Profa. Andréia Adami adami@cepea.org.br Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Universidade de São Paulo LCE0211 – Estatística Geral Profa.

Profa. Andréia Adami adami@cepea.org.br
Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Universidade de São Paulo LCE0211 – Estatística Geral Profa. Andréia Adami

Técnicas de Amostragem
Alguns conceitos e exemplos. Por que amostragem? Quando amostragem não é interessante? Plano de amostragem. Amostragens aleatórias e não aleatórias. Tamanho de uma amostra.

POPULAÇÃO: é o conjunto de elementos para os quais desejamos que as conclusões do estudo sejam válidas (pessoas, famílias, animais, vasos, plantas, solos, entre outros); PARÂMETRO: é uma medida numérica e desconhecida que descreve uma característica de interesse na população.

Devido a dificuldade/impossibilidade de inspecionar toda a população (CENSO) os valores dos parâmetros são, em geral, desconhecidos. Um valor aproximado do parâmetro pode ser obtido por meio da AMOSTRA selecionada na população alvo e esse valor aproximado é chamado de ESTIMATIVA . AMOSTRA: parte dos elementos de uma população;

EXEMPLOS: POPULAÇÃO: Todas as plantas de milho de uma determinada cultivar; PARÂMETRO: Rendimento médio da cultivar, em kg/ha; AMOSTRA: os rendimentos de milho, em kg/ha, de uma amostra de 5 unidades experimentais (canteiros). POPULAÇÃO: Todos os coelhos da raça gigante; PARÂMETRO: Peso ao nascer, em gramas, dos coelhos da raça; AMOSTRA: Pesos ao nascer, em gramas, da ninhada de 10 fêmeas da raça gigante; POPULAÇÃO: Todos os Eucaliptos com 4 anos de idade; PARÂMETRO: Diâmetro à altura do peito de Eucaliptos com 4 anos de idade; AMOSTRA: Diâmetro à altura do peito de Eucaliptos com 4 anos de idade, em 2 parcelas de 2 linhas de 10m cada;

Por que Amostragem? Economia: levantamento de apenas uma parte da população; Tempo: Em uma pesquisa eleitoral, a três dias de uma eleição, não haveria tempo hábil para pesquisar toda uma população de eleitores; Confiabilidade dos dados: por se trabalhar com um número reduzido de dados é possível dar mais atenção aos casos específicos e evitar algumas fontes de erros; Operacionalidade: mais fácil trabalhar em uma pequena escala e realizar intervenções quando necessário.

Por que NÃO Amostragem? (Quando não é interessante) População pequena; Característica de fácil mensuração: talvez a população não seja tão pequena, mas a variável que se quer observar é de tão fácil mensuração que não compensa fazer um plano de amostragem; Necessidade de alta precisão: Número de habitantes residentes no Brasil – censo do IBGE a cada 10 anos;

Plano de Amostragem Objetivos?  População alvo? Parâmetros? Plano de Amostragem devem constar a definição de unidade de amostragem, a forma de seleção dos elementos da população e o tamanho da amostra. Devemos levar em conta duas questões importantes na retirada de uma amostra: Representatividade e Imparcialidade.

Unidade de amostragem: é a unidade a ser selecionada para se chegar aos elementos da população (propriedade agrícola  agricultores); Formas de seleção: amostragens aleatórias (amostragem aleatória simples, sistemática, estratificada, conglomerados) e amostragens não aleatórias (por cotas e por julgamento). Tamanho da amostra: existem estudos bastante aprofundados para determinação do tamanho amostral, ficaremos com uma formulação bastante genérica para determinação desse tamanho.

Exemplos: Desejamos desenvolver uma pesquisa socioeconômica, sobre os agricultores integrados à uma empresa, onde estamos interessados em diversos parâmetros relativos a atividade agropecuária. A população é constituída por todos os agricultores integrados à empresa. Podemos definir várias variáveis associadas a cada agricultor (propriedade agrícola). Essas variáveis serão observadas sobre uma amostra de 200 agricultores. Para selecionar os agricultores que participarão da amostra, sorteamos, com regras bem definidas, 200 fichas de um arquivo onde conste o cadastro desses agricultores integrados.

Exemplos: Numa pesquisa sobre propriedades químicas de uvas da cultivar Cabernet, com idade de aproximadamente 6 anos, nas seguintes condições (tratamentos): Tratamento 1: plantas sadias; Tratamento 2: plantas com infecção média da virose do enrolamento; Tratamento 3: plantas com infecção forte da virose do enrolamento, Podemos estar interessados no parâmetro teor médio de açúcar da cultivar, sob cada uma das três condições. População: Todas as plantas adultas da cultivar Cabernet na região considerada para cada um dos tratamentos. Amostra: 10 plantas de cada tratamento em um parreiral.

Amostragem Aleatória Simples (AAS) Para selecionar uma amostra aleatória simples precisamos, entre outras coisas: - conhecer (ou ter acesso) a todos os elementos da população; - todos os elementos da população tenha a mesma probabilidade ( 𝑛 𝑁 )* de pertencer à amostra. *n é o tamanho da amostra e N tamanho da população.

Amostragem Aleatória Simples (AAS) Com reposição Sem reposição Se a população for infinita (muito grande) então as retiradas com e sem reposição serão equivalentes, o fato de se recolocar o elemento retirado de volta na população não vai afetar em nada a probabilidade de extração do elemento seguinte. Se, no entanto, a população for finita (e pequena) será necessário fazer uma distinção entre os dois procedimentos, pois na extração com reposição as diversas retiradas serão independentes, mas no processo sem reposição haverá dependência entre as retiradas.

Amostragem Aleatória Simples (AAS) Sorteio com a tabela de números aleatórios: Estudar algumas características dos moradores nas propriedades agrícolas de uma determinada região. Vamos extrair uma amostra aleatória simples de tamanho n=5 da seguinte população.

Amostragem Aleatória Simples (AAS) População: N=32 propriedades agrícolas. 1. Paulo 9. Carlos 17. Joaquim 25. Maria José 2. Karina 10. Manuel 18. Carlos 26. Ângelo 3. Thais 11. Tales 19. José 27. Marcelo 4. Rafael 12. Marcia 20. Ângela 28. Laura 5. João 13. Maria 21. Antônio 29. Bartolomeu 6. Getúlio 14. Aparecida 22. Davi 30. Mauro 7. Paula 15. Leandro 23. Thiago 31. Marcos 8. Pedro 16. Silvio 24. Fabrício 32 Eduardo Tomar cinco números aleatórios do conjunto {01, 02, 03,..., 32} e o proprietário associado aos números selecionados formarão a amostra.

Amostragem Aleatória Simples (AAS) População: N=32 propriedades agrícolas. Tomar cinco números aleatórios do conjunto {01, 02, 03,..., 32} e o proprietário associado aos números selecionados formarão a amostra. Números: 21, 13, 08, 29 e 28

Amostragem Aleatória Simples (AAS) População: N=32 propriedades agrícolas. Amostra = {Antônio, Maria, Pedro, Bartolomeu e Laura} 1. Paulo 9. Carlos 17. Joaquim 25. Maria José 2. Karina 10. Manuel 18. Carlos 26. Ângelo 3. Thais 11. Tales 19. José 27. Marcelo 4. Rafael 12. Marcia 20. Ângela 28. Laura 5. João 13. Maria 21. Antônio 29. Bartolomeu 6. Getúlio 14. Aparecida 22. Davi 30. Mauro 7. Paula 15. Leandro 23. Thiago 31. Marcos 8. Pedro 16. Silvio 24. Fabrício 32 Eduardo Tomar cinco números aleatórios do conjunto {01, 02, 03,..., 32} e o proprietário associado aos números selecionados formarão a amostra. Números: 21, 13, 08, 29 e 28

Amostragem Aleatória Simples (AAS) Exemplo: Um pesquisador deseja comparar os teores médios de proteína de três cultivares de cevada. Para executar o experimento ele dispõe de uma área de terra homogênea (mesma fertilidade, mesma umidade, etc.) de tamanho 288 m². Portanto, as três cultivares serão comparadas em igualdade de condições. Um princípio básico da experimentação é o uso de repetições, ou seja, são necessários pelo menos dois valores para cada cultivar. Assim, a área total vai ser dividida em 12 canteiros de tamanhos 6m x 4m, totalizando 24m²/canteiro. O número de repetições (tamanho da amostra) por cultivar é 4.

Amostragem Aleatória Simples (AAS) Exemplo: 1º passo: Enumeração dos canteiros Canteiro 1 Canteiro 2 Canteiro 3 Canteiro 4 Canteiro 5 Canteiro 6 Canteiro 7 Canteiro 8 Canteiro 9 Canteiro 10 Canteiro 11 Canteiro 12

Amostragem Aleatória Simples (AAS) Exemplo: 2º passo: ler números na tabela de número aleatórios, com 2 algarismos (1 a 12), e desprezando-se os valores repetidos. Canteiro 1 Canteiro 2 Canteiro 3 Canteiro 4 Canteiro 5 Canteiro 6 Canteiro 7 Canteiro 8 Canteiro 9 Canteiro 10 Canteiro 11 Canteiro 12

Amostragem Aleatória Simples (AAS) Exemplo: 2º passo: iniciando na primeira coluna (tabela de números aleatórios) {03,05,01,08,07,02,12,10,11,04,09,06}. Canteiro 1 Canteiro 2 Canteiro 3 Canteiro 4 Canteiro 5 Canteiro 6 Canteiro 7 Canteiro 8 Canteiro 9 Canteiro 10 Canteiro 11 Canteiro 12

Amostragem Aleatória Simples (AAS) Exemplo: 2º passo: iniciando na primeira coluna (tabela de números aleatórios) {03,05,01,08,07,02,12,10,11,04,09,06}. Canteiro 1 Cultivar A Canteiro 2 Cultivar B Canteiro 3 Canteiro 4 Cultivar C Canteiro 5 Canteiro 6 Canteiro 7 Canteiro 8 Canteiro 9 Canteiro 10 Canteiro 11 Canteiro 12

Amostragem Aleatória Simples (AAS) Exercícios: Os elementos de uma certa população estão dispostos em uma lista, cuja numeração vai de a Como você usaria uma tabela de números aleatórios para obter uma amostra de 5 elementos? 2) A finalidade da pesquisa é o de determinar o número de insetos/quadrante. Sortear 8 quadrados de um total de 50 quadrados (10 m² cada).

Amostragem Sistemática (AS) Conveniente quando a população está ordenada segundo algum critério como fichas, lista telefônica, linhas de plantio. No inventário florestal, principalmente por razões de ordem prática, é usual utilizar métodos de seleção da amostra do tipo sistemático. Num método de seleção sistemático as árvores ou parcelas que fazem parte da amostra são selecionadas de acordo com um padrão ou regra previamente definido, em vez de sorteados com base num processo aleatório (AAS).

Amostragem Sistemática (AS) Na AS devemos considerar uma quantia denominada intervalo de seleção (IS) 𝑰𝑺= 𝑵 𝒏 ,em que: N é o tamanho da população e n é o tamanho da amostra.

Amostragem Sistemática (AS) Exemplo: Em uma empresa temos o cadastro de clientes (N) dos quais eu desejo sortear indivíduos (n) para uma pesquisa de opinião. 𝑰𝑺= 𝑵 𝒏 = 𝟓.𝟎𝟎𝟎 𝟏.𝟎𝟎𝟎 =𝟓 O primeiro elemento (cliente) que irá pertencer a amostra será sorteado dentre os 5 primeiros cadastros (valor informado pelo IS) e os demais serão obtidos sistematicamente na população da seguinte forma.

Amostragem Sistemática (AS) Exemplo: Em uma empresa temos o cadastro de clientes (N) dos quais eu desejo sortear indivíduos (n) para uma pesquisa de opinião. 1º elemento: 3º cadastro 2º elemento: 3º cadastro + IS 3º elemento: 3º cadastro + 2*IS 4º elemento: 3º cadastro + 3*IS 5º elemento: 3º cadastro + 4*IS ... 1.000º elemento: 3º cadastro + (n-1)*IS Amostra = {3º, 8º, 13º, 18º, 23º, ..., 4.998º}

Amostragem Sistemática (AS) - vantagens a. A sistematização proporciona uma boa estimativa da média e do total, devido à distribuição uniforme da amostra em toda população; b. Uma amostra sistemática é executada com maior rapidez e menor custo que uma aleatória c. O deslocamento entre as unidades é mais fácil pelo fato de seguir uma direção fixa e preestabelecida, resultando em tempo gasto menor e, por consequência, um menor custo de amostragem;

Amostragem Sistemática (AS) 5 fileiras com 11 plantas cada: N = 55plantas Selecionar de forma sistemática uma amostra de 11 plantas? IS = N/n = 55/11 = 5 Sortear de forma aleatória simples (AAS) com a tabela de números aleatórios a primeira planta que irá compor a amostra entre as 5 primeiras (IS=5) Saltos constantes de tamanho 5 para compor o restante da amostra.

Amostragem Sistemática (AS) 1º elemento: 3ª árvores 2º elemento: 8ª árvores 3º elemento: 13ª árvores 4º elemento: 18ª árvores 5º elemento: 23ª árvores ... 11º elemento: início

Amostragem Estratificada (AE) Consiste em dividir a população em subgrupos mais homogêneos e que denominaremos de estratos. Em cada um dos estratos formados selecionamos a amostra utilizando a amostragem aleatória simples.

Amostragem Estratificada (AE) População(N) Amostra (n) AAS Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 .... Estrato k subamostra 1 subamostra 2 subamostra 3 .... subamostra k AAS AAS AAS

Amostragem Estratificada (AE) Exemplo: Com o objetivo de estudar o estilo de liderança preferido pela comunidade de uma escola, realizou-se um levantamento por amostragem. A comunidade escolar é composta por 50 professores, 30 servidores técnicos administrativos e 300 alunos (N=380 indivíduos divididos claramente em 3 estratos). Como retirar uma amostra estratificada com tamanho equivalente a 10% do tamanho da população, ou seja, n=38.

Amostragem Estratificada (AE) População (N=380) Amostra (n=38) Professores (50) Servidores (30) Alunos (300) AAS subamostra 1 (n1= 5) subamostra 2 (n2= 3) subamostra 3 (n3= 30) AAS AAS F = n/N = 38/380 = 0,10 ou 10% em cada estrato

Amostragem Estratificada (AE) População (N=380) Amostra (n=44) Amostragem Estratificada Proporcional Professores (50/380)=0,13 Servidores (30/380)=0,08 Alunos (300/380)=0,79 AAS subamostra 1 (n1= 44*0,13) subamostra 2 (n2= 44*0,08) subamostra 3 (n3= 44*0,79) n1=5,72 (6) AAS n2=3,52 (3) AAS n3=34,76 (35)

Amostragem Estratificada (AE) População (N=380) Amostra (n=44) Amostragem Estratificada Uniforme (mesma quantidade de elementos em cada estrato: 44/3≈14,6) Cuidado! Representatividade Professores (50) Servidores (30) Alunos (300) AAS subamostra 1 (n1= 15) subamostra 2 (n2= 14) subamostra 3 (n3= 15) AAS AAS

Amostragem Estratificada (AE) Em uma empresa com cinco departamentos existem 150 funcionários, sendo: 18 no departamento A; 22 no departamento B; 25 no departamento C; 55 no departamento D e 30 no departamento E. Obtenha uma amostra de 15 funcionários, representativa de 10% da população, proporcionalmente a cada departamento. Uma população encontra-se dividida em 4 estratos, com tamanhos, respectivamente: N1 = 50; N2 = 70; N3 = 80 e N4 = 20. Sabendo-se que, ao ser realizada uma amostragem estratificada proporcional, 7 elementos da amostra foram retirados do segundo estrato, determine o número total de elementos da amostra e o número de elementos da amostra de cada estrato.

Amostragem de Conglomerados (AC) Estruturalmente chamamos de conglomerado a um agrupamento de elementos da população com características similares. Ex: Em uma população constituída por domicílios residenciais de uma cidade, os quarteirões formam conglomerados de domicílios. Em um 1º estágio selecionam-se os conglomerados (por AAS) e todos os elementos dos conglomerados são avaliados (amostragem de conglomerados em um estágio), ou, como é mais comum, faz-se uma nova seleção dentro de cada conglomerado selecionado no 1º estágio (amostragem de conglomerados em dois estágio).

Amostragem de Conglomerados (AC) Exemplo: Considere o problema de selecionar uma amostra de domicílios de uma cidade. Podemos tomar as ruas como conglomerados, como indicado no quadro a seguir, onde A1 representa o primeiro domicílio da rua A; A2 o segundo domicílio e assim por diante. Realizar uma amostragem de conglomerados em dois estágios (1º estágio: 3 ruas (por AAS); 2º estágio: 50% dos domicílios (por AAS) das ruas selecionadas no 1º estágio). Ruas Domicílios A A1 A2 A3 A4 A5 A6 B B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 C C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 D D1 D2 D3 D4 E E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8

Amostragem de Conglomerados (AC) Exemplo: 1º estágio: 3 ruas (por AAS Numeração das ruas: 1 – A; 2 – B; 3 – C; 4 – D; 5 – E; Tabela de números aleatórios (terceira linha): Amostra (ruas)= {B, E, A}

Amostragem de Conglomerados (AC) Exemplo: 2º estágio: 50% dos domicílios (por AAS) das ruas selecionadas no 1º estágio (rua A: 6 domicílios, rua B: 14 domicílios e rua E: 8 domicílios) Ruas Domicílios A A1 A2 A3 A4 A5 A6 (rua A: 3 domicílios) (rua B: 7 domicílios) B B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14 C C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 D D1 D2 D3 D4 E E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 (rua E: 4 domicílios)

Amostragem de Conglomerados (AC) Exemplo: 2º estágio: 50% dos domicílios (por AAS) das ruas selecionadas no 1º estágio (rua A: 6 domicílios, rua B: 14 domicílios e rua E: 8 domicílios) Tabela de números aleatórios (quinta linha): Amostra = {A1, A6, A4} Ruas Domicílios A A1 A2 A3 A4 A5 A6 (rua A: 3 domicílios)

Amostragem de Conglomerados (AC) Exemplo: 2º estágio: 50% dos domicílios (por AAS) das ruas selecionadas no 1º estágio (rua A: 6 domicílios, rua B: 14 domicílios e rua E: 8 domicílios) Tabela de números aleatórios (começando pela sexta linha): Amostra = {B1, B7, B10, B4, B11, B5, B2} Ruas Domicílios B B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14

Amostragem de Conglomerados (AC) Exemplo: 2º estágio: 50% dos domicílios (por AAS) das ruas selecionadas no 1º estágio (rua A: 6 domicílios, rua B: 14 domicílios e rua E: 8 domicílios) Tabela de números aleatórios (começando pela nona linha): Amostra = {E5, E3, E6, E4} Ruas Domicílios E E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 (rua E: 4 domicílios)

Tamanho de uma amostra A determinação do tamanho de amostra (n) é um dos aspectos mais controversos da técnica de amostragem, e envolve uma série de conceitos (probabilidade, inferência estatística e a própria teoria da amostragem). Veremos uma visão simplificada para obter o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples (AAS) que atenda aos seguintes requisitos: a confiabilidade dos resultados da amostra deve ser igual a aproximadamente 95%; não vamos nos preocupar com aspectos financeiros relacionados ao tamanho da amostra.

Tamanho de uma amostra O primeiro passo para calcular o tamanho da amostra é definir o erro amostral tolerável, que será chamado de 𝑒 0 . Este erro é o valor máximo que o pesquisador admite errar na estimativa do parâmetro. “O candidato Fulano está com 18% de intenção de voto com uma margem de erro de 2% para mais ou para menos“

Tamanho de uma amostra É razoável imaginar que quanto menor o erro amostral tolerável escolhido maior será o tamanho da amostra necessário para obtê-lo. Isso fica mais claro ao ver a fórmula para obtenção da primeira estimativa do tamanho de amostra ( 𝑛 0 ): 𝑛 0 = 1 𝑒 0 2 Se o tamanho da população, N, for conhecido podemos corrigir a primeira estimativa ( 𝑛 0 ): 𝑛= 𝑁∗ 𝑛 0 𝑁+ 𝑛 0

Tamanho de uma amostra Exemplo:Obter o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples, admitindo um erro amostral máximo de 4%, supondo que a população tenha: 200 elementos; elementos. A primeira estimativa do tamanho amostral ( 𝑛 0 ) não depende do tamanho populacional. Logo, o valor é válido para os dois itens. 𝑛 0 = 1 𝑒 0 2 = 1 0, =625 Nossa primeira estimativa, para um erro amostral tolerável de 4%, é retirar uma amostra de 625 elementos. Está coerente?

Tamanho de uma amostra Exemplo:Obter o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples, admitindo um erro amostral máximo de 4%, supondo que a população tenha: 200 elementos; 𝑛 0 =625 Para população com 200 elementos é impossível retirar uma amostra de tamanho 625. Corrigindo essa primeira estimativa, temos: 𝒏= 𝟐𝟎𝟎∗𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟎𝟎+𝟔𝟐𝟓 =𝟏𝟓𝟏,𝟓𝟏 ≈152 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (76% 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜)

Tamanho de uma amostra Exemplo:Obter o tamanho mínimo de uma amostra aleatória simples, admitindo um erro amostral máximo de 4%, supondo que a população tenha: b) elementos; 𝑛 0 =625 Corrigindo essa primeira estimativa, temos: 𝒏= 𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎∗𝟔𝟐𝟓 𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎+𝟔𝟐𝟓 =𝟔𝟐𝟑,05 ≈624 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (0,312% 𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜)

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