ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES

Apresentação em tema: "ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES"— Transcrição da apresentação:

1 ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES
Nice Maria Americano da Costa

2 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTE
USO DA DERIVADA PARA INSPECIONAR CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO Teorema 1. Se a função f(x), derivável no intervalo [a,b], é crescente neste intervalo, então sua derivada não será negativa neste intervalo; i. e. f´(x)>0. 2. Se a função f(x) é contínua no intervalo [a,b], derivável em (a,b) e se, além disso, f´(x)>0 para a<x<b, então f(x) é uma função crescente em [a,b], Demonstração Se f(x) é crescente, considerando um ponto x=x1, teremos, para x1+Dx, que, conforme pode ser visto na figura X1 X1+x f(X1) x+x f(X1+x) f(X1+x)

3 Entretanto, a relação Por conseqüência,
Isto quer dizer então, que as tangentes à curva f(x) formam ângulos maiores ou iguais azero X1

4 Para demonstrar a segunda parte do teorema, basta que apliquemos o teorema de Lagrange, num intervalo entre dois pontos x1 e x2. De acordo com ele teremos

5 Teorema 2. Se a função f(x), derivável no intervalo [a,b], é decrescente neste intervalo, então sua derivada não será positiva neste intervalo; i. e. f´(x)<0. 2. Se a função f(x) é contínua no intervalo [a,b], derivável em (a,b) e se, além disso, f´(x)<0 para a<x<b, então f(x) é uma função decrescente em [a,b], Demonstração Se f(x) é decrescente, considerando um ponto x=x1, teremos, para x1+Dx, que, conforme pode ser visto na figura f(X1+x) f(X1) f(X1+x) X1+x X1 x+x

6 Entretanto, a relação Por conseqüência, Isto quer dizer então, que as tangentes à curva f(x) formam ângulos maiores ou iguais azero

7 EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO: MÁXIMOS E MINIMOS
Definição 1 (Máximo). Diz-se que a função f(x) admite um máximo em um ponto x=x1, se o valor da função em x1, f(x1), é maior que aqueles valores da função em todos pontos de uma vizinhança de x1. Então, pela definição f(x1+Dx)< f(x1), seja, Dx positivo ou negativo. Em outras palavras, Df<0, sempre. Definição 2 (Mínimo). Diz-se que a função f(x) admite um mínimo em um ponto x=x1, se o valor da função em x1, f(x1), é menor que aqueles valores da função em todos pontos de uma vizinhança de x1. Então, pela definição f(x1+Dx)< f(x1), seja, Dx positivo ou negativo. Em outras palavras, Df>0, sempre. Não confundir máximo/mínimo com o maior/menor valor da função num intervalo. x1 X1+DX X1+DX x1

8 Teorema 1(Condição necessária para existência de máximo)
Teorema 1(Condição necessária para existência de máximo). Se a função f(x), derivável no intervalo [a,b], tem um máximo ou um mínimo no ponto x=x1, então a derivada de f(x) é nula em x=x1, i.e. f´(x1)=0 Demonstração Se f(x) tem um máximo em x=x1, então Df<0, conforme foi visto antes. Assim,

9 Note que a condição é necessária, mas não suficiente
Note que a condição é necessária, mas não suficiente. Porque pode haver um ponto no intervalo, no qual a derivada é nula,mas o ponto não é nem um máximo nem um mínimo. Isso pode ser constatado para o caso de alguma funções, como mostrado abaixo: Em x=0, f´(0)=0

10 Analiticamente, esses teoremas expressam que existe um máximo em x1 se
Os pontos onde uma função atinge seus extremos, máximos ou mínimos, são chamados pontos críticos da função, assim como os pontos de descontinuidade. Teorema . Seja f(x) uma função contínua em um intervalo contendo um ponto crítico x1 e derivável em todos os pontos desse intervalo, salvo excepcionalmente no ponto crítico. Se a derivada de f(x) muda de sinal + para -, quando se passa pelo ponto crítico x1, da esquerda para a direita, então a função admite um máximo em x1. Se, por outro lado, a derivada muda de sinal de – para +, quando se passa pelo ponto crítico x1, da esquerda para a direita, então a função tem um mínimo em x1. Analiticamente, esses teoremas expressam que existe um máximo em x1 se X1+DX X1 E existe um mínimo em x1, se x1 X1+DX A demonstração deste teorema é feita com a aplicação do Teorema de Lagrange num intervalo compreendido entre um ponto x e o ponto x1.

11 MÁXIMO MÍNIMO MÁXIMOS E MÍNIMOS X1+DX x1 f´(x1)=0 x1 X1+DX f´(x1)=0 X3

12 Teorema. Seja f´(x)=0; então a função tem um máximo em x=x1, se a segunda derivada em x1 for negativa, i.e., f´´(x1)<0 e, um mínimo, se ela for positiva f´´(x1)>0 Demonstração Pela definição de derivada, f´´(x1) é dada por Se em x1 f´(x1)=0, para Dx <0, sendo f´´(x1)<0, teremos pela relação acima: Se em x1 f´(x1)=0, para Dx >0, sendo f´´(x1)<0, teremos pela relação acima:

13 Dos resultados anteriores concluímos que, ao passarmos da esquerda para a direita, em torno de x=x1, a derivada f´(x) passa de >0 para <0, o que ,pelo teorema anterior, garante que, em x=x1, a função admite um máximo. Para demonstrarmos a segunda parte do teorema, que se f´´(x1)>0, f(x) admite um mínimo, basta que usemos argumentos similares aos usados antes. Pela definição de derivada, f´´(x1) é dada por Se em x1 f´(x1)=0, para Dx <0, sendo f´´(x1)>0, teremos pela relação acima:

14 Se em x1 f´(x1)=0, para Dx >0, sendo f´´(x1)>0, teremos pela relação acima:
Dos resultados anteriores concluímos que, ao passarmos da esquerda para a direita, em torno de x=x1, a derivada f´(x) passa de <0 para >0, o que ,pelo teorema anterior, garante que, em x=x1, a função admite um mínimo.