Teoria das filas.

Apresentação em tema: "Teoria das filas."— Transcrição da apresentação:

1 Teoria das filas

2 Teoria das filas Em duas horas????

3 ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS
Clientes Servidores Intervalo entre chegadas (continuo) Duração do serviço (continuo) POR QUE NÃO SIMULAR???? São fórmulas relevantes???

4 ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS
Clientes Servidores Intervalo entre chegadas Duração do serviço Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades....

5 ESSÊNCIA DE MODELOS DE FILAS
Clientes Servidores Intervalo entre chegadas Duração do serviço Sofisticações sobre o tema: fila limitada,desistência,prioridades.... Ignorâncias: heterogeneidade,sistemas de filas,...

6 O resultado mais aceito é simples
Teorema de Little: E[#clientes no sistema}= NE , Taxa média de chegadas=λ, Tempo médio gasto no sistema= T, Então qualquer que seja fila ergódica, temos NE = λT (e NqE =W) . .

7 Little´s theorem Nt =# médio em (0,t),
γ(t) = # acumulado de clientes-segundos até t, Nt= γ(t)/t α(t) = # chegadas em (0,t), Tt = tempo de sistema/cliente até t (=α-1 .γ ) λt = taxa média de chegada em (0,t) (=α-1/t) Ergodicidade → NE=λT

8 MODELÃO: Processos de nascimento e morte

9 MODELÃO: Processos de nascimento e morte Qual o vetor de estado???
Primeiro chute: # de clientes na fila/sistema por categoria Segundo:...em filas de diferentes servidores Terceiro: memória

10 Processos de nascimento e morte (pràticamente) sem memória
MODELÃO: Processos de nascimento e morte (pràticamente) sem memória São os ditos Markovianos (M)

11 MODELÃO: Processos de nascimento e morte
Mais fácil: população eterna ou nascimento puro Intuição tempo discreto: P(XT+1= k)=(1-p)P(XT= k) + p P(XT= k-1) para k>1 Note p independe de k e de T .... (se quiséssemos poderíamos ter pT pK pT,k ) O valor esperado não existe e as probabilidades não convergem para k→∞

12 Modelo de nascimento contínuo:
Nascimentos independentes (sem memória) P (exatamente 1 nascimento entre t e t+∆/população é k) = = λk ∆ +o(∆), onde o(.).... o(.) e diferenciabilidade Então: se Pk(t)=P[X(t)=k], temos (com P<0(.)=0) Pk(t+∆)=Pk(t) [1- (λk ∆) -o(∆)] + Pk-1(t)[ λk ∆ +o(∆)] Ou, para ∆→0, P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ]

13 Modelo M de nascimento contínuo:
Nascimentos independentes (sem memória) Poisson Taxa fixa de nascimentos P.k(t)= Pk(t) [-λ] + Pk-1(t)[ λ] (com P<0(.)=0) . Com Po(0) =1, temos Po(t) =e-λt, P1(t) =λt e-λt Pk(t) =(k!)-1 (λt)k e-λt (note que a cada instante as probabilidades somam 1)

14 Modelo M contínuo de morte :
Inverso de Poisson: Tempos exponenciais Intervalos entre chegadas são exponenciais se e só se O processo de chegada é Poisson. Se chegadas Poisson, P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt,

15 Exponencial é sem memória :
Tempos exponenciais P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt, Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas, Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)??

16 Exponencial é sem memória :
Tempos exponenciais P(tempo da 1ª chegada>t) = 1- P0Poisson(t)=1- e-λt, Sabendo que até o instante T não ocorreram chegadas, Qual a probabilidade da 1ª chegada ser em (T+t)?? P(t1≤T+t/t1>T)= [1-P(t1≤T)]-1 {P(t1≤T+t) - P(t1≤T)}= 1- e-λt !!!!!

17 M/M/1 é fácil Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ . Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ???

18 M/M/1 é fácil Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ . Quais as estatísticas do sistema e qual a relação entre saída e entrada ??? Fazer grafo de nascimento e morte com bolinhas que permitam ver que o sistema de equações diferenciais é: P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ] = Pk(t) [- (λk+ μk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk`+1(t)[ μk ] com λk=λ e μ= μk .

19 M/M/1 é fácil,mas não tanto
Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ . P.k(t)= Pk(t) [- (λk)] + Pk-1(t)[ λk ] + Pk(t) [- (μk)] + Pk+1(t)[ μk ] = - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t) com λk=λ e μ= μk . Transitório Regime (se existir, ergodicidade) P.k(t)= 0

20 M/M/1 em regime é fácil Uma fila é dita ser M/M/1 se as chegadas são Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ . P.k(t)= - (λ+ μ) Pk(t) +λ Pk-1(t) + + μPk+1(t) - (λ+ μ) pk +λ pk μpk+1 =0 Definido ρ=(λ/μ), e impondo ρ<1, pk=p0 ρk normalizando para soma de probabilidades =1, temos p0=1-ρ a/(1-a)=Σak.

21 M/M/1: impacto do congestionamento
E[T]=λ E[N] = (1/μ)/(1-ρ) Var(N)= ρ/(1-ρ)2

22 M/M/1 em regime é fácil Uma fila M/M/1 com chegadas Poisson de razão λ e os tempos de serviço exponenciais de média μ (μ<λ) tem muito pouco naturalmente saída Poisson de razão λ Redes de Jackson .

23 Complicando a M/M/1 M/M/1 com desencorajamento (λk cai com k/ pg 99)
M/M/∞ (μk=kμ) M/M/m (μk= (min{k,m})μ) M/M/1/K (λk=λ para k≤K, 0 caso contrário) M/M/m/m (só cabem m)- bonzinho para nós M/M/1//M :pop. Finita M (λk=[λ/(M-k)] para k≤M, 0 caso contrário) M/M/∞//M M/M/m/k/M

24 Servidores não homogêneos
Filas x controle estocástico: servidores não homogêneos: Filas: sob custos de expansão um mínimo de capacidade de serviço é necessária. Controle: já tendo dois servidores instalados, melhor política é a de risca no chão (limiar)

25 Políticas de atendimento
FCFS, LCFS até hipotética SCFS mudam os momentos de ordem maior que média mas não afetam “estabilidade” Redes de filas: até FCFS pode ser instável (estações virtuais) no caso não acíclico Surpresa: “kan-ban” é instável: regime não é transitório.

26 “Complicando” filas Markovianas
Quanto tempo entre a chegada de um “bundle” de k clientes em chegada individual Poison?? Telefonia Ou Quanto tempo para ser servido por k servidores de taxas kμ, correspondente a uma taxa média μ? Erlang de parâmetros R(taxa) e k(forma) pdf: fRk(t)= [(k-1)!]-1 R (Rt)k-1 e-Rt . com k=1 R=λ exponencial (λ e-λt) com k→∞ “tende” para Dirac, mas “média” também “explode” (exceto se mantiver (k/R)= média constante)

27 Ferramental + P(não vazio) (tempo de serviço)
Devido à presença de produtos de convolução (pdf de “soma de tempos”, transferencia em sistemas lineares..) transformadas de Laplace ou z . Saída de M/M/1: P(vazio). (tempo de chegada +serviço) + P(não vazio) (tempo de serviço)

28 Mas, cuidado: paradoxo do tempo de espera
Chegadas de ônibus no ponto dadas por exponencial média 60 min. Quanto tempo devo esperar por um onibus em média??? Primeira vista a falta de memória da exponencial diz 60 minutos Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveia esperar 30 minutos!!!

29 Mas, cuidado: paradoxo do tempo de espera
- Mas, se pensarmos que em média chegamos no meios de um intervalo entre chegadas, eu deveria esperar 30 minutos!!! Errado: supondo 2 choferes se alternando um com intervalos de 30 e 90 minutos (em média 60) Teremos ¾ de chance chegar chofer lento e ¼ de chance de chofer rápido, dando interarrival time de 75 minutos. Para exponencial tipico interval time é de 120 minutos, o que dá 0s 60 do memoryless