Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

Apresentação em tema: "Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio"— Transcrição da apresentação:

1 Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
Aula 16 Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio

2 Teorema de Rolle Seja uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
é contínua no intervalo fechado é derivável no intervalo aberto 3. Então existe um número em tal que

3 Ilustração

4 Ilustração

5 Exemplo 1 Considere a função posição de um objeto em movimento. Se o objeto estiver no mesmo lugar em dois instante diferentes e então Pelo Teorema de Rolle algum entre e no qual isto é, a velocidade é 0. Obs.: Em particular, vc pode ver que isto é verdadeiro quando uma bola é atirada diretamente para cima.

6 Exemplo 2 Demonstre que a equação tem exatamente uma raiz real?

7 Solução Seja Então e Note que é contínua pois é um polinômio; assim pelo Teorema do Valor Intermediário a equação dada, tem uma raiz. Suponhamos que se tenha duas raízes pelo Teorema de Rolle Mas

8 O Teorema do Valor Médio
Seja uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: é contínua no intervalo fechado é derivável no intervalo aberto Então existe um número em tal que

9 Interpretação Geométrica

10 Exemplo 3 é um polinômio é contínua e derivável Pelo T.V.M. tal que Mas isto é, Porém, como temos então

11 Gráfico

12 Observação A grande importância do Teorema do Valor Médio reside no fato de ele nos possibilitar obter informações sobre uma função a partir de dados sobre sua derivada. O próximo exemplo mostra esse princípio.

13 Exemplo 5 Suponha que e Quão grande pode ser?

14 Solução Pelo T.V.M. tal que Logo Como temos Daí, logo o maior valor possível para é 7.

15 Alguns fatos básicos Teorema. Se em um intervalo então é constante em

16 Demonstração Sejam e em , sendo Pelo T.V.M. obtemos tal que e Como daí ou tem o mesmo valor em e quaisquer em . Isto significa que é constante em .

17 Alguns fatos básicos Corolário. Se em um intervalo então é constante em isto é, em que é uma constante.

18 Demonstração Seja Então em . Assim, pelo Teorema anterior é constante, isto é, é constante.

19 Observação Note que o domínio de é e em Mas claramente não é uma função constante. Isso não contradiz o Teorema anterior pois não é um intervalo.

20 Exemplo 6 Demonstre a identidade

21 Solução uma constante. Fazendo temos

22 Obrigado !