Jornadas de Aplicações da Matemática, ISEL, Out. 98

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1 Jornadas de Aplicações da Matemática, ISEL, Out. 98
Analogia entre Sinais e Vectores Isabel Milho e Fernando Sousa CCISEL, ISEL DEEC, ISEL

2 Analogia entre Sinais e Vectores
Introdução Espaços Vectoriais (operações e relações) Espaços de Sinais (def. produto interno) Aplicações Série de Fourier / Transformada de Fourier DCT em compressão de imagem Descritores de Fourier em imagem (contornos) Desenho de sistemas de comunicação digital ... Analogia entre Sinais e Vectores

3 Analogia entre Sinais e Vectores
Espaços Vectoriais Operações e relações produto interno, norma, ortogonalidade, teorema de Pitágoras, desigualdade de Schwarz’s, base ortonormada, procedimento de Gram-Schmidt Analogia entre Sinais e Vectores

4 Analogia entre Sinais e Vectores
Espaços de Sinais Produto Interno medida de semelhança entre 2 sinais Norma (Energia ou Potência): ou Sinais de Energia Energia do erro é mínima Desenho de projecção vectorial Sinais de Potência Analogia entre Sinais e Vectores

5 Analogia entre Sinais e Vectores
Série de Fourier Base ortonormada de sinais sinais de potência periódicos em T0 Coeficientes da Série de Fourier Analogia entre Sinais e Vectores

6 Transformada de Fourier
Sinais de energia Transformada de Fourier Analogia entre Sinais e Vectores

7 Transformadas Discretas DFT e DCT
Transformadas discretas de sinais 1D e 2D Representação do sinal original - base de funções/imagens Filtragem, compressão de dados, extracção de características e outras aplicações DFT e DCT (Discrete Fourier/Cosine Transform) Implementação em O(Nlog2N) operações com o algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) E outras aplicações: análise espectral DFT: Uma das Transformadas mais importantes no Processamento Digital de sinal e imagem. Propriedades atractivas para aplicações de processamento de imagem. Maioria das transformadas tem tendência para concentrar a maior parte da energia do sinal em apenas alguns coeficientes da transformada. Muitos dos coeficientes contem pouca energia, podendo ser desprezados. Analogia entre Sinais e Vectores

8 DFT-Discrete Fourier Transform
com Spectral Analysis Finite Impulse Response Digital Filter Design Análise de fourier na conversão A/D ideal e prática IDFT Analogia entre Sinais e Vectores

9 DCT-Discrete Cosine Transform
com A transformada do coseno consegue uma taxa de compressão elevada em dados altamente correlacionados. A variação dos coeficientes vai diminuido à medida que (m,n) aumenta. Implementação com o algoritmo FFT: O(Nlog2N) operações IDCT Analogia entre Sinais e Vectores

10 Linha de uma imagem digital com 256 níveis de cinzento
Linha da imagem digital DFT DCT Analogia entre Sinais e Vectores

11 Compressão de imagem usando a DCT
Valores apresentados em log(abs(..)) Analogia entre Sinais e Vectores

12 Compressão de imagem usando a DCT (cont.)
Imagem Original Taxa de compressão = 75% Taxa de compressão = 93,75% Analogia entre Sinais e Vectores

13 Representação de contornos com Descritores de Fourier
Representação do contorno definido pelos pontos (x,y) tal que: Descritores de Fourier - FD (Fourier Descriptors) Analogia entre Sinais e Vectores

14 Representação de contornos com Descritores de Fourier (cont.)
Contornooriginal FD’s (Parte Real) Os Descritores de Fourier obtiveram resultados satisfatórios na resolução de problemas de reconhecimento de caracteres FD’s (Parte Imaginária) Reconstrução com os FD’s quantizados em 25 níveis Reconstrução com apenas 9 FD's Analogia entre Sinais e Vectores

15 Desenho de Sistemas de Comunicação Digital
M={m1, m2, m3, m4} base ortonormada Proc. Gram-Schmidt - obter a base que representa os sinais (símbolos) transmitidos Dimensão da base N<=M Projectar o sinal recebido corrompido com ruído branco - produto interno Banco de correladores Analogia entre Sinais e Vectores

16 Analogia entre Sinais e Vectores
Detector óptimo Banco de Correladores Analogia entre Sinais e Vectores

17 Descodificador óptimo
erros=[ ] media(erros)=2 percentagem=2% Regra de decisão óptima: Produto interno Analogia entre Sinais e Vectores

18 Analogia entre Sinais e Vectores
Outras aplicações Desenho do filtro óptimo para detecção de pulsos na presença de ruído Interpretação dos valores de um sinal amostrado, como coordenadas da projecção do sinal sobre uma base ortonormada de funções sinc Funções de correlação - sua interpretação como funções de produtos internos (deslizantes). … Analogia entre Sinais e Vectores

19 Analogia entre Sinais e Vectores
Conclusões Ferramenta “Analogia entre Sinais e Vectores” simples (operações e relações vectoriais) facilita a compreensão de algumas operações em processamento de sinais reduz a complexidade do problema Aplicações: filtragem, compressão de dados, extracção de características, desenho de sistemas comunicação digital e outras. Analogia entre Sinais e Vectores