Momentos de Inércia Cap. 10

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1 Momentos de Inércia Cap. 10
MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10

2 Discutir o momento de inércia de massa.
Objetivos Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área. Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área. Discutir o momento de inércia de massa.

3 10.1 Produto de Inércia de uma Área
Para um elemento de área dA é definido como dIxy = xydA, assim para toda a área A, o produto de inércia é: Pode ter valores positivos ou negativos. Será nulo quando os eixos x e y forem de simetria.

4 10.2 Teorema dos Eixos Paralelos
Considerando os valores de x e y da fórmula pelo valores do sistema de eixos qualquer:

5 Problema 10.C – Triângulo direito
Determine o produto de inércia da área triangular da figura.

6 Problema 10.C – Triângulo direito - Solução
dx y x

7 Problema 10.C – Triângulo esquerdo
Determine o produto de inércia da área triangular da figura.

8 Problema 10.C – Triângulo esquerdo - Solução
dx y x

9 10.7 Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados
Usando equações de transformação entre as coordenadas x, y e u, v:

10 10.7 Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados
As fórmulas finais são:

11 10.7 Momento de Inércia de uma Área em Relação a Eixos Inclinados

12 Momentos Principais de Inércia
Existe um ângulo de inclinação tal que os momentos de inércia u e v são máximos e mínimos. Derivando-se as expressões de Iu e Iv em relação ao ângulo encontra-se:

13 Momentos Principais de Inércia
Verifica-se que para os eixos principais o produto de inércia é nulo. Como o produto de inércia é nulo para um eixo de simetria, pode-se concluir que qualquer eixo de simetria também é um eixo principal da área. Obviamente que o outro eixo principal será ortogonal ao primeiro.

14 10.8 Círculo de Mohr para Momentos de Inércia
Denominando R a expressão da raiz da equação anterior: A equação dos momentos principais de inércia pode ser reescrita como:

15 10.8 Círculo de Mohr para Momentos de Inércia
Ou seja, podemos desenhar o seguinte círculo: 1 2 q2 q1 q2

16 Exemplo 10.10 Usando o círculo de Mohr, determine os momentos principais de inércia da área mostrada com relação ao centro de gravidade.

17 Exemplo Solução Usando valores já calculados nos exemplos 10.6 e 10.8: Ix = 2.90e+9 mm4, Iy = 5.60e+9 mm4 e Ixy = -3e+9 mm4. O raio do círculo é:

18 Exemplo Solução 1. Construir o círculo (R = e+9) em qualquer posição e desenhar o eixo Ix:

19 Exemplo Solução 2. Marcar o ponto A usando (Ix – Iy) / 2 (-1.35e+9 mm4) e Ixy (-3e+9 mm4).

20 Exemplo Solução 3. Traçar a reta que passa por A, cruza o círculo em diagonal passando pelo centro.

21 Exemplo Solução 4. Definir os eixos principais que passam pelo ponto C e pelos pontos A e B.

22 5. Marcar a posição do eixo Ixy usando Ix (2.90e+9 mm4) .
Exemplo Solução 5. Marcar a posição do eixo Ixy usando Ix (2.90e+9 mm4) .

23 Exemplo Solução 6. Calcular os valores dos momentos principais a partir da origem dos eixos Ixy e Ix. Observe que este posicionamento dos eixos principais está feito em relação aos eixos Ix e Ixy e não em relação aos eixos da seção x e y!

24 Exemplo Solução 7. Marcar os eixos principais na seção. Começar marcando o eixo u de Imax contando no sentido anti-horário a partir do eixo positivo x já que este ângulo está no sentido anti-horário a partir do eixo 1 do círculo de Mohr. O eixo v é ortogonal ao primeiro.

25 10.9 Momento de Inércia de Massa
Propriedade que mede a resistência do corpo a acelerações angulares. O volante (roda grande e pesada) da figura esta conectada a um cortador de metal. Ele é usado para providenciar um movimento uniforme na lâmina de corte. Qual é propriedade mais importante do volante para o seu uso? Como calcular o valor desta propriedade? Por que a maior parte da massa do volante esta localizado afastado do centro?

26 10.9 Momento de Inércia de Massa
Conceito do MIM G T Considere um corpo rígido com centro de massa em G. Ele pode girar livremente em torno do eixo z, que passa por G. Se for aplicado um torque T em torno do eixo z no corpo, ele começa a girar com aceleração angular . T e  são relacionados pela equação T = I  . Nesta equação, I é o momento de inércia de massa (MIM) em torno do eixo z. O MIM de um corpo é uma propriedade que mede a resistência do corpo a aceleração angular. Isto é similar a função da massa na equação F = m a. O MIM é utilizado na analise de movimentos rotacionais (em Dinâmica).

27 10.9 Momento de Inércia de Massa
Definição do MIM p Considere um corpo rígido e eixo arbitrário p mostrado na figura. O MIM em torno do eixo p é definido como I = m r2 dm, onde r, o braço de momento, é a distância perpendicular do elemento dm até o eixo. O MIM é um valor sempre positivo e possui unidade de kg ·m2 or slug · ft2.

28 10.9 Momento de Inércia de Massa
Conceitos correlatos G p’ d m p Teorema dos eixos paralelos: De forma semelhante já vista este teorema pode ser usado para encontrar o MIM em torno de um eixo p’ situado a uma distância d do eixo que passa pelo centro de massa G. A fórmula é: Ip’ = IG + (m) (d)2 (onde m é a massa do corpo) O raio de giração é similarmente definido como: k = (I / m) Finalmente, o MIM pode ser obtido por integração ou pelo método dos corpos compostos.

29 Problema 10.D p q r Dados: O volante consiste de um fino anel com massa de 10 kg e de quatro raios com massa de 2 kg cada. Encontrar: O MIM do volante em torno de um eixo perpendicular ao plano da figura e passando pelo ponto A. Dica: Seguir os passos similares ao do Momento de Inércia de áreas compostas.

30 Problema 10.D p q r 1. O volante pode ser dividido em um anel (p) e duas cruzetas (q e r). Podem as cruzetas serem tratadas como iguais?

31 Problema 10.D - Solução 2. O centro de massa de cada uma das três peças é o mesmo ponto O, situado a 0.5 m do ponto A. p q r 3. Usando os dados das peças e o teorema dos eixos paralelos calcular o que segue. IA = IO + (m) (d) 2 IAp = 10 (0.5) (0.5)2 = kg·m2 IAq = IAr = (1/12) (4) (1) (0.5)2 = kg·m2 4. Agora adicione os três valores no ponto A. IA = IAp + IAq + IAr IA = kg·m2