CAPÍTULO 1: PADRÕES E REGULARIDADES MATEMÁTICA 1 PROF. CARLOS BRAYNER.

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1 CAPÍTULO 1: PADRÕES E REGULARIDADES MATEMÁTICA 1 PROF. CARLOS BRAYNER

2 PADRÕES E REGULARIDADES PORQUÊ ESTUDAR MATEMÁTICA? A Matemática tem um notável potencial de revelação de estruturas e padrões que nos permitem compreender o mundo que nos rodeia.

3 PADRÕES NA NATUREZA 1.A sequência Fibonacci A sequência de Fibonacci é um padrão numérico que pode aparecer em vários seres vivos. Foi descrita pela primeira vez no século 12 pelo italiano Leonardo Finonacci. É uma sequência infinita que começa com 0 e 1. A sequência se completa com a sequência dos 2 números anteriores. Seguindo essa lógica, podemos montar a sequência: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 e assim por diante.

4 Essa sequência é muito comum na natureza e pode ser observada em vários seres vivos, como insetos, plantas, no rosto humano, até mesmo no rabo de um camaleão e em várias estruturas em um mesmo ser vivo. As ramificações e a sequência de Fibonacci 1 1 2 3 5 Nos pontos de crescimentos de novos nós pode ser observado o padrão de Fibonacci, se é claro, nenhum desses nós forem quebrados. Observe que na figura há 5 linhas contadas de baixo para cima. Na linha 1 há 1 nó. Na linha 2 há de novo 1 nó. Na linha 3, encontramos 2 nós de ramificação. Na linha 4 encontramos 3 nós de ramificação. Com o crescimento contínuo da planta, a sequência contínua.

5 Espiral de Fibonacci A espiral de Fibonacci aparece quando construímos uma série de quadrados cujos lados são os números da sequência de Fibonacci. Com isso temos que cada quadrado abaixo possui um número indicando quanto vale a medida do seu lado que coincide com a sequência de Fibonacci. Construindo então, a espiral:

6 TIPOS DE PADRÕES 1.PADRÕES NUMÉRICOS Vamos observar alguns padrões numéricos: Ex1: Veja a sequência de números {3, 6, 9, 12, 15, 18...} a)Quais são os elementos dessa sequência numérica? Expresse essa regularidade numérica por meio de uma fórmula matemática. b)Qual é o elemento 51º dessa sequência? c)Qual posição ocupa o elemento 126? d)O elemento 248 faz parte dessa sequência?

7 Ex2: A partir da lei de formação da sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… justifique com suas palavras como cada elemento da sequência está sendo formado.

8 Triângulo de Pascal Triângulo de Pascal é um triângulo aritmético infinito onde são dispostos os coeficientes das expansões binominais. Os números que compõem o triângulo apresentam diversas propriedades e relações. Ex3: a)Observando o triângulo de Pascal, descreva a formação de cada elemento do triângulo. b)Você consegue enxergar alguma sequência numérica conhecida? c)Qual a sequência numérica da próxima linha do triângulo?

9 Ex4: Considerando a 1ª linha do triângulo de Pascoal como linha zero, que propriedade podemos perceber se somarmos todos os elementos de cada linha? LINHA 0 LINHA 1 LINHA 2 LINHA 3 LINHA 4 LINHA 5 LINHA 6 LINHA n

10 2. PADRÕES DE FORMAS Os padrões de formas podem ser observados em várias situações do nosso dia a dia, seja nas obras de artes com simetrias ou em monumentos por meio de figuras geométricas planas ou espaciais. Mauritus Cornelis Escher (1898-1972)

11 Ex1: A seguir, é apresentada uma sequência na forma figurativa. a)Expresse por meio de figuras, quais seriam os dois próximos elementos dessa sequência? b)Explique a transformação que ocorre de uma figura para a figura seguinte. c)Desenhe como ficaria a figura do 152º elemento dessa sequência

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14 3. PADRÕES DE MOVIMENTO Observando o movimento da bola de basquete, percebemos que sua trajetória descreve uma parábola para atingir a cesta. Pegue um pedaço de comprido de cano de plástico e fixe-o de maneira a formar uma rampa descendente. Coloque uma bola na extremidade superior e solte-a. Marque a posição da bola passando um segundo exato. Em seguida marque, ao longo de todo o cano, comprimentos iguais ao primeiro e referencie-os com os números 1,2,3 etc. Se voltar a soltar agora a bola na extremidade superior e seguir o seu trajeto, notará que atingirá a marca 1 passado 1 segundo, 2 segundos depois a marca com número 4, 3 segundo depois a marca com o número 9 e assim por diante. Após n segundos qual a marca atingida? Observe a experiência!!!

15 4. PADRÕES DE COMPORTAMENTO Para entendermos os padrões de comportamento, devemos perceber que esses padrões são construções mentais abstratas. Os padrões de comportamento não são de mesma natureza que os demais, eles são padrões culturais e sociais que podem indicar como um determinado fenômeno se desenvolve ao longo do tempo. Exemplos de padrões de comportamento podem ser as vestimentas usadas, a linguagem corrente, os hábitos alimentares etc.

16 Um exemplo de Padrão de Comportamento como Indicador Social Ex: Número de mortes no trânsito diminui em 2012 na Capital Em comparação com 2011, o ano passado teve 41 mortes a menos no trânsito de Porto Alegre. A redução de 28,08% é a maior dos últimos cinco anos e acompanha a queda no número de mortes entre motociclistas e de atropelamentos fatais, ambos em torno de 38%. Confira os números divulgados pela Empresa Pública de Transportes e Circulação nesta quinta-feira. a)Analisando o gráfico, responda qual o ano em que houve o máximo de mortes no trânsito no período apresentado? b)Em qual(is) período(s) houve crescimento no número de mortes de um ano para o seguinte? c)Em qual período houve maior decrescimento no número de mortes no trânsito? Mostre esse resultado sem utilizar as informações percentuais do gráfico.

17 5. PADRÕES E OS FRACTAIS Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. Triângulo de Sierpinski Tapete de Sierpinski Fractal de Koch

18 Ex: A sequência de figuras apresenta vários níveis na composição de um fractal. a)Quantos quadrados terá a próxima figura? b)Qual a fórmula que servirá como padrão para descobrirmos quantos quadrados teremos na posição n?

19 6. PADRÕES E OS NÚMEROS FIGURADOS 6.1Números Quadrados Observe a seguinte sequência: a)Quantos pontos teremos na próxima figura da sequência? b)Qual a fórmula matemática padrão para calcularmos o número de pontos na enésima posição ?

20 6.2 Números Triangulares Observe a seguinte sequência: a)Quantos pontos teremos na próxima figura da sequência? b)Qual a fórmula matemática padrão para calcularmos o número de pontos na enésima posição ?