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7 Resultados de Medições Indiretas
Metrologia e Controle Dimensional- MCD
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Motivação b ± u(b) Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? c ± u(c) A = b . c u(A) = ?
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Medições indiretas O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. Determinação da corrente elétrica multiplicando a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência.
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O Modelo Matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: A = l . h V = d / t
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Dependência estatística & correlação
Denomina-se variável aleatória uma função, ou variável, cujo valor não pode ser previsto exatamente, mas somente em termos de probabilidade. Exemplos: A soma do valor de dois dados lançados ao acaso; As indicações de medições repetidas de um mensurando invariável apresentam variações em função do efeito aleatório; A indicação de um SM também é uma variável aleatória.
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Dependência estatística & correlação
Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do Dólar.
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Dependência estatística
Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar. A temperatura da água do mar em duas praias próximas.
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Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando:
Há erros sistemáticos intencionalmente não compensados nas medições de ambas grandezas; Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada.
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Nas medições indiretas há boas chances de não haver correlação se:
Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição.
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Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC)
Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade Podem ser calculados analitica ou numericamente
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Exemplo: Caso Geral de MNC
Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:
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Medições Realizadas Para a massa: m = (1580 ± 22) g
nm = 14 (graus de liberdade) Para o diâmetro: D = (25,423 ± 0,006) mm nD = ∞ (graus de liberdade) Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm nh = 14 (graus de liberdade) h D
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Massa Específica h D
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Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas. A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(m) = U(m)/t14 = 22/2,20 = 10 g u(D) = U(D)/t = 0,006 /2,00 = 0,0030 mm u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm
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Cálculo da incerteza combinada
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Cálculo da incerteza combinada
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Cálculo da incerteza combinada
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Cálculo do número de graus de liberdade efetivos
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Valor da massa específica:
U() = 2,20 . u() U() = 2,20 . 0, = 0, g/mm3 = (0,04024 0,00056) g/mm3
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Caso Geral de MC Incerteza máxima possível
Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC) Caso Geral de MC Incerteza máxima possível = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analitica ou numericamente
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Exemplo: Caso Geral de MC
Na determinação do volume (V) de um cilindro usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um mesmo paquímetro. Foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:
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Medições Realizadas Para o diâmetro: D = (25,42 ± 0,10) mm
nD = 14 (graus de liberdade) Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm nh = 14 (graus de liberdade) h D
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Volume h D
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Considerando que as medições foram efetuadas com o mesmo sistema de medição (paquímetro), é muito provável que as medidas das duas grandezas sejam correlacionadas. A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(D) = U(D)/t14= 0,10/2,20 = 0,045 mm u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,20 = 0,050 mm
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Cálculo da incerteza combinada
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Cálculo do número de graus de liberdade efetivos
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Valor do Volume: U(Vol) = 2,0 . u(Vol)
U(Vol) = 2,0 .245,04 = 490,08 m3 Vol = (39250 490) mm3
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Dependência Estatística Parcial
Grandezas de entrada não podem ser realisticamente modeladas como sendo perfeitamente dependentes e nem independentes do ponto de vista estatístico; A forma de quantificar a dependência estatística linear parcial é através do coeficiente de correlação linear entre cada par de grandezas de entrada envolvidas; Haverá dependência parcial se o coeficiente de correlação for um número não inteiro.
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Caso Geral = coeficiente de sensibilidade
Pode ser calculado analitica ou numericamente
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Estimativa do Coeficiente de Correlação a partir de n pares de valores
sendo r(X, Y) estimativa do coeficiente de correlação para X e Y xi e yi i-ésimo par de valores das variáveis X e Y valores médios das variáveis X e Y n número total de pares de valores das variáveis X e Y
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