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PublicouTalita Cobian Alterado mais de 10 anos atrás
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A10-1 Definição: Um ponto x* W diz-se um mínimo relativo ou ponto
de mínimo local de f em W se existir um e > 0 tal que f(x) f(x*) para todo o x W cuja distância a x* seja menor ou igual a e. Se f(x) > f(x*) para todo o x W, x x* com uma distância inferior ou igual a e de x*, diz-se que x* é um mínimo local estrito de f em W. Definição: Um ponto x* W diz-se um ponto de mínimo global de f em W se f(x*) f(x) para todo o x W. Se f(x*) > f(x) para todo o x W, x x*, então x* diz-se um mínimo global estrito de f em W. Proposição 1: (Condição necessária de primeira ordem) Seja W um subconjunto de Rn e seja f C1 uma função em W. Se x* é um ponto de mínimo relativo de f em W, então para qualquer d Rn que seja uma direcção factível em x*, tem-se f(x*).d 0.
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A10-2 Proposição 2: (Condição necessária de segunda ordem)
Seja W um subconjunto de Rn e seja f C2 uma função em W. Se x* é um ponto de mínimo relativo de f em W, então para qualquer d Rn que seja uma direcção factível em x*, tem-se f(x*).d 0; se f(x*).d = 0, então dT. 2f(x*).d 0. Proposição 3: (Condição necessária de segunda ordem - sem restrições) Seja x* um ponto interior do conjunto W e suponha-se que x* é um ponto de mínimo relativo de f em W e que f C2. Então f(x*) = 0; Para todo o d, dT. 2f(x*).d 0. Proposição 4: (Condição suficiente de segunda ordem - sem restrições) Seja f C2 uma função definida numa região em que o ponto x* é um ponto interior. Suponha-se adicionalmente que f(x*) = 0; H = 2f(x*) é definida positiva. Então x* é um ponto de mínimo relativo estrito de f.
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A10-3 Definição: Uma função f definida num conjunto convexo W diz-se
convexa se, para todo o x1, x2 W e todo o a, 0 a 1, se verificar f(ax1 + (1 - a)x2) af(x1) + (1 - a)f(x2). Se, para todo o a, 0 a 1 e x1 x2, se verificar f(ax1 + (1 - a)x2) < af(x1) + (1 - a)f(x2), então f diz-se estritamente convexa. Definição: Uma função g definida num conjunto convexo W diz-se côncava ou estritamente côncava se f = -g for convexa ou estritamente convexa, respectivamente. Teorema 1: Seja f uma função convexa definida num conjunto convexo W. Então o conjunto G onde f atinge o seu mínimo é convexo e qualquer mínimo relativo de f é um mínimo global. Teorema 2: Seja f C1 uma função convexa definida num conjunto convexo W. Se existir um ponto x* W tal que para todo o y W, f(x*)(y - x*) 0, então x* é um mínimo global de f em W.
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A10-4 Teorema 3: Seja f uma função convexa definida num conjunto
convexo fechado e limitado W. Se f possuir um máximo em W este é obtido num ponto extremo de W. Teorema 4: (Condições de Kuhn-Tucker - 1ª ordem) Seja x* um ponto de mínimo relativo para o problema min f(x) s.a. h(x) = 0, g(x) 0 (1) e suponha-se que x* é um ponto regular para as restrições. Então, existe um vector l Rm e um vector m Rp, com m 0, tais que f(x*) + l h(x*) + m g(x*) = 0 mg(x*) = 0 Teorema 5: (Condições de Kuhn-Tucker - 2ª ordem) Suponha que as funções f, g e h C2 e que x* é um ponto regular das restrições. Se x* for um ponto de mínimo relativo para o problema (1), então existe um l Rm e um m Rp, com m 0, tais que as condições de Kuhn-Tucker se verificam e L(x*) = F(x*) + lH(x*) + mG(x*) é semi-definida positiva no sub-espaço tangente às restrições activas.
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