Derivadas Nocao_derivada.gsp.

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1 Derivadas Nocao_derivada.gsp

2 Definição de derivada de uma função num ponto
Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função f, no ponto a, e representa-se por f’(a), ao limite (se existir)

3 Definição de derivada de uma função num ponto
Observação: Designando x – a por h, a derivada de f, no ponto a, também se pode escrever. Resolver o exercício 352

4 Exercício 352 Usa a definição de derivada de uma função num ponto para calcular: f ’(-1), sendo f(x) = 2 x3 + x + 1 g ’(1), sendo g(x) = e2x h ’(0), sendo r ’(2), sendo s’(2), sendo s(x) = lnx

5 Interpretação geométrica do conceito de derivada de uma função num ponto
Seja f uma função real de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. A derivada da função f, no ponto a, é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas (a, f(a)). f’(a) é o declive da recta r Resolver o exercício 358

6 Exercício 358 Seja f(x) = 0,5x2 – x + 1
Escreve a equação reduzida da recta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissa 0 e 2. Escreve a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0.

7 Interpretação física do conceito de derivada de uma função num ponto
Se, para cada valor de t, f(t) representar o espaço percorrido por um móvel até ao instante t, então a derivada da função f, no ponto a, é a velocidade do móvel no instante a. Resolver o exercício 360

8 Exercício 360 Uma partícula move-se sobre uma recta de acordo com a lei e = 5t2 + 20t, sendo e a distância percorrida em metros ao fim de t segundos. Calcula a velocidade média no intervalo [1,4]. Calcula a velocidade no instante t = 3.

9 Exercício 355 Pretendemos provar que a derivada de uma função par é uma função ímpar (e vice-versa). Hipótese: f é par isto é Tese: f´ é ímpar isto é Demonstração: Calculemos e provemos que é igual a .

10 Exercício 355 (cont.) Prove agora que a derivada de uma função ímpar é uma função par, seguindo um processo semelhante ao que acabámos de utilizar

11 Derivabilidade e continuidade
Se uma função tem derivada finita num ponto, então é contínua nesse ponto. Hipótese: Existe Tese: f é contínua em a. Demonstração:

12 Derivabilidade e continuidade
Logo se então o que significa que f é contínua em a O recíproco não é verdadeiro: uma função pode ser contínua num ponto e não existir derivada finita nesse ponto. Resolver o exercício 364

13 Derivabilidade e continuidade
Resolver o exercício 364 Se e o que se pode dizer sobre a existência de ?

14 Derivadas laterais Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. Chama-se derivada lateral direita da função f, no ponto a, e representa-se por , ao limite (se existir)

15 Derivadas laterais Seja f uma função real, de variável real, e seja a um ponto do seu domínio. Chama-se derivada lateral esquerda da função f, no ponto a, e representa-se por , ao limite (se existir)

16 Interpretação geométrica das derivadas laterais
As derivadas laterais da função f, no ponto a, são os declives das semi-tangentes ao gráfico de f, nesse ponto. é o declive da semi-recta r é o declive da semi-recta s

17 Interpretação geométrica das derivadas laterais
Como as duas semi-tangentes não estão no prolongamento uma da outra, têm declives diferentes, pelo que

18 Interpretação geométrica das derivadas laterais
A função não tem, portanto, derivada no ponto a. Dizemos que o ponto de coordenadas (a,f(a)) é um ponto anguloso do gráfico de f. Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372 e 376

19 Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
Seja f a função definida por Justifique que f não é derivável em 0.

20 Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
367. Prove que a função f definida, em IR, por é contínua no ponto de abcissa 2 mas não tem derivada nesse ponto.

21 Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
368. Seja f a função definida, em IR, por: Determina a e b de modo que f seja derivável no ponto de abcissa 2.

22 Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
369. Seja f a função representada graficamente por: Esboce o gráfico de f´.

23 Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
372. Seja f de domínio definida por Investiga se f é derivável no ponto de abcissa 0 e caracteriza f´(x).

24 Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
375. Seja h a função definida por: Define a função h´ e representa graficamente as funções h e h´.

25 Resolver os exercícios 362, 367, 368, 369, 372, 375 e 376
376. Seja f a função definida por: Caracteriza f´e representa graficamente f e f´