Livro Texto: Theory of Plates and Shells – Timoshenko and Woinowsky-Krieger.

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Flexão de Placas Longas Retangulares
Seja a placa da figura 1, carregada transversalmente. Fig.1 A deformada de uma faixa de largura elementar assemelha-se a de um a viga fletida. h = espessura da placa l = largura da placa x-y: plano médio da placa Fig.2 A faixa de largura elementar pode ser considerada uma viga de comprimento l e seção retangular de altura h. Assim, x-y é a superfície neutra da placa fletida.

Fig.1 Pela Lei de Hooke, e onde E é o módulo de Young e n o coeficiente de Poisson. Fig.2 e ou Logo,

O momento resultante por unidade de comprimento na faixa de largura elementar é (figura 2): Fig.2 ou onde é a Rigidez à Flexão da Placa, equivalente ao produto EIx para as vigas. De fato, para uma viga (n = 0) de seção retangular e largura unitária,

equivale, nas placas, à equação diferencial da LE das vigas. Em princípio, portanto, basta integrar esta equação para obter as flechas w. No entanto, como os apoios da laje não se movem, surgem reações horizontais S à medida que aparecem flechas verticais na laje submetida a cargas transversais. (figura 3) Fig.3 Em suma, o problema converte-se em determinar os deslocamentos e, consequentemente, os esforços, na faixa de largura elementar submetida a cargas transversais e, simultaneamente, a cargas axiais que dependem das flechas.

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente Seja q a carga uniformemente distribuída. O momento fletor numa seção qualquer distante x do apoio esquerdo (figura 3) é: Fig.3 Assim, a equação diferencial fica: Se , a equação fica

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente A solução geral desta equação é onde C1 e C2 são constantes de integração. Logo, e

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente De fato, substituindo-se estes valores na equação diferencial, tem-se:

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente As constantes C1 e C2 são determinadas pelas condições de contorno (condições de apoio): em e Fig.3 e A solução, então, fica:

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente Fig.3 Substituindo-se e tem-se:

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente ou Fig.3 Daí se conclui que w depende de u que, por sua vez depende da força S.

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente Como determinar S? O alongamento da faixa elementar Dl provocado pela força S é a diferença entre o comprimento da linha elástica e a sua corda: Fig.3 Como então

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente Substituindo-se w na expressão de S, tem-se: Como e a equação acima fica (equação em u) O termo independente é conhecido (geometria, carregamento e material) e a variável u pode ser determinada por tentativa e erro.

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente Em suma, determinando-se a variável u, obtém-se:

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente Tensões Normais Máximas: constante ao longo do comprimento da faixa Fig.3 em x = l/2

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente Tensões Normais Máximas: constante ao longo do comprimento da faixa Fig.4 em x = l/2 Obs.: À medida que u cresce em valor absoluto, o momento tende a zero (Fig. 4); se u = 0,

Placas simplesmente apoiadas carregadas uniformemente Tensões Normais Máximas: Substituindo-se D e Mmáx em s1 e s2, tem-se Fig.5 e A flecha máxima pode ser escrita como (ver Fig.5)

Placas biengastadas carregadas uniformemente De acordo com a Fig. 6, Fig.6 A solução geral desta equação é

Placas biengastadas carregadas uniformemente As condições de apoio são: Fig.6 em e e em e Daí que: ,

Placas biengastadas carregadas uniformemente Substituindo-se C1, C2 e M0 na expressão de w: Usando o mesmo raciocínio do caso anterior, ( e ), tem-se

Placas biengastadas carregadas uniformemente Substituindo-se C1, C2 e M0 na expressão de w: Como e a equação acima fica O termo independente é conhecido (geometria, carregamento e material) e a variável u pode ser determinada por tentativa e erro.

Placas biengastadas carregadas uniformemente Tensões Normais Máximas: Fig. 7 e A flecha máxima é (ver Fig.7)

Placas engastadas e rotuladas carregadas uniformemente De acordo com a Fig. 8, Fig. 8 A solução geral desta equação é

Placas engastadas e rotuladas carregadas uniformemente As condições de apoio são: Fig. 8 em e e em

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