Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções

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1 Conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções
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2 Conjuntos Wikipedia: Coleção de elementos Exemplos:
Conjunto de cidades da RMC: Americana, Artur Nogueira, Campinas, Cosmópolis, Engenheiro Coelho, Holambra, Hortolândia, Indaiatuba, Itatiba, Jaguariúna, Monte Mor, Nova Odessa, Paulínia, Pedreira, Santa Bárbara d'Oeste, Santo Antônio de Posse, Sumaré, Valinhos e Vinhedo. Conjunto de números pares maiores do que 2 e menores do que 9: 4, 6 e 8

3 Conjuntos numéricos A={0, 2, 4, 6, 8, ...} B={0, 2, 4, 6, 8, 10}
D={3, 5} E={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...}

4 Conjuntos importantes
Conjunto vazio: Conjunto unitário: Conjunto Universo (U) Formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando numa determinada situação, ou seja, é o conjunto de todos os conjuntos considerados em um problema.

5 Relações entre conjuntos
1 pertence a A {1} está contido em A {3} não está contido em B B está contido em A A não está contido em B O conjunto vazio está contido em B

6 Conjunto das partes É formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado. B={1, 2, 3} P(B)={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

7 Conjunto das partes Relação entre o número de elementos do conjunto e o número de elementos do conjunto das partes: Ø possui 0 elementos e P(Ø)={Ø} possui 1 elemento {1} possui 1 elemento e P({1})={Ø, {1}} possui 2 elementos {1, 2} possui 2 elementos e P({1,2})={Ø, {1}, {2}, {1,2}} possui 4 elementos

8 Conjunto das partes Logo, dado um conjunto A com n elementos, o número de elementos do conjunto das partes de A, representado por P(A), é igual a 2n

9 Operações com conjuntos

10 Operações com conjuntos: Intersecção
Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A  B = {x/xA e x  B} (Intersecção) A  B = {0, 2} A 0 2 B

11 Operações com conjuntos: União
Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A  B = {x/xA ou x  B} (União) A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ,6} A 0 2 B

12 Operações com conjuntos:
Diferença Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A - B = {x/xA e xB} (Diferença) A - B = {1, 3, 4} A 0 2 B

13 Operações com conjuntos:
Complementar Caso especial: um conjunto está contido no outro: A={0, 1 ,2} e B={0, 1, 2, 5, 6}, temos: O complementar de B em relação a A: A B A  B = {0, 1, 2, 5 ,6} = B A  B = {0, 1, 2} = A A-B={ } B-A={5, 6}

14 Operações com conjuntos:
Produto cartesiano Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: A x B = {(x,y)/xA e yB} (Produto cartesiano) AxB={(0,0); (0,2); (0,5); (0,6); (1,0); (1,2); (1,5); (1,6); (2,0); (2,2); (2,5); (2,6); (3,0); (3,2); (3,5); (3,6); (4,0); (4,2); (4,5); (4,6)} Atenção: n(A) = 5 e n(B)=4 e n(AxB)=5 . 4 = 20 Par ordenado: (2, 0)(0, 2)

15 Representação no plano cartesiano
A={0, 1 ,2, 3, 4} B={0, 2, 5, 6} B Atenção para: AxB: A no eixo horizontal e B no eixo vertical (0,2) e (2,0) são pontos distintos Os pontos não estão ligados por linhas contínuas, isso depende dos conjuntos e da relação! A

16 Conjuntos numéricos

17 Conjuntos numéricos Conjunto dos Números Naturais (N)

18 Conjuntos numéricos Conjunto dos Números Inteiros (Z)

19 Conjunto numéricos Conjunto dos Números Racionais (Q)

20 Conjuntos numéricos Representação decimal de números racionais:
A representação decimal de um número racional é obtida pela divisão de a por b. Esta divisão pode resultar em decimais exatas ou dízimas periódicas:

21 Conjunto numéricos Conjunto dos Números Irracionais (I ou Ir)
Números decimais que não admitem representação fracionária Exemplo: , a raiz quadrada de um número inteiro não-negativo que não é inteira, decimais infinitas e não-periódicas

22 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Reais (R) N Z Q I

23 Intervalos numéricos (reais)

24 Intervalos numéricos (Reais)
-3 (-3, +) = ]-3, +) ={x   / x > -3} [-3, +) = [-3, +) ={x   / x  -3} -3

25 Intervalos numéricos (Reais)
-3 4 (-3, 4) = ]-3, 4)=]-3, 4[ ={x   / -3 < x < 4} (-3, 4] = ]-3, 4] ={x   / -3 < x  4} -3 4

26 Relações entre conjuntos

27 Relações entre conjuntos
Seja o conjunto A={0, 1, 2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 5, 6}, temos: R = {(x,y)AxB / x+y>4} R={(0,5); (0,6); (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,2); (3,5); (3,6); (4,2); (4;5); (4,6)} N(R)=12

28 Relações entre conjuntos
Representação gráfica: A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} R = {(x,y)AxB / x+y>4} 1 2 3 4 2 5 6

29 Relações entre conjuntos
Representação gráfica: A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 5, 6} R = {(x,y)AxB / x+y>4} 1 2 3 4 2 5 6

30 Representação no plano cartesiano - Relações
B={0, 2, 5, 6} B R= {(x,y)AxB / x+y>4} Observe os conjuntos A e B e a relação R para determinar se você pode traçar uma reta sobre os pontos. A

31 Relações especiais Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o conjunto B={0, 2, 4, 6, 8, 11}, temos: R = {(x,y)AxB / y = 2x} R={(0,0); (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)} N(R)=5

32 O que há de especial nesta relação?
Relações especiais Relações especiais Representação através de diagrama: A={0, 1 ,2, 3, 4} e B={0, 2, 4, 6, 8, 11} R = {(x,y)AxB / y = 2x} 2 4 6 8 11 1 2 3 4 O que há de especial nesta relação?

33 Conjunto Contradomínio
Relações especiais Relações especiais O que há de especial? Neste exemplo, todos os elementos do conjunto “origem” (domínio) estão relacionados uma e somente uma vez com elementos do “destino” (contradomínio) 2 4 6 8 11 1 2 3 4 Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

34 Por que essa característica é especial?
A garantia de encontrar um correspondente a partir de um número dado pode ajudar a conhecer/entender/explicar um determinado contexto/fenômeno.

35 Funções: definição Uma relação F de A em B é uma função se, e somente se, todo elemento de A tem um único correspondente em B. Em outras palavras, cada elemento do conjunto domínio possui uma, e somente uma, imagem.

36 Funções: Notação Exemplo:
Dada a função f:N N, definida para todo natural n  N, tal que f(n)=2n+1 2n+1 é uma forma de se representar um número ímpar! Para n=0 temos, f(0)=2.0+1=1 logo f(0)=1 ou (0, 1) Para n=1 temos, f(1)=2.1+1=3 logo f(1)=3 ou (1, 3) Para n=2 temos, f(2)=2.2+1=5 logo f(2)=5 ou (2, 5) Para n=3 temos, f(3)=2.3+1=7 logo f(3)=7 ou (3, 7)

37 Representação no plano cartesiano - Funções
B={0, 2, 4, 6} B R= {(x,y)AxB / y=2x} A função é uma relação especial, logo, ser função não determina se podemos ou não traçar uma reta pelos pontos. A

38 Funções - Classificação
Injetora, Sobrejetora e Bijetora

39 Conjunto Contradomínio
Função Injetora É a função na qual: x1  x2 então f(x1)  f(x2) 2 4 6 8 11 1 2 3 4 Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

40 Conjunto Contradomínio
Função Sobrejetora É a função na qual a todo elemento do contra-domínio está associado um elemento do domínio. Ou seja: Cd=Im 2 4 6 1 2 3 4 Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio

41 Conjunto Contradomínio
Função Bijetora É a função que é injetora e sobrejetora. 2 4 6 8 1 2 3 4 Conjunto Imagem Conjunto Domínio Conjunto Contradomínio