BCC101 Matemática Discreta I

Apresentação em tema: "BCC101 Matemática Discreta I"— Transcrição da apresentação:

1 BCC101 Matemática Discreta I
CS Applied Logic, University of Oklahoma BCC101 Matemática Discreta I Lógica de Predicados Dedução Natural Rex Page 1

2 Regras de Inferência ... mais as regras de inferência
p(y) {y arbitrária} ------{I} x. p(x) {y pode ser substituída por x em p} x. p(x) {universo não vazio} --{E} p(w) p(w) {w pode ser substituída por x em p} ------{I} x. p(x) x e y são variáveis w é um termo x. p(x) p(y) |– z {y não é livre em z} ------{E} z ... mais as regras de inferência do cálculo proposicional Esta regra provoca descarga de hipótese

3 Variáveis Arbitrárias
Em uma prova, uma variável é arbitrária se ela não ocorre livre em nenhuma hipótese não descartada Exemplos x. F(x) {E} F(p) descarregada p é arbitrária? P(x)  Q {EL} P(x) {I} P(x)  Q  P(x) {I} x. (P(x)  Q  P(x)) Sim G(p, q) {∃I} ∃y. G(p, y) x é arbitrária? p é arbitrária? Não Sim

4 Uma Prova fácil - para esquentar ... usando {I} e {E}
Teorema (comuta) x. y. F(x,y) |– y. x. F(x,y) prova faz papel de p(x) na regra {E} x.p(x) {…….} {E} p(w) x.y.F(x,y) { ok } {E} y.F(p,y) { ok } {E} F(p,q) { p arbitrária } {I} x. F(x,q) { q arbitrária } p(y) {y arb.} {I} x.p(x) {I} y. x. F(x,y)

5 Eliminação do Existencial semelhante a {E}
Teorema x. P(x), x. P(x)Q(x) |– x. Q(x) Prova x. P(x)Q(x) { ok } {E} P(y)Q(y) descarga  P(y) x. Q(x) {E} Q(y) {I} x. P(x) {E} x. Q(x) {y não é livre em x.Q(x)} x.Q(x) faz papel de A na regra {E} x. F(x) F(y) |– A {y não é livre em A} {E} A

6 Uma Prova Incorreta Teorema Ruim x. P(x), x. (P(x)Q(x)) |– x. Q(x)
P(y)Q(y) {E} Q(y) {E} x. P(x) P(y) Suposta prova y é livre nessa hipótese Problema é aqui F(y) {y arbitrária} {I} x. F(x) Portanto, {I} não é usada de maneira adequada.

7 Quantificador Universal move para fora mas não pode ser movido para dentro
Teorema x.y.F(x, y) |– y.x. F(x, y) y. F(x, y) { ok } {E} F(x, y) y. p(y) { …… } {E} p(w) { ok } {I} x. F(x, y) {I} y. x. F(x, y) {y arb} x.y.F(x, y) {E} y.x.F(x, y) p(w) {x é variável nova } {I} x. p(x) x. p(x) p(x) |– z {x não livre em z} {E} z p(y) {y arb} {I} x. p(x)

8 Prove os seguintes sequentes:
Exercícios Prove os seguintes sequentes: x.P(x)  x. Q(x) |– x. P(x)  Q(x) x.P(x)  Q(x), x.P(x) |– x. Q(x)