Aula 4- Medidas de Posição

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1 Aula 4- Medidas de Posição
ESTATÍSTICA Aula 4- Medidas de Posição Prof. Dra. Denise Candal

2 Conteúdo Programático desta aula
Medidas de Posição: Média Mediana Moda Quartis

3 Concentração de Valores
Em uma distribuição, podemos identificar tendências com relação a maior concentração de valores. Se esta concentração se localiza no inicio, meio ou fim, ou ainda se existe uma distribuição por igual.

4 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

5 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

6 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis As medidas de posição são estatísticas que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.

7 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

8 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

9 Coeficiente de Variação
Medidas de Dispersão Medidas De Variabilidade Ou Dispersão Amplitude Total Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação As medidas de dispersão mostram o grau de afastamento dos valores observados em relação àquele valor representativo.

10 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

11 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

12 Assimetria As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações entre suas medidas de moda, média e mediana, quando observadas graficamente. O gráfico de uma distribuição de freqüência pode nos mostrar várias características da distribuição.

13 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

14 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

15 Medida de Curtose Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição com relação a uma distribuição padrão, dita normal.

16 Dados não agrupados Dados agrupados sem intervalos de classe Dados agrupados com intervalos de classe

17 A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de
12 litros. Dados não agrupados Dados agrupados sem intervalos de classe Dados agrupados com intervalos de classe

18 Distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos.
Dados não agrupados Dados agrupados sem intervalos de classe Dados agrupados com intervalos de classe Distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos. Número de Meninos fi 1 2 3 4 6 10 12 ∑=34

19 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
Dados não agrupados Dados agrupados sem intervalos de classe Dados agrupados com intervalos de classe ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 Dados fictícios.

20 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

21 Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração Elementos Medidas de Posição Medidas de Variabilidade ou Dispersão Medidas de Assimetria Medidas de Curtose

22 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

23 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis As medidas de posição são estatísticas que nos orientam quanto a posição em relação ao eixo horizontal.

24 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis Medidas de tendência central são aquelas nas quais os dados observados tendem a se agrupar em torno dos valores centrais. Tais medidas são utilizadas para sintetizar em um único número o conjunto de dados observados.

25 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

26 Média: Dados não Agrupados
Média aritmética simples Valores da variável Número de valores

27 Desvio em relação a Média
Desvio em relação a média (di): diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética .

28 Exemplo 1: Vaca A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. Determine a produção média da semana. Determine também o desvio em relação a média dos valores dados.

29 Exemplo 1: Vaca

30

31

32

33

34 Média: Dados Agrupados
Frequências indicam a intensidade de cada variável: funcionam como fatores de ponderação (média aritmética ponderada). Média Ponderada: é a média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos variáveis.

35 Média: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
Variável da i-ésima classe Frequência absoluta da i-ésima classe

36 Média: Dados Agrupados Com Intervalos de Classe
Dados organizados em distribuição de freqüência Ponto médio da i-ésima classe Frequência absoluta da i-ésima classe

37 Exemplo 2: Filhos Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Determine a média aritmética ponderada da distribuição. Número de meninos f i 1 2 3 4 6 10 12 ∑=34

38 Exemplo 2: Filhos Média ? Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10
1 2 3 4 6 10 12 ∑=34 ∑= Média ?

39 Exemplo 2: Filhos Média Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10 12
1 2 3 4 6 10 12 20 36 16 ∑=34 ∑=78 Média

40 Exemplo 2: Filhos Média Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10 12
1 2 3 4 6 10 12 20 36 16 ∑=34 ∑=78 Média

41 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
Exemplo 3: Alturas ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 Dados fictícios. Determine a média das alturas.

42 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 ∑=

43 No Excel

44 No Excel

45 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 ∑=

46 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 total 40 ∑=

47 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 608 1404 1760 1312 840 516 total ∑=40 ∑=6440

48 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 608 1404 1760 1312 840 516 total ∑=40 ∑=6440

49 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

50 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

51 Moda O valor da variável que aparece em maior frequência em uma série de valores.

52 Moda: Dados não Agrupados
Um conjunto de dados pode ter: Nenhuma moda (amodal) – nenhum valor aparece mais vezes que outros. Uma moda (unimodal) Duas ou mais modas (multimodal) – dois ou mais valores de concentração.

53 Moda: Dados não Agrupados
O valor da variável de maior frequência Exercício 1: Vaca A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. Determine a moda.

54 Moda: Dados Agrupados Sem Intervalo de Classe
O valor da variável de maior frequência Exercicio 2: Filhos Moda? Número de meninos f i 1 2 3 4 6 10 12 ∑=34

55 Moda: Dados Agrupados Com Intervalo de Classe
Classe modal: a classe que apresenta maior frequencia. Moda bruta: valor resultante do método mais simples para o cálculo da moda – toma-se o ponto médio da classe modal.

56 Graficamente, a moda é o valor de x para o qual y é máximo.

57 Exemplo 2: Filhos Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10 12 20 36 16 ∑=34 ∑=78

58 Exemplo 2: Filhos Moda= 3 Número de meninos xi f i xi fi 1 2 3 4 6 10
1 2 3 4 6 10 12 20 36 16 ∑=34 ∑=78 Classe Modal Moda= 3

59 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 608 1404 1760 1312 840 516 total ∑=40 ∑=6440 Exercício 3: Alturas

60 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
Exemplo 3: Alturas ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA fi PONTO MÉDIO xi xifi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 152 156 160 164 168 172 608 1404 1760 1312 840 516 total ∑=40 ∑=6440 Moda= 160

61 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

62 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis

63 Mediana A mediana é um valor central de um rol, ou seja, a mediana de um conjunto de valores ordenados (crescente ou decrescente) é a medida que divide este conjunto em duas partes iguais. Dado um conjunto ordenado de valores, mediana é o o valor situado de tal maneira que este valor separa o conjunto em dois subconjuntos com mesmo numero de elementos.

64 Mediana – Dados não Agrupados
para n ímpar: o termo de ordem para n par: a media aritmética dos termos de ordem e

65 Exemplo 1: Vaca A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. 10 12 13 14 15 16 18 1 2 3 4 5 6 7 mediana

66 Mediana – Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
Valor da variável correspondente a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências.

67 Exemplo 2: Filhos Moda=? Número de meninos xi f i Fi 1 2 3 4 6 10 12
1 2 3 4 6 10 12 ∑=34 Exemplo 2: Filhos Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=?

68 Exemplo 2: Filhos Número de meninos xi f i Fi 1 2 3 4 6 10 12 8 18 30
1 2 3 4 6 10 12 8 18 30 34 ∑=34 Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=? Frequencia acumulada imediatamente superior a

69 Exemplo 2: Filhos Número de meninos xi f i Fi 1 2 3 4 6 10 12 8 18 30
1 2 3 4 6 10 12 8 18 30 34 ∑=34 Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=? Frequencia acumulada imediatamente superior a

70 Exemplo 2: Filhos Número de meninos xi f i Fi 1 2 3 4 6 10 12 8 18 30
1 2 3 4 6 10 12 8 18 30 34 ∑=34 Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Moda=? Frequencia acumulada imediatamente superior a

71 Mediana – Dados Agrupados Com Intervalos de Classe
determinar as frequências acumuladas calcular identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a empregar a formula:

72 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total ∑=40 identificar a classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

73 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

74 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

75 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis A mediana, além de representar uma série de valores com relação a posição central, separa a série de valores em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.

76 Medidas de Posição Média
de Tendência Central Média Mediana Moda Separatrizes Quartis Percentis As separatrizes não são medidas de tendência central, mas têm a ver com a segunda característica da mediana. As separatrizes são medidas que se baseiam em sua posição na série. mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores.

77 Fractis Números que dividem um conjunto ordenado de dados em partes iguais. A mediana é um fractil, pois divide um conjunto ordenado de dados em duas partes iguais. Os quartis, decis e percentis são outros tipos de fractis, que dividem o conjunto de dados respectivamente em quatro, dez e cem partes iguais.

78 Quartis Quartis são os valores de uma série de dados ordenados que a divide em quatro partes iguais. 0% 25% 50% 75% 100% Q1 Q2=Md Q3

79 Quartis (Q1) Primeiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que a quarta parte (25%) dos dados é menor do que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores que ele. (Q2) Segundo Quartil – coincide com a mediana. (Q2=Md) (Q3) Terceiro Quartil – valor cuja posição na série é tal que três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.

80 Quartis Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do quartil.

81 Quartis Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do quartil.

82 Quartis Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do quartil.

83 Quartis Para dados agrupados, o cálculo dos quartis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do quartil.

84 Primeiro Quartil Segundo Quartil Terceiro Quartil

85 Decil Decis ( P1, P2,...P9) são os 9 valores que separam uma série de dados em 10 partes iguais. Observação: P5=Md Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do percentil.

86 Percentil Percentis ( P1, P2,...P99) são os 99 valores que separam uma série de dados em 100 partes iguais. Observação: P50=Md P25=Q P75=Q3 Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela substituição na formula da mediana de por onde k é o número de ordem do percentil.

87 Mediana Quartis Percentis

88 Exemplo 4: Dados não agrupados
Calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }

89 Exemplo 4: Dados não agrupados
{ 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 } Ordenando:{ 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 = Q2. Dois grupos de valores: {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas dos dois grupos de valores. Em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 , o quartil 1 Em {10, 13, 15 } a mediana é =13 , o quartil 3

90 Exemplo 5: Dados não agrupados
Calcule os quartis da série: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }

91 Exemplo 5: Dados não agrupados
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 } A série ordenada. Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5 Quartil 1 = mediana da série à esquerda de Md : { 1, 1, 2, 3, 5, 5 } Q1 = (2+3)/2 = 2,5 Quartil 3 = a mediana da série à direita de Md : {6, 7, 9, 9, 10, 13 } Q3 = (9+9)/2 = 9

92 Exemplo 6: Dados Agrupados
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total 40 Dados fictícios. Determine os quartis.

93 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 total ∑=40 Classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

94 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

95 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

96 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

97 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

98 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
(cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40

99 0% 25% 50% 75% 100% ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA fi FREQUENCIA
ACUMULADA Fi 150 ׀— 154 154 ׀— 158 158 ׀— 162 162 ׀— 166 166 ׀— 170 170 ׀— 174 4 9 11 8 5 3 13 24 32 37 40 total ∑=40 0% 25% 50% 75% 100% Q1 152,57 Q2=Md 160,54 Q3 165

100 Exercícios

101 Exercício 1: Peso dos Bebês
FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total Considere a tabela abaixo de nascidos vivos segundo peso ao nascer. Determine a média, a mediana e a moda da distribuição.

102 Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe Moda? Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência. Ponto médio da classe modal. PESO FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total

103 Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe Moda? Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência. Ponto médio da classe modal. PESO FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total

104 Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe Moda? Classe Modal: aquela que apresenta maior frequência. Ponto médio da classe modal. PESO FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total

105 Exercício 1: Peso dos Bebês
FREQUÊNCIA 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total Com intervalo de classe Média? Ponto Médio?

106 Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe Média? Ponto Médio? PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 Total ∑=100

107 Exercício 1: Peso dos Bebês
Com intervalo de classe Média? Ponto Médio? PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 Total ∑=100

108 Exercício 1: Peso dos Bebês
fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 Total ∑=100 ∑=300

109 Exercício 1: Peso dos Bebês
Mediana? Classe mediana: aquela correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 Total ∑=100 ∑=300

110 Exercício 1: Peso dos Bebês
Mediana? Classe mediana: aquela correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 Total ∑=100 ∑=300

111 Exercício 1: Peso dos Bebês
Mediana? Classe mediana: aquela correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 Total ∑=100 ∑=300

112 Exercício 1: Peso dos Bebês
Classe mediana: classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi Fi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 19 50 84 95 99 100 Total ∑=100 ∑=300

113 OBSERVAÇÃO: Se existir uma frequência acumulada exatamente igual a
a mediana será o limite superior da classe correspondente.

114 Exercício 1: Peso dos Bebês
Classe mediana: classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a PESO fi xi xifi Fi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 19 50 84 95 99 100 Total ∑=100 ∑=300

115 PESO fi xi xifi Fi 1,5 ׀— 2,0 2,0 ׀— 2,5 2,5 ׀— 3,0 3,0 ׀— 3,5 3,5 ׀— 4,0 4,0 ׀— 4,5 4,5 ׀— 5,0 3 16 31 34 11 4 1 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 36 85,25 10,5 41,25 17 19 50 84 95 99 100 Total ∑=100 ∑=300

116 Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 total ∑=56 classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

117 Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 total ∑=56 Classe mediana classe mediana: a classe correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a

118 Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 total ∑=56 Classe mediana

119 Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 total ∑=56 Classe Q1

120 Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 total ∑=56 Classe Q3

121 Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 12 22 32 42 52 72 330 640 420 260 total ∑=56 ∑=1722 Média

122 Exercício 2 Dada a distribuição, determinar os quartis  (Q1 e Q3), a  mediana, média e a moda. K CLASSES fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 7 ׀— 17 17 ׀— 27 27 ׀— 37 37 ׀— 47 47 ׀— 57 6 15 20 10 21 41 51 56 12 22 32 42 52 72 330 640 420 260 total ∑=56 ∑=1722 Moda

123 Exercício 3: Salários Professores
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda. K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880

124 Exercício 3: Salários Professores
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. Calcule os quartis, a média, a mediana e a moda. K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880

125 Exercício 3: Salários Professores
K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880 Mediana

126 Exercício 3: Salários Professores
K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880 Q1

127 Exercício 3: Salários Professores
K salário No prof. fi Fi xi xifi 1 2 3 4 5 1 ׀— 3 3 ׀— 5 5 ׀— 7 7 ׀— 9 9 ׀— 11 20 40 60 30 10 120 150 160 6 8 360 240 100 total ∑=160 ∑=880 Q3