9. Introdução à Teoria das Probabilidades

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2 9. Introdução à Teoria das Probabilidades
9.1. Conceito de Probabilidade 9.2. Probabilidade objectiva versos probabilidade subjectiva 9.3. Experiência e Espaço amostral 9.4. Tipos de Eventos 9.5. Definição de Probabilidade 9.6. Métodos de Probabilidades 9.7. Teorema das Probabilidades

3 9.1. Origem das probabilidades
Decisões que envolvem incerteza futura: Qual a probabilidade das vendas descerem se o preço subir? Qual a probabilidade do projecto ser concluído no prazo? Qual a probabilidade de o novo investimento ser lucrativa?

4 9.3. Experiência Aleatória
É o processo de observação ou de acção cujos resultados, embora podendo ser descritos no seu conjunto, não são determináveis à priori, i.e. Antes de realizada a experiência.

5 Características da Experiência Aleatória
Possibilidade de repetição da experiência em condições uniformes; Não se pode dizer à partida o resultado da experiência a realizar, mas pode-se descrever o conjunto de todos os espaços (resultados) possíveis; Existência de regularidade quando a experiência é repetida muitas vezes.

6 Espaço de Resultados (Ω)
É o conjunto de todos os resultados possíveis e igualmente prováveis numa experiência aleatória. Ex. No lançamento de um dado o espaço de resultados ou espaço amostral é: Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}

7 São sub-conjuntos do espaço de resultados.
Ponto Amostral São sub-conjuntos do espaço de resultados. Ex. o espaço amostral da experiência de lançamento de uma moeda consiste em (cara; coroa) Cada um destes resultados constituem um ponto amostral.

8 9.4. Tipos de Eventos 9.4.1. Eventos Simples 9.4.2. Evento Composto
Evento Certo Evento Impossível Eventos Complementares Eventos Mutuamente Exclusivos Eventos Independentes Eventos Condicionados

9 9.4. Tipos de Eventos Evento Elementar ou simples – Ocorrência de somente um resultado específico da Experiência Aleatória. Ex.sair cara num lançamento de uma moeda. Evento Complexo ou composto – Ocorrência de um resultado qualquer de entre os vários possíveis para aquele acontecimento. Ex. obter soma 11 no lançamento de dois dados.

10 3. Evento certo – Quando o subconjunto é composto por todos os pontos amostrais do espaço amostral. Ex. sair uma cara ou um coroa no lançamento de uma moeda. 4. Evento Impossível – Quando o subconjunto é composto por pontos amostrais não encontrados no espaço amostral. Ex. Sair a cara 7 no lançamento de um dado.

11 5. Eventos Complementares
Quando na diferença de dois acontecimentos A e B, A é o próprio espaço de resultados, o acontecimento diferença denomina-se de Evento Complementar. Representa-se por Ā. Ā Ω Ā A

12 6. Eventos Mutuamente Exclusivos ou Incompatíveis
Para eventos que não ocorrem simultaneamente a sua intersecção corresponderá a um conjunto vazio . A sua intersecção por ser um conjunto vazio chama-se Eventos mutuamente exclusivo ou incompatível. Ex. sair cara exclui a probabilidade de sair coroa. Ω A B

13 7. Eventos Independentes
Diz-se que A e B são eventos independente quando não exercem acções recíprocas, comportando-se cada um maneira que lhe é própria, sem influenciar as demais. P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) Similarmente A e B são independentes quando se verifica esta condição: P(AB) = P(A)  P(B)

14 8. Eventos Condicionados
Os eventos A/B (lê-se A após B ou A sabendo que B) dizem-se condicionados quando a ocorrência de A está dependente da ocorrência de B. É dada por:

15 Leis de Morgan ĀB   ĀB

16 9.5. Escolas do Estudo das Probabilidades
Escola Clássica ou a priori Escola Frequencista ou a posteriori Escola Subjectiva

17 Conceito da Escola Clássica ou a priori
As probabilidades que se baseiam nas características intrínsecas dos acontecimentos; i.e. As probabilidades já conhecidas antes de efectuar o acontecimento. Se numa experiência aleatória temos N resultados possíveis, mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, e, se o nº de resultados favoráveis for (na) então a probabilidade de um acontecimento A é a divisão entre na e N.

18 Conceito da Escola Frequencista ou à posteriori
As probabilidades baseiam-se numa quantidade razoável de evidência objectiva. i.e. Aplica-se o conceito de frequência relativa para definir uma probabilidade. Ex. Segundo os censos 48% da população é masculina logo a probabilidade de um recém nascido ser do sexo masculino é de 0,48.

19 Conceito Subjectivo ou personalista
As probabilidades definem-se com base em crenças ou opiniões diferentes. A probabilidade de um acontecimento é dada pelo grau de credibilidade ou de confiança que cada pessoa dá à realização de um acontecimento.

20 9.8. Teoremas das Probabilidades
Teorema da Soma Teorema do Produto para eventos independentes e dependentes Teorema das Probabilidades Totais Fórmula de Bayes

21 Axiomas das Probabilidades
P(A)  0 se A P() = 1 ( é o acontecimento certo) Sendo A e B acontecimentos mutuamente exclusivos definidos em , ou seja AB=, tem-se que: P(AB) = P(A) + P(B)

22 União de acontecimentos
Define-se por AB e é a soma lógica de A com B. AB=: AB consiste na realização de um dos acontecimentos ou outro ou ambos. Ω A B

23 P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB)
Teorema da Soma A probabilidade da união de dois acontecimentos não mutuamente exclusivos, P(AB) = P(A) + P(B)  P(AB) Para eventos mutuamente exclusivos, P(AB) = P(A) + P(B) (visto que AB = Ø)

24 Intercepção de acontecimentos
Define-se por AB e é o produto lógico da A por B. É o acontecimento que ocorre se e só se ocorrerem A e B. A Ω A B

25 9.8.2. Teorema do produto para eventos independentes
Dois eventos dizem-se independentes quando a ocorrência de A não afecta nem é afectada pela ocorrência ou não de B. P(AB) = P(A)  P(B)