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PROPRIEDADES dos LIMITES de SUCESSÕES
Dada uma sucessão (un) com limite a (real), +, ou –, qualquer sucessão (vn) obtida de (un) alterando um número finito de termos tem o mesmo limite de (un) . Se (un) não tem limite, então (vn) não tem limite. Exercícios 11p192 e 12p192 (TPC) 11.2. porque (bn) pode ser obtida de (un) eliminando o 1.º termo.
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Propriedade 2 Dada uma sucessão (un) limitada e uma sucessão (vn) com limite nulo, tem-se: lim (un vn) = 0 Exercícios 13p193 (TPC) e 14p193 14.1. Portanto,
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Dado um número racional p e a sucessão de termo geral un = np, tem-se:
Propriedade 3: Limite de uma potência de n Dado um número racional p e a sucessão de termo geral un = np, tem-se: lim np = +, se p > 0 lim np = 0, se p < 0 Exercício 15p194 ímpares (pares TPC) 15.5. 15.7.
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lim (un + vn) = lim un + lim vn
Propriedade 4: Limite da soma Dadas duas sucessões (un) e (vn) convergentes, a sucessão (un + vn) é convergente, sendo: lim (un + vn) = lim un + lim vn Exercício 16p195 ímpares (pares TPC) 16.3.
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lim (un vn) = lim un lim vn
Propriedade 5: Limite do produto Dadas duas sucessões (un) e (vn) convergentes, a sucessão (un vn) é convergente, sendo: lim (un vn) = lim un lim vn Dada a sucessão (un) convergente e um número real k, a sucessão (kun ) é convergente, sendo: lim (kun ) = klim un Exercício 17p196 ímpares (pares TPC) 17.1.
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Propriedade 6: Limite do quociente
Dadas duas sucessões (un) e (vn) convergentes, com lim(vn) 0 e (vn) sem termos nulos, a sucessão é convergente, sendo: Exercício 18p197 ímpares (pares TPC) 18.1. c. a.
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Propriedade 7: Limite de uma potência (e de uma raiz)
Dada uma sucessão (un) convergente, e p um número racional, a sucessão (un)p é convergente, sempre que (un)p e (lim un)p têm significado, sendo: lim (un)p = (lim un)p Exercício 19p198 19.1.
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Propriedades (das operações com limites)
Sendo (an) e (bn) sucessões convergentes para a e b, respetivamente, e sempre que as expressões são válidas:
