Lógica de Predicados Sintaxe.

Apresentação em tema: "Lógica de Predicados Sintaxe."— Transcrição da apresentação:

1 Lógica de Predicados Sintaxe

2 O que não é possível expressar em Lógica Prop.
Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor. Logo Roberto é um campeão. A adição de dois números ímpares quaisquer é um número par. Por quê?

3 Ausências da Lógica Proposiconal
Quantificadores todo, qualquer, existe, alguns, nenhum, ... Sempre estão ligados a variáveis Objetos Indivíduos do universo de discurso Todo tricolor é um campeão. Roberto é tricolor

4 Roteiro desta parte do curso
Sintaxe Semântica Métodos de prova Tableaux semânticos Resolução Programação em lógica

5 Alfabeto da Lógica de Predicados
Símbolos de pontuação: (,) Símbolos de verdade: false, true Conjunto enumerável de símbolos para variáveis: x, y, z, w, x1, y1, x2, z2... Conjunto enumerável de símbolos para funções: f, g, h, f1, g1, f2, g2... Conjunto enumerável de símbolos para predicados: p, q, r, s, p1, q1, p2, q2... Conectivos proposicionais: ,v, , 

6 Lógica de Predicados Também chamada de
Lógica de 1ª. Ordem FOL (First-Order Logic) Extensão da Lógica Proposicional Novos conectivos (quantificadores) Novos símbolos para funções, variáveis, predicados, etc

7 Aridade Associado a cada símbolo de função ou predicado, temos uma aridade número inteiro, não-negativo k Indica o número de argumentos da função ou predicado Constantes e símbolos proposicionais Sempre têm k=0 Funções -> constantes Predicados -> símbolos proposicionais

8 Notação Constantes (ou funções zero-árias)
a, b, c, a1, b1, a2, b2, ... Símbolos (ou predicados zero-ários) P, Q, R, S, P1, Q1, P2, Q2... Quantificadores Universal:  (para todo …) Existencial:  (existe …) Os conectivos ,  e ^ são definidos em função do conjunto completo {,v}

9 Tipos de perguntas (consultas)
“A capital de Togo é Lome?” Deve retornar um símbolo de verdade Sentenças que representam símbolos de verdade, em Lógica de Predicados, são chamados de átomos “Qual a capital da Estônia?” Deve retornar um objeto Sentenças que representam objetos são chamados de termos

10 Termos São construídos a partir destas regras:
Variáveis são termos (representam objetos) Se t1, t2, ..., tn são termos f é um símbolo de função n-ária, então f(t1, t2, ..., tn) também é um termo

11 Exemplos de termos x, a (constante, função zero-ária)
f(x,a) se e somente se f é binária g(y, f(x,a), c) se e somente se g é ternária +(9,10), -(9,5) interpretados como 10+9, 9-5 Notação polonesa h(x,y,z), considerada implicitamente como ternária

12 Átomos São construídos a partir destas regras:
O símbolo de verdade false é um átomo Se t1, t2, ..., tn são termos p é um símbolo de predicado n-ária, então p(t1, t2, ..., tn) é um átomo

13 Exemplos de átomos P (símbolo proposicional)
Predicado zero-ário) p(f(x,a),x) se e somente se p é binário q(x,y,z) considerado implicitamente como ternário Ex: >(9,10), =(9,+(5,4)) interpretados como 10>9, 9=5+4 Interpretados como T Note os abusos de linguagem > e = são predicados + e – são funções

14 Fórmulas São construídos a partir destas regras:
Todo átomo é uma fórmula da Lógica de Predicados Se H é fórmula então (H) também é Se H e G são fórmulas, então (HvG) também é Se H é fórmula e x variável, então ((x)H) e ((x)H) são fórmulas

15 Construção de fórmulas
Átomos p(x), R e false ((p(x)) v R) Que equivale a (p(x)  R) também fórmula ((x) p(x)  R) Expressão = termo v fórmula

16 Subtermo Se E=x, então a variável x é subtermo de E
Se E = f(t1,t2,...,tn) então ti e f(t1,t2,...,tn) são subtermos de E Se t1 é subtermo de t2 e t2 de E, então t1 também é subtermo de E

17 Subfórmula Se H é fórmula H é uma subfórmula
Se H=(G), então G é subfórmula de H Se H é do tipo (EvG), (E^G), (EG) ou (EG), então E e G são subfórmulas de H Se x é uma variável e Q um quantificador, H=((Qx)G) então G e ((Qx)G) são subfórmulas de H Se G é subfórmula de H, então toda subfórmula de G também é subfórmula de H

18 Próprios e subexpressões
Se t é subtermo de E, e t é diferente de E, então t é subtermo próprio de E Se G é subfórmula de H e G e H são diferentes, então G é subfórmula própria de H Todo subtermo ou subfórmula é uma subexpressão

19 Literais e formas normais
Literal em lógica de predicados é um átomo ou sua negação Uma fórmula está na forma normal disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais Uma fórmula está na forma normal conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais

20 Ordem de precedência da Lógica de Predicados
 ,  ,  ^,v G=(x)(y)p(x,y)(z)q(z)^r(y) representa H=((((x)((y)p(x,y)))(z)(q(z))^ r(y))

21 Correspondência entre quantificadores
((x)H)= ((z)(H)) ((x)H)= ((z)(H)) Qualquer quantificador pode ser definido a partir do outro!

22 Escopo de um quantificador
Abrangência de seu uso nas subfórmulas Se E é uma fórmula na Lógica de Predicados Se ((x)H) é subfórmula de E o escopo de (x) é H Se ((x)H) é subfórmula de E o escopo de (x) é H

23 Exemplo de escopo de quantificadores
G=(x)(y)((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1)) O escopo de (x) é (y)((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1)) O escopo de (y) é ((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1)) O escopo de (z) é p(x,y,w,z) O escopo de (y) é q(z,y,x,z1))

24 Ocorrência livre e ligada
Se x é uma variável e E uma fórmula, uma ocorrência de x em E é Ligada, se x está no escopo de um quantificador (x) ou (x) em E Livre, se não for ligada G=(x)(y)((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1))

25 Variável livre e ligada
Se x é uma variável e E uma fórmula que contém x. x é Ligada em E, se existir uma ou mais ocorrências ligadas de x em E Livre em E, se existir uma ou mais ocorrências livres de x em E No exemplo anterior, z é livre e ligada!

26 Símbolos livres Símbolos livres de uma fórmula são suas variáveis livres, símbolos de função e de predicado Tudo menos os conectivos, variáveis dos quantificadores, símbolos de verdade e de pontuação Ex: O conjunto {w,z,z1,p,q} no exemplo anterior

27 Fórmulas fechadas Fórmulas ditas fechadas não possuem variáveis livres
O exemplo anterior não é, mas, adicionando (w), (z) e (z1)... G1=(w)(z)(z1)(x)(y) ((x)p(x,y,w,z)(y)q(z,y,x,z1)) é fechada

28 Fecho de uma fórmula Se H é fórmula da Lógica de Predicados e
{x1, x2, ..., xn} é o conjunto das variáveis livres em H O fecho universal de H, (*)H, é (x1)(x2)...(xn) G1 é o fecho universal de G O fecho existencial de H, (*)H, é (x1)(x2)...(xn)

29 Fechos e fórmulas fechadas
G1=(w)(z)(z1)(x)(y) ((x)p(x,y,w,z)(y)q(z,y,x,z1)) Se H é fechada, como não possui variáveis livres, seus fechos universal e existencial são iguais a H H=(*)H=(*)H