Aula 15 Valores Máximo e Mínimo, Teorema do Valor Extremo, Teorema de Fermat, Método do Intervalo Fechado.

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1 Aula 15 Valores Máximo e Mínimo, Teorema do Valor Extremo, Teorema de Fermat, Método do Intervalo Fechado

2 Valores Máximo e Mínimo
Definição. Uma função tem máximo absoluto (ou máximo global) em se para todo em onde é o domínio de O número é chamado valor máximo de em .

3 Valores Máximo e Mínimo
Analogamente, tem mínimo absoluto (ou mínimo global) em se para todo em e o número é denominado valor mínimo de em . Os valores máximo e mínimo de são chamados valores extremos de .

4 Ilustração

5 Máximo e Mínimo Local Definição. Uma função tem máximo local (ou máximo relativo) em se quando estiver nas proximidades de . Analogamente, tem um mínimo local (ou mínimo relativo) em se quando estiver próximo de .

6 Ilustração

7 Exemplo 1 assume seu valor máximo (local e absoluto) 1 um número infinito de vezes, uma vez que e Da mesma forma, é seu valor mínimo, onde é qualquer número inteiro.

8 Exemplo 2 pois é o valor mínimo absoluto (e local) de .

9 Exemplo 3

10 Exemplo 4

11 Gráfico

12 Exemplo 4

13 Teorema do Valor Extremo
Se for contínua em um intervalo fechado então assume um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em certos números e em

14 Ilustração

15 Observação Uma função pode não possuir valores extremos se for omitida uma das duas hipóteses (continuidade ou intervalo fechado) do Teorema do Valor Extremo.

16 Ilustração

17 Ilustração

18 Teorema de Fermat Se tiver um máximo ou mínimo local em e se existir, então

19 Ilustração

20 Exemplo 5

21 Exemplo 6

22 Número Crítico Definição: Um número crítico de uma função é um número no domínio de onde ou ou não existe.

23 Exemplo 7 Encontre os números críticos de

24 Solução se isto é, e não existe quando os números críticos são e 0.

25 Reformulação do Teorema de Fermat
Se tiver um máximo ou mínimo local em então é um número crítico de .

26 Observação O método a seguir é útil para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado Esse procedimento é chamado Método do Intervalo Fechado.

27 Método do Intervalo Fechado
Encontre os valores de nos números críticos de em 2. Encontre os valores de nas extremidades do intervalo. 3. O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

28 Exemplo 8 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função

29 Solução se ou (são os únicos números críticos e estão no intervalo ). Note que

30 Gráfico

31 Exemplo 9 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função

32 Solução quando e isso ocorre quando ou (pontos críticos) Note que e

33 Gráfico

34 Exemplo 10 O telescópio espacial Hubble foi colocado em órbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão, do lançamento em até a ejeção do foguete auxiliar em é dado por (em metros/segundos). Usando esse modelo, estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a ejeção do foguete auxiliar.

35 Ilustração

36 Solução

37 Obrigado !