Observe as seqüências numéricas:

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1 Observe as seqüências numéricas:

2 Essas seqüências foram construídas
de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante.

3 Observe a construção da primeira seqüência:
Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência: 2 Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o segundo termo: Para obter os demais termos, vamos adicionando algebricamente sempre o mesmo valor ao número anterior:

4 Seqüências desse tipo, nas quais cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante, são chamadas de Progressões Aritméticas. Essa constante, que indicaremos por r, é denominada razão da P.A.

5 Assim na progressão aritmética,
(2,4,6,8,...) temos r = 2 e a P.A. é dita crescente. (12,9,6,3,...) temos r = -3 e a P.A. é dita decrescente. (5,5,5,5,...) temos r = 0 e a P.A. é dita constante.

6 Termo Geral da Progressão Aritmética
Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo apenas o primeiro e a razão. Seja a1 o primeiro termo e r a razão da P.A. O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão: a2 = a1 + r O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão: a3 = a2 + r Como: a2 = a1 + r tem-se que : a3 = a1 + r + r logo, a3 = a1 + 2r

7 O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão:
a4 = a3 + r Como a3 = a1 + 2r temos que : a4 = a1 + 2r + r logo a4 = a1 + 3r Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma: an = a1 + (n – 1) . r onde “n” indica a qual termo estamos nos referindo.

8 Como queremos o décimo termo temos que n = 10.
Essa “fórmula” poderá ser usada sempre que quisermos encontrar an, a1, n ou r. Veja alguns exemplos: 1) Sendo a1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. Como queremos o décimo termo temos que n = 10. Substituindo na fórmula do termo geral teremos: a10 =3 + (10–1).(-2) a10 = (-2) a10 = a10 = - 15

9 2) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e
200 termo igual a 30. Aplicando na fórmula temos: 30 = a1 + (20–1).3 30 = a 30 = a1 + 57 a1 = - 27

10 3) Calcule a razão da P.A. sabendo que a1 = 5 e a14 = - 21.
Substituindo os valores na fórmula temos: - 21 = 5 + (14 – 1) . r - 21 = r - 21 – 5 = 13. r - 26 = 13 . r r = - 2

11 4) Calcule o número de termos da P.A. finita:
(50,47,44,......,14). Primeiro calculamos a razão: r = 47– 50 r = -3 Substituindo na fórmula: 14 = 50 + (n – 1).(-3) 14 – 50 = (n -1).(-3) -36 = (n – 1).(-3) n - 1 = -36 / (-3) 12 = n - 1 Logo, n = 13

12 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA
Observe a P.A. finita: Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

13 Consideremos a P.A. finita de razão r:
(a1,a2,a3,...,an-2,an-1,an) A soma dos seus termos pode ser escrita por: Portanto, Sn = (a1 + an) + ( a1 + an ) ( a1 + an)) n/2 parcelas iguais a (a1 + an)

14 Então: em que: * a1 é o primeiro termo; * an é o enésimo termo; * n é o número de termos; * Sn é a soma dos n termos.

15 Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma dos termos de uma P.A.
1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2,6,....). Nessa P.A. infinita, os 50 primeiros termos formam uma P.A. finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n= 50 Devemos calcular an ou seja a50: a50 = = = 198 Aplicando a fórmula da soma temos: Logo, S50 = 5000

16 2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos. A seqüência é (1,3,5,7,......) com r = 2. Calculando a20 temos: a20 = = Então, a20 = 39 Assim: Logo, S20 = 400

17 Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine:
a) o termo geral dessa PA; b) o seu 15° termo; c) a soma a10 + a 20. a) Para encontrar o termo geral da progressão aritmética, devemos, primeiramente, determinar a razão r: r = a2 – a1 r = 17 – 10 r = 7 A razão é 7, e o primeiro termo da progressão (a1) é 10. Através da fórmula do termo geral da PA, temos: an = a1 + (n – 1). r an = 10 + (n – 1). 7 Portanto, o termo geral da progressão é dado por an = 10 + (n – 1). 7.

18 b) Como já encontramos a fórmula do termo geral, vamos utilizá-la para encontrar o 15° termo. Tendo em vista que n = 15, temos então: an = 10 + (n – 1). 7 a15 = 10 + (15 – 1). 7 a15 = a15 = a15 = 108 O 15° termo da progressão é 108. c) Vamos utilizar a fórmula do termo geral para identificar os elementos a10 e a 20 da PA: an = 10 + (n – 1). 7 a10 = 10 + (10 – 1). 7 a10 = a10 = a10 = 73 an = 10 + (n – 1). 7 a20 = 10 + (20 – 1). 7 a20 = a20 = a20 = 143 A soma a10 + a 20 é dada por: a10 + a 20 = = 216

19 Tales, um aluno do Curso de Matemática, depois de terminar o semestre com êxito, resolveu viajar para a Europa. O portão de Brandeburgo, em Berlim, possui cinco entradas, cada uma com 11 metros de comprimento. Tales passou uma vez pela primeira porta, duas vezes pela segunda e assim sucessivamente, até passar cinco vezes pela quinta. Então ele percorreu ____ metros. a) 55 b) 66 c) 165 d) 275 e) 330

20 Quando Tales passou pela primeira entrada, ele percorreu 11 metros; ao passar pela segunda entrada duas vezes, ele percorreu ( ) 22 metros e dessa maneira Tales prosseguiu até que passou cinco vezes pela quinta entrada (11 . 5), percorrendo 55 metros. Podemos formar uma PA com essas informações, sendo que a1 = 11 e a5 = 55. Através da fórmula da soma dos termos de uma PA finita, podemos identificar quantos metros Tales andou: Sn = (a1 + an) . n        2 S5 = ( ) . 5        2 S5 =         2 S5 = 165 Portanto, Tales andou um total de 165 metros e a alternativa correta é a letra c.

21 Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio
Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é a) 21. b) 24. c) 26. d) 28. e) 31.

22 Para resolver essa questão, vamos identificar a progressão arimética que nos é dada no problema. Podemos considerar que cada coluna corresponde a um termo da sequência numérica, portanto, o primeiro termo é 1 (a1 = 1), o segundo é 2 (a2 = 2), o terceiro termo é 3 (a3 = 3) e assim sucessivamente até  o sétimo e último termo da sequência numérica (a7 = 7). Sabemos que a progressão possui sete elementos (n = 7) e temos conhecidos o primeiro e o último termo, logo, podemos usar a fórmula da soma dos elementos de uma PA: Sn = (a1 + an). n       S7 = (a1 + a7). 7       S7 = (1 + 7). 7       S7 = (1 + 7). 7       S7 = 8 . 7       S7 = 56        2 S7 = 28 Então há 28 cartas distribuídas nas fileiras. Como no baralho há 52 cartas, fazendo52 – 28 = 24, descobrimos que há 24 cartas no monte. A alternativa correta é a letra b. 

23 O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas passagens; em fevereiro, ; em março, Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) b) c) d) e)

24 Resolução: Se considerarmos as quantidades de passagens vendidas como elementos de uma sequência numérica, podemos escrevê-los como:  janeiro: a1 = fevereiro: a2 = março: a3 = Se fizermos a diferença entre os termos subsequentes, teremos a3 – a2 = 1.500, e a2 – a1 = Podemos então afirmar que essa é uma progressão arimética de razão 1500. Como consideramos que cada mês corresponde a um elemento da progressão aritmética e partindo da ideia de que janeiro corresponde ao primeiro elemento, podemos dizer que julho seria representado pelo termo a7. Sendo assim, podemos identificar o sétimo elemento da sequência numérica através da fórmula: an = a1 + (n - 1) . r a7 = (7 - 1) a7 = a7 = a7 = Portanto, foram vendidas passagens em julho. A alternativa correta é a letra d.