Professora Telma Castro Silva

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1 Professora Telma Castro Silva
CICLO TRIGONOMÉTRICO Professora Telma Castro Silva

2 Medidas de Arcos As unidades mais usadas são o grau (°) e o radiano (rad). Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, sendo cada uma dessas partes correspondentes a um arco de um grau (1o).

3 Comprimento do arco igual à medida do raio
Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém. Comprimento do arco igual à medida do raio r 1 rad • r • ≅ 0,28 rad 6,28 rad ou 2π rad Relembrando: o comprimento da circunferência mede 2πr onde r é o raio.

4 Transformação de graus para radianos
Exemplo: Quantos radianos correspondem a 540°? 540° x rad

5 Circunferência Trigonométrica - Preliminares
Consideremos uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. 1 • –1 1 • • • • –1

6 • 1 –1 ⊕ • A ⊖ O ponto A (1 , 0) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência. Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo (-). Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+).

7 • 1 –1 2° Q 1° Q • A 3° Q 4° Q Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A. Como a circunferência tem 360° ou 2π rad, cada um desses arcos medem 90° ou π/2 rad.

8 Se temos um arco de origem A e extremidade B, ele pode assumir infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (–). Sentido POSITIVO ou anti-horário Sentido NEGATIVO ou horário B π/2 rad –3π/2 rad • • A π rad 0 rad –π rad –2π rad • • • • • • 2π rad 0 rad A • • 3π/2 rad –π/2 rad B

9 Infinitos valores 5π/2 rad = 450° π/2 rad = 90° 3π rad = 540°
• 2π rad = 360° 5π/2 rad = 450° 3π rad = 540° 4π rad = 720° 7π/2 rad = 630° Infinitos valores

10 Exercícios ARCOS E ÂNGULOS

11 1. Expresse em graus: a) b) c) d) e)

12 Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração. 20 a) 45 1 b) clicar 2

13 Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração. 20 a) 45 1 b) 20 2 9 d) c) 1 1 60 e) 1

14 2. Determine, em radianos, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas. Solução: Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande). O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista um arco que mede 30°. Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a

15 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre? Solução: Em graus a medida percorrida pelo menor corresponde a 15°. Esse valor corresponde à metade da distância entre dois números consecutivos. O tempo para percorrer essa distância pelo menor é de meia hora. Enquanto isso o ponteiro maior dá meia volta completa, isto é, 180°. Logo, o ponteiro maior percorre π rad.

16 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre? Esta questão também pode ser resolvida através se uma regra-de-três simples: Ponteiro Pequeno Ponteiro Grande (π/6) rad 2π rad 2 (π/12) rad x rad Resposta: π rad

17 4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia
4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°. Ponteiro Pequeno Tempo 2 30° 60 min 42° x Passaram-se 84 minutos após o meio-dia, que corresponde a 1h 24min. Observe que este horário é vespertino, logo pode ser indicado como 13:24 h.

18 5. Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min? x α 09:00 h 09:30 h

19 Às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”.
Solução: Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na primeira figura. Às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”. Aplicando a regra-de-rês descobrimos quantos graus ele se afastou da direção do número 9 em 30 minutos. 09:30 h x α Ponteiro Pequeno 60 x = 900 ⇒ x = 15° Tempo α = 90° + x e x = 15° ⇒ α = 105° 30° 60 min x 30 min

20 6. Determine: a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central correspondente mede 20°. b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de 20cm. c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a um arco de 30cm.

21 a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central correspondente mede 20°. ⇒

22 b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de 20cm. ⇒

23 c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a um arco de 30cm. ⇒

24 7. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio
7. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio. Quantos metros ela percorre ao dar voltas? Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m? ⇒ ∴ 40 cm = 0,4 m C = 2π × 0,4 m C ≅ 2,5 m 1 volta = 2,5 m ⇒ 5000 voltas = 5000 × 2,5 m = m 1 volta = 2,5 m ⇒ x voltas = 2,5 x = m

25 8. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro
8. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 9.891km. Adote π = 3,14. d = 70 cm ∴ r = 35 cm 1 volta = C = 2π × 35 = 70π cm = 219,8 cm = 2,198 m Percurso = km = m x voltas = 2,198 . x 2,198 . x = ∴ x = voltas

26 9. Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos.
1300° b) 1440° c) 170° d) e) f) –1200° Solução: Encontra-se o número de voltas completas que é múltiplo de 360° ou de 2π. As menores determinações não negativas serão os arcos encontrados nos restos percorridos no sentido positivo. São chamadas 1ªs determinações.

27 Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°.
360°×3=1080° 1300° −1080° 220° 1300° 360° 1300°= 3 × 360° + 220° 2 2 3 voltas 3 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°. b) 1440° 360° 1440°= 4 × 360° + 0° 4 voltas 4 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°. c) 170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª determinação é o próprio 170°.

28 Vamos dividir o arco por 2π rad
Sabemos que: ou seja, 2 voltas mais ¾ de volta. ¾ de uma volta, em radianos, serão: 1 2

29 Vamos dividir o arco por 2π rad
e) Vamos dividir o arco por 2π rad Sabemos que: ou seja, 4 voltas mais 3/10 de volta. 3/10 de uma volta, em radianos, serão: 1 5

30 –120° é a 1ª determinação negativa de –1200°.
f) 360°× −3 =−1080° −1200° +1080° −120° –1200° 360° –1300°= –3 × 360° – 120° –1 2 –3 voltas 3 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida –120° é a 1ª determinação negativa de –1200°. Para encontrar a 1ª determinação positiva, devemos somar 360° a –120°. –120° + 360° = 240° Logo a 1ª determinação não negativa de –1200° é 240° (sentido positivo).

31 Visualização de determinações positiva e negativa:
90° • −𝟏𝟖𝟎°≡ 180° • • 0° +240° ≡ –120° • • 270° ≡−𝟗𝟎°

32 10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
1700° b) –700° c) d) e) Solução: A expressão geral será dada pela 1ª determinação dos ângulos adicionadas a múltiplos de 360° ou 2π, positivos ou negativos.

33 260° é a 1ª determinação positiva de 1700°.
360° 1700°= 4 × 360° + 260° 2 6 4 voltas 4 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida 260° é a 1ª determinação positiva de 1700°. Dizemos então que a EXRESSÃO GERAL dos arcos côngruos a 1700° é dada por: 𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎°𝒌 , 𝒌∈ ℤ

34 1700° 360° 4 6 2 voltas a) 𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎°𝒌 , 𝒌∈ ℤ Sendo k um número inteiro, ao escrevermos 360°k, queremos expressar um número qualquer de voltas completas em qualquer sentido – positivo ou negativo. Ao somarmos 260°, dizemos que, depois de voltar ao ponto de partida – não importando quantas voltas foram dadas antes – percorremos mais 260° e chegamos sempre ao mesmo ponto.

35 𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎°𝒌 , 𝒌∈ ℤ 𝑘=0 ⇓ 260° 90° • 180° • • 0° ≡ 360° • • 270° 260°

36 ⇓ 𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎°𝒌 , 𝒌∈ ℤ 𝑘=1 620° 90° • 180° • • 0° 1 volta ≡ 360° + 260° •
• 0° 1 volta ≡ 360° + 260° • • 270° 620°

37 ⇓ 𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎°𝒌 , 𝒌∈ ℤ 𝑘=2 980° 90° • 180° • • 0° 2 voltas 1 volta ≡ 360°
• 0° 1 volta 2 voltas ≡ 360° + 260° • • 270° 980°

38 ⇓ 𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎°𝒌 , 𝒌∈ ℤ 𝑘=−1 −100° 90° • 180° • • 0° –1 volta ≡ 360°
• 0° –1 volta ≡ 360° + 260° • • 270° –100°

39 Todos os arcos têm extremidade no mesmo ponto!
𝟐𝟔𝟎°+𝟑𝟔𝟎°𝒌 , 𝒌∈ ℤ 𝒌=𝟎 𝒌=𝟏 Todos os arcos têm extremidade no mesmo ponto! 𝒌=𝟐 𝒌=−𝟏

40 ⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20°
b) ⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20° Logo a expressão geral é c) Logo a expressão geral é

41 – 2 voltas significa duas voltas no sentido horário (negativo)
Logo a expressão geral é e) – 2 voltas significa duas voltas no sentido horário (negativo) A 1ª determinação positiva será Logo a expressão geral é

42 11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos.
( ) 740° e 1460° ( ) 400° e 940° ( ) Solução: Para que representem arcos côngruos, suas extremidades deverão ser as mesmas. Isto pode ser verificado comparando as primeiras determinações de cada par.

43 1º) ⊠ 2º) 3º) ⊠ 4º)

44 ⊠ ⊠ 11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos.
( ) 740° e 1460° ( ) 400° e 940° ( ) ⊠ ⊠

45 12. Os arcos da forma , , k ∈ ℤ , têm extremidades em que quadrantes?
Solução: Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se a regularidade dos quadrantes: Observa-se que, para valores ÍMPARES de k, a extremidade do arco pertence ao 2º quadrante e, para valores PARES, ao 1º quadrante. Logo, a resposta é 1º e 2º quadrantes.

46 Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-se de cosseno de α a abscissa do ponto M e seno de α a ordenada do ponto M. • M • sen α α A • • • cos α •

47 cos α • A α M sen α sen cos Sendo M o ponto de coordenadas (cos α, sen α), consideraremos o eixo horizontal como Eixo dos Cossenos e o eixo vertical como Eixo dos Senos.

48 sen 90° ou π/2 rad ( 0 , 1 ) • • 0° ou 0 rad r = 1 (–1 , 0 ) ( 1 , 0 ) cos • • • 180° ou π rad 360° ou 2π rad • ( 0 , –1 ) 270° ou 3π/2 rad

49 Ponto Arco Cosseno Seno ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) (–1 , 0 ) ( 0 , –1 ) Arco π/2 π 3π/2 2π Cosseno 1 –1 Seno 1 –1 Complete: 1 1

50 Exercício Converta de graus para radianos: a) 30° = _____ 180° π rad 30° x rad b) 45° = _____ c) 60° = _____

51 sen • 30° ou π/6 cos •

52 sen • 45° ou π/4 cos •

53 sen • 60° ou π/3 cos •

54 sen • 30° ou π/6 cos • 210° ou 7π/6 •

55 sen 150° ou 5π/6 • • 30° ou π/6 cos • 210° ou 7π/6 •

56 sen 150° ou 5π/6 • • 30° ou π/6 cos • 210° ou 7π/6 • • 330° ou 11π/6

57 π/2 π 3π/2 2π sen cos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/6 π – π/6 = 5π/6 π + π/6 = 7π/6 2π – π/6 = 11π/6 sen cos

58 Agora vamos fazer o mesmo para todos os arcos associados a π/4 e π /6
1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 sen cos π – π/4 = 3π/4 π + π/4 = 5π/4 2π – π/4 = 7π/4

59 sen • • cos • • • 180° – 45° = 135°ou π – π/4 = (3π /4) rad

60 sen • • cos • • •

61 sen (3π /4) rad (π/4) rad • • cos • • • (5π /4) rad (7π /4) rad

62 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 sen cos π – π/4 = 3π/4 π + π/4 = 5π/4 2π – π/4 = 7π/4 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 sen cos π – π/3 = 2π/3 π + π/3 = 4π/3 2π – π/3 = 5π/3

63 sen • • cos • • • 180° – 60° = 120°ou π – π/3 = (2π /3) rad

64 sen • • cos • • •

65 sen 120° 60° • • cos • • • 240° 300°

66 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 sen cos π – π/3 = 2π/3 π + π/3 = 4π/3 2π – π/3 = 5π/3

67 Tangente na Circunferência Trigonométrica
Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A. t • T B • M • A’ α A • • • • B’ O prolongamento do raio 0M intercepta a reta t no ponto T.

68 Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim:
• A α t T M A’ B’ B tg α Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim: Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, de medida α, chama-se tangente de α (tg α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio 0M com o eixo das tangentes.

69 • A α t T M A’ B’ B tg α OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, pois os prolongamentos dos raios 0B e 0B’, não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que não existe tangente de um arco com extremidade em B ou B’.

70 Tabela das principais razões trigonométricas
30º ou (π/6) rad 45º ou (π/4) rad 60º ou (π/3) rad sen cos tg 1

71 • sen cos 30° ou π/6 tg T

72 • sen cos 45° ou π/4 tg T 1

73 tg T • sen cos 60° ou π/3

74 Variação do sinal da tangente
Sabemos que no triângulo retângulo ABC, temos: b A B C α a c Vamos calcular o seguinte quociente:

75 ⊕ ⊕ ⊖ ⊕ ⊖ ⊖ ⊖ ⊕ ⊖ ⊕ ⊕ ⊖ sen cos tg Lembre-se que
⊕/⊕ = ⊕, ⊖/⊖ = ⊕, ⊕/⊖ = ⊖/⊕ = ⊖ ⊖ ⊕ ⊕ ⊖

76 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/6 π – π/6 = 5π/6 π + π/6 = 7π/6 2π – π/6 = 11π/6 sen cos tg

77 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 sen cos π – π/4 = 3π/4 π + π/4 = 5π/4 2π – π/4 = 7π/4 tg 1 –1 1 –1

78 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 sen cos π – π/3 = 2π/3 π + π/3 = 4π/3 2π – π/3 = 5π/3 tg

79 Agora, muita atenção! π/2 π 3π/2 2π sen cos tg ∞ ∞
π/2 π 3π/2 2π sen cos tg ∞ ∞ A divisão por zero não é definida em Matemática, mas podemos considerar aqui que os prolongamentos dos raios nos arcos π/2 e 3π/2 resultariam em paralelas ao eixo das tangentes e, como sabemos, define-se que retas paralelas se “encontram” no infinito.

80 Exemplos: sen tg T • 30° ou π/6 cos • 330° ou 11π/6 • T’

81 sen tg T • 1 45° ou π/4 cos • 135° ou 5π/4 •

82 tg T sen • • 120° ou 2π/3 60° ou π/3 • cos

83 Exercícios continuação

84 13. Determine os valores de:
b) Solução: Encontram-se os arcos côngruos, reduzindo ao 1° quadrante para determinações dos valores das funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo com os quadrantes.

85 a) b)

86 14. Determine os valores máximos e mínimos das expressões:
b) c) Solução: As funções seno e cosseno variam no intervalo [ – 1 , 1] onde (–1) é mínimo e (1) é máximo. No caso das funções estarem ao quadrado, o valor mínimo passa a ser (0), pois nenhum número ao quadrado pode ser negativo.

87 ATENÇÃO! a)

88 b) c)

89 15. Que valores de m satisfarão a ambas as condições:
Solução: Aplicando a relação fundamental relacionando senos e cossenos, temos: ou

90 16. Sendo x um arco do 2° quadrante e , determine:
a) cos x b) tg x Solução: No 2° quadrante o cosseno é negativo e a tangente também é negativa. Aplicando as relações fundamentais, temos:

91 a) b)

92 17. Relacione as colunas: Solução: Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o sinal da função.

93 a) 5240° 360° 164 1 4 200° sen 90° • cos 200° = –cos 20° –cos 20°
1 4 200° sen 90° • cos 200° = –cos 20° –cos 20° 20° 180° • • • 0° cos 20° cos 20° 200° • • 270°

94 b) 1200° 360° 120° 3 sen 60° = cos 30° sen 90° • 120° • 180° • • • 0°
120° • 60° 60° 180° • • • 0° cos • 270°

95 c) –210° + 360° = 150° sen 150° = sen 30° sen 90° • 150° • 180° • •
150° • 30° 30° 180° • • • 0° cos • 270°

96 d) tg sen 90° • 150° • 30° 30° 180° • • • 0° cos • 270°

97 d) sen 90° • 120° • 60° 60° 180° • • • 0° cos • 270°

98 d) sen cos 330° = cos 30° 90° • 180° • • • 0° cos • 330° • 270° 30°
180° • • • 0° cos 30° • 330° • 270°

99 d)

100 17. Relacione as colunas:

101 18. A expressão é igual a: sen 90° • 180° • • • 0° cos ≡ 360° • 300° •
180° • • • 0° cos ≡ 360° 60° • 300° • 270°

102 540° 360° 180° 1 tg sen 90° • 180° • • • 0° cos • 270°

103 –120° + 360° = 240° sen 90° • 60° 180° • • • 0° cos 60° 240° • • 270°

104 ⇒ ∴

105 ISERJ – 2011 Fontes: Trabalho da Professora Gertrudes, PUC-RS e