjunto denominado números positivos, tal que: Se a for um número real, então exatamente uma das três afirmativas será verdadeira. ; a é positivo; é positivo;

29 Definições O número real a é negativo se, e somente se, for positivo.
O símbolo < significa é menor que. se, e somente se, for positivo. O símbolo > significa é maior que. O símbolo significa é menor ou igual a. se, e somente se, ou

30 Intervalos numéricos Existe uma correspondência biunívoca (um a um entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos pontos da reta numerada.

31 Algumas propriedades

32 Algumas propriedades

33 Intervalos São subconjuntos de , determinados por desigualdades.
Intervalo aberto de a a b denotado por é o conjunto de todos os números reais, tais que

34 Intervalos fechados Intervalo fechado de a a b denotado por é o conjunto de todos os números reais, tais que

35 Intervalos semi-abertos
Intervalo semi-aberto à esquerda de a a b denotado por é o conjunto de todos os números reais, tais que

36 Intervalos semi-abertos
Intervalo semi-aberto à direita de a a b denotado por é o conjunto de todos os números reais, tais que

37 Outros intervalos

38 Outros intervalos

39 União de intervalos Sejam e intervalos da reta. Definimos

40 Interseção de intervalos
Sejam e intervalos da reta. Definimos

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