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BCC101 – Matemática Discreta
Lecture 11 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/1/2017 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova Direta e Prova por contrapositivo
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Demonstração de Teoremas – Ex1
Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 O que queremos provar é: ∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2 Para provar ∀a,b∈R. 0≤a<b ➝ a2<b2 devemos provar 0≤a<b ➝ a2<b2, para a e b números reais arbitrários Para provar 0≤a<b ➝ a2<b2, basta provar a2<b2, supondo 0≤a<b CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma
Receita de bolo Para demonstrar um teorema: Entenda o enunciado, identifique as hipóteses e a conclusão Expresse o teorema como uma fórmula da Lógica de Predicados Construa a prova passo a passo, usando as regras de Dedução Natural que vimos anteriormente. CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Demonstração de Teoremas
Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 Prova: Sejam a e b números reais arbitrários e suponha 0≤a<b. Então a2 = a . a < b . a {porque 0≤a<b} < b . b {porque 0≤a<b} = b2 c.q.d. CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Demonstração de Teoremas
Teorema: Sejam a,b∈R. Se 0 ≤ a < b então a2 < b2 OBS: Note que 0 ≤ 5 < 7 ➝ 52 < 72 é uma instância do teorema acima. Provar que uma, ou várias instâncias, são verdadeiras não significa ter provado o teorema! CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Demonstração de Teoremas
Teorema: Sejam x,y∈R tais que x>3 e y<2. Então x2 – 2y > 5. Quais são as hipóteses e a conclusão do teorema? Apresente algumas instâncias do terorema Construa uma prova para esse teorema. CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Demonstração de Teoremas
Conjectura: Sejam x,y∈R tais que x>3. Então x2 – 2y > 5. A conjectura é falsa ou verdadeira? Apresente um contra-exemplo que mostra que essa conjectura é falsa. x = 4, y = 6 pois então temos 42 – 2.6 = 2 < 5 CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma
Não se esqueça Para mostrar que uma conjectura é verdadeira (é um teorema) devemos construir uma prova da mesma. Para mostrar que uma conjectura é falsa, basta apresentar um contra-exemplo para a mesma. CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Estratégias de Prova - Direta
A partir do exemplo anterior, podemos deduzir nossa 1a. estratégia de prova de teoremas: Prova Direta: Para provar uma asserção da p ➝ q, suponha p e prove q [p] ⊢ q p → q CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Exercícios Prove que, para todo n∈N, se n é impar então 3n+9 é par. Prove que se a e b são números racionais, então a-b é racional Prove que se n é par então n2 é par CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Prova direta – mais um exemplo
Teorema: Sejam A,B e C conjuntos. Se A∩C ⊆ B e a∈A, então a ∉ A\B. Hipóteses: A∩C ⊆ B a∈A Conclusão: a ∉ A\B a ∉ A\B = ¬(a ∈A\B) = ¬(a ∈A ∧ a ∉ B) = ¬a ∈A ∨ ¬ a ∉ B = ¬a ∈A ∨ a ∈ B = a ∈A ➝ a ∈ B CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Prova direta – mais um exemplo
Trocamos a demonstração de a ∉ A\B por uma demonstração envolvendo a ∈A ➝ a ∈ B, que é mais simples. Agora é só usar uma das estratégias que envolvem o conectivo ➝ Como você concluiria a prova? CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Prova por contrapositivo
Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par. Queremos provar: ∀n∈Z. par(n2) ➝ par(n) Mais precisamente: ∀n∈Z.(∃k∈Z.n2=2k)➝(∃k∈Z.n=2k) Infelizmente, a estratégia de prova direta não nos ajuda neste caso… CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Estratégias de Prova - Contrapositivo
Prova por contrapositivo: Para provar uma asserção da p ➝ q, podemos provar a asserção equivalente ¬q ➝ ¬p, ou seja, supomos ¬q e provamos ¬p CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Prova por contrapositivo
Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par. Ao invés de provar par(n2) ➝ par(n) Vamos provar o contrapositivo ¬par(n) ➝ ¬par(n2), isto é, seja impar(n) ➝ impar(n2), ou seja: (∃k∈Z.n=2k+1)➝(∃k∈Z.n2=2k+1) CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Prova por contrapositivo
Teorema: Para todo n∈Z, se n2 é par, então n é par. Prova: Por contrapositivo. Seja n∈Z arbitrário e suponha n impar, isto é, n=2k+1, para algum k∈Z. Então n2 = (2k+1) (2k+1) = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2+2k) ou seja, n2 é impar Portanto, se n2 é par, então n é par CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Exercícios Sejam a,b,c ∈ R e a > b. Prove que, se ac ≤ bc, então c ≤ 0. Prove que, se x é um número irracional, então √x é um número irracional. CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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Mais estratégias de prova
Se a e b são números inteiros, então a2 – 4b ≠ 2. Quais são as hipóteses? Qual é a conclusão? Que estratégia podemos usar para provar o teorema? CS Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page
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